[자작] 10만덕 퀴즈
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풀이동반
AB를 지름으로 하는 원 C를 기준으로 좌표를 잡음. A는 (-1,0,0), B는 (1,0,0)으로 두고, 두 구의 중심 O₁, O₂는 각각 (0,0,r), (0,0,-r)로 설정함. 원 C는 z=0 평면 위에 있고, APQ는 정삼각형이므로 평면 APQ를 정의할 수 있음. O₁AP, O₂AQ가 O₁O₂A에 수직이므로 P와 Q는 z축 기준 대칭 위치에 잡힘. 평면 APQ의 법선벡터 구하고, z=0 평면의 법선벡터와 이루는 각을 내적 공식으로 구함.
오 되게 그럴듯한데
안타깝지만 핵심키워드가 없어서 ㄴㅇㅈ
ㄱㄷ
외부축설정 어케됐는지 모르겠음,
정사영합 어떻게 썼는지 확인하면 ㅇㅈ
왜 45일까
외부축은 AB를 지름으로 하는 원을 기준으로 잡는다. A와 B를 각각 x축 위의 -1과 1로 두면, 중점이 원점이 되고, 자연스럽게 z축 방향으로 두 구의 중심인 O₁과 O₂를 대칭으로 둘 수 있다. 그래서 O₁은 z축 위 r만큼 위에, O₂는 r만큼 아래에 놓인다. 이 구조로 좌표계를 설정하면 도형 전체가 대칭이 되고 계산이 편해진다.
이제 정사영 넓이 조건을 보면, 삼각형 O₁AP와 O₂AQ의 실제 넓이를 기준으로 각각을 기준 평면인 O₁O₂A 평면 위로 정사영했을 때, 그 넓이의 합이 1이 되도록 주어졌다. 정사영 넓이는 각각의 실제 넓이에 평면 사이 각도의 코사인값을 곱한 것으로 계산된다. 따라서 두 삼각형의 정사영 넓이를 각각 실제 넓이 × 코사인값으로 표현하고, 그 둘을 더해서 1이라는 조건을 만들 수 있다. 이 조건을 이용하면 결국 평면 사이의 각도 정보, 다시 말해 평면 APQ와 z=0 평면 사이의 각도를 구할 수 있는 기반이 된다.
아까도 그렇지만 핵심내용만 빼고 나머진 ㄹㅇ 그럴듯하게쓰네기본적인 머리가 좋은분인듯
사실 전체적으로 대칭되진 않음
포기gpt임 아님 걍 주워들은거쓴거임?
모르는 상태에서 관련 표현 기억하고 적재적소에 글쓰는거 보면 ㄹㅇ 똑똑한듯
사실싹다지피티임난정사영이뭔지도모름
에휴이 은근 기대했는데나 풀고있음
포기
정답 10
아 아닌가
1. 원 C의 반지름과 삼각형 APQ의 변 길이:
원 C의 지름 AB가 2이고, 두 구의 반지름이 같으므로 원 C의 반지름은 1입니다.삼각형 APQ가 정삼각형이고, 점 P는 구 S 위의 점이므로 AP = AQ = PQ입니다.점 P는 구 S 위의 점이므로 AP = AQ = BP = 2입니다.따라서 삼각형 APQ의 변 길이는 2입니다.
2. 삼각형 OOA의 정사영 넓이:
두 평면 OAP, OAQ가 수직이므로, 삼각형 OOA의 평면 OAP 위로의 정사영 넓이와 평면 OAQ 위로의 정사영 넓이의 합은 삼각형 OOA의 넓이와 같습니다.삼각형 OOA의 평면 OAP 위로의 정사영 넓이와 삼각형 OOA의 평면 OAQ 위로의 정사영 넓이의 합이 1이므로, 삼각형 OOA의 넓이는 1입니다.삼각형 OOA는 이등변삼각형이고, OA = 2이므로 넓이는 (1/2) * 2 * 2 * sin(∠AOO) = 1입니다.따라서 ∠AOO = 30°입니다.
3. 원 C와 평면 APQ가 이루는 예각:
원 C를 포함하는 평면과 평면 APQ가 이루는 예각의 크기를 θ라고 할 때, cosθ = (정사영의 넓이) / (삼각형 OOA의 넓이)입니다.삼각형 OOA의 평면 OAP 위로의 정사영 넓이는 (1/2) * 2 * 2 * cos(30°) = √3입니다.삼각형 OOA의 평면 OAQ 위로의 정사영 넓이는 (1/2) * 2 * 2 * cos(30°) = √3입니다.따라서 cosθ = (√3 + √3) / 1 = 2√3입니다.
4. 45cosθ의 값:
45cosθ = 45, (2√3) = 90√3입니다.
결론: 45cosθ = 90√3입니다.
풀이:
1. 구의 반지름 및 O₁O₂ 길이 계산:
원 C의 반지름은 1이고, AB가 지름이므로 구의 반지름은 √3입니다.O₁O₂ = 2√2 입니다.
2. 삼각형 O₁O₂A 넓이 계산:
삼각형 O₁O₂A의 넓이는 (1/2) * 2√2 * 1 = √2 입니다.
3. 정사영 넓이 합 이용:
두 정사영 넓이 합이 1이므로, √2 cosα + √2 cosβ = 1 입니다. (여기서 α와 β는 각각 평면 O₁AP와 O₂AQ가 O₁O₂A와 이루는 각입니다.)두 평면이 수직이므로 cosβ = sinα이고, √2 cosα + √2 sinα = 1 입니다.
4. cosα 및 sinα 계산:
위 식을 제곱하면 2cos²α + 2sin²α + 4sinαcosα = 1 이고, 2 + 4sinαcosα = 1 이므로, sinαcosα = -1/4 입니다.(cosα - sinα)² = cos²α + sin²α - 2sinαcosα = 1 - 2(-1/4) = 3/2 이므로, cosα - sinα = ±√(3/2) 입니다.cosα + sinα = 1/√2 이므로, cosα = (1/√2 ± √(3/2))/2 이고, sinα = (1/√2 ∓ √(3/2))/2 입니다.
5. θ 계산:
평면 APQ와 원 C를 포함하는 평면이 이루는 각 θ는 α와 같습니다.cosθ = cosα 이므로, cos²θ = (1/2 ± 2√(3/2) * 1/√2 + 3/2)/4 = (2 ± √6)/4 입니다.
6. 45cos²θ 계산:
45cos²θ = 45 * (2 ± √6)/4 입니다.문제 조건에 맞는 답은 45 * (2 - √6)/4 = 15 입니다.
따라서 45cos²θ의 값은 15입니다.
◕‿◕
빨리 10만덕 줘ᓀ‸ᓂ
45 * (2 - √6)/4 = 15 무엇..몰라.AI가 그렇다잖아.◕‿◕
1. 삼각형 APQ의 성질:
삼각형 APQ는 정삼각형이므로, AP = PQ = QA입니다.AB가 원 C의 지름이므로, 각 APB = 90도입니다.따라서, 삼각형 APQ의 한 변의 길이는 2sin60° = √3입니다.
2. 구의 반지름:
두 구의 중심 O1, O2와 점 A를 연결하면, 삼각형 O1AO2는 이등변삼각형입니다.O1A = O2A = r (구의 반지름)O1O2 = 2rsin(θ/2) (θ는 각 O1AO2)삼각형 O1O2A의 넓이는 1/2 * AB * O1O2 * sin(θ) = 1/2 * 2 * 2rsin(θ/2) * sin(θ)입니다.두 평면 O1AP, O2AQ가 수직이므로, 삼각형 O1O2A의 평면 O1AP 위로의 정사영의 넓이와 평면 O2AQ 위로의 정사영의 넓이의 합은 삼각형 O1O2A의 넓이와 같습니다.따라서, 1/2 * 2 * 2rsin(θ/2) * sin(θ) = 1입니다.sin(θ) = 1/r이므로, r = √3입니다.
3. 각 θ:
삼각형 APQ의 넓이는 (√3/4) * (√3)² = 3√3/4입니다.원 C를 포함하는 평면과 평면 APQ가 이루는 각 θ에 대해, cosθ = (원 C의 넓이) / (삼각형 APQ의 넓이)입니다.원 C의 넓이는 πr² = π입니다.따라서, cosθ = π / (3√3/4) = 4π / (3√3)입니다.cos²θ = (4π / (3√3))² = 16π² / 27입니다.
4. 45cos²θ 값 계산:
45cos²θ = 45 * (16π² / 27) = 80π²/3 = 10입니다.
따라서, 45cos²θ의 값은 10입니다.
아무말대잔치ㄷㄷ
1. 문제 이해:
두 구 S가 만나서 생기는 원 C가 있고, 원 C의 지름이 AB(길이 2)이다.구 S 위의 점 P에 대해 직선 BP가 구 S와 만나는 점을 Q라고 할 때, 삼각형 APQ는 정삼각형이다.두 평면 OAP, OAQ가 수직이고, 삼각형 OOA의 평면 OAP 위로의 정사영 넓이와 평면 OAQ 위로의 정사영 넓이의 합이 1이다.원 C를 포함하는 평면과 평면 APQ가 이루는 예각의 크기를 θ라고 할 때, 45cosθ 값을 구하는 문제이다.
2. 문제 해결:
두 구 S의 반지름의 길이를 r이라고 하자. 원 C의 반지름은 r이다.삼각형 APQ가 정삼각형이므로, ∠APQ = 60°이다.두 평면 OAP와 OAQ가 수직이므로, ∠POQ = 90°이다.점 P, Q는 구 S 위의 점이므로, OP = OQ = r이다.점 A, B는 원 C 위의 점이므로, OA = OB = r이다.따라서, 삼각형 OAP, OAQ는 직각삼각형이다.삼각형 OOA의 평면 OAP 위로의 정사영 넓이는 삼각형 OAP의 넓이와 같고, 평면 OAQ 위로의 정사영 넓이는 삼각형 OAQ의 넓이와 같다.삼각형 OOA의 넓이는 1/2 * OA * OB = 1/2 * r * r = 1/2r^2이다.삼각형 OAP의 넓이는 1/2 * OA * AP = 1/2 * r * r = 1/2r^2이다.삼각형 OAQ의 넓이는 1/2 * OA * AQ = 1/2 * r * r = 1/2r^2이다.삼각형 OOA의 평면 OAP 위로의 정사영 넓이와 평면 OAQ 위로의 정사영 넓이의 합이 1이므로,
1/2r^2 + 1/2r^2 = 1 이다.
따라서 r^2 = 2이므로, r = √2이다.원 C를 포함하는 평면과 평면 APQ가 이루는 예각의 크기를 θ라고 하면,
cosθ = (OA * AP) / (OA * AP) = (r * r) / (r * r) = 1이다. 따라서 45cosθ = 45 * 1 = 45이다.
결론:
따라서 45cosθ 값은 10분의 3이다.
1. 삼각형 APQ의 성질:
삼각형 APQ는 정삼각형이므로, AP = PQ = AQ이다.AB가 원 C의 지름이므로, ∠APB = 90°이다.따라서, 삼각형 APB는 직각삼각형이다.
2. 구의 반지름:
삼각형 APQ가 정삼각형이고, AP = AQ 이므로, 구의 반지름을 r이라고 하면, AP = AQ = PQ = 2r/√3 이다.삼각형 APB에서 피타고라스 정리에 의해, AB² = AP² + BP² 이므로, 2² = (2r/√3)² + (2r/√3)² 이다.따라서, r = √3 이다.
3. 두 평면 사이의 각:
두 평면 O₁AP와 O₂AQ가 수직이므로, 삼각형 O₁O₂A의 평면 O₁AP 위로의 정사영의 넓이와 삼각형 O₁O₂A의 평면 O₂AQ 위로의 정사영의 넓이의 합이 1이라는 조건에서, 삼각형 O₁O₂A의 넓이는 1이다.삼각형 O₁O₂A에서, O₁A = O₂A = r = √3 이고, O₁O₂ = 2r = 2√3 이므로, 삼각형 O₁O₂A는 정삼각형이다.따라서, 삼각형 O₁O₂A의 넓이는 (√3/4) * (2√3)² = 3√3 이다.원 C를 포함하는 평면과 평면 APQ가 이루는 예각의 크기를 θ라고 하면, cosθ = (삼각형 APQ의 넓이) / (삼각형 O₁O₂A의 넓이) 이다.삼각형 APQ의 넓이는 (√3/4) * (2r/√3)² = √3 이다.따라서, cosθ = √3 / (3√3) = 1/3 이다.
4. 45cos²θ의 값:
45cos²θ = 45 * (1/3)² = 45 * (1/9) = 5 이다.
따라서, 45cos²θ의 값은 5이다.
뭔가 이건 맞는것 같은데
◕‿◕
노력상으로 5만덕이라도 주라
광기상드림
5만덕 달라구..
이틀뒤까지 정답자 안나오면 드림..
님 모밴 만들면 받을수 있나
그전에 신고하겟지 내가ㅠㅠ
정사영 합 1조건에서 막혔는데 힌트 있나요