고1수학 풀이
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풀긴했는데 식 너무길어서 맘에안듦
최대한 깔끔하게
있을까요
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나머지정리 랜만오네
답 -12 나오나요?
-맞아요!
일단 제 풀이긴 한데
R(X)가 이차식인걸 아니까 P(X) 내에서 2X^2+2X+5를 X-1로 나눴을때의 상수항을 구하려하긴 했어요
하 감사합니다 ㅠㅠ
-12인가? 저도 식 길게 나오는뎅
맞습니다 ㅜㅜ
풀이 혹시 보여주실수있나요
풀자마자 밥먹으러 나왔어여ㅜㅜㅜ 이따 보여드릴게요!
주어진 식 분석:
모든 실수 x에 대하여 {Q(x)}² + {Q(x+1)}² = (x² + x)P(x) = x(x+1)P(x) 가 성립합니다.
Q(x)의 근 찾기:
주어진 식에 x = 0을 대입하면:
{Q(0)}² + {Q(1)}² = 0 * (0+1) * P(0) = 0
Q(x)의 계수가 실수이므로 Q(0), Q(1)은 실수입니다. 실수의 제곱의 합이 0이 되려면 각각이 0이어야 하므로, Q(0) = 0 이고 Q(1) = 0 입니다.
주어진 식에 x = -1을 대입하면:
{Q(-1)}² + {Q(0)}² = (-1) * (-1+1) * P(-1) = 0
위에서 Q(0) = 0 이므로, {Q(-1)}² + 0² = 0 입니다. 따라서 Q(-1) = 0 입니다.
Q(x) 식 세우기:
Q(x)는 최고차항의 계수가 양수인 삼차다항식이고, Q(-1) = 0, Q(0) = 0, Q(1) = 0 이므로, Q(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. (단, a는 양수)
Q(x) = ax(x-1)(x+1) = a(x³ - x) (여기서 a > 0)
P(x) 찾기:
Q(x+1) = a(x+1)((x+1)-1)((x+1)+1) = a(x+1)x(x+2)
주어진 식 {Q(x)}² + {Q(x+1)}² = x(x+1)P(x) 에 Q(x)와 Q(x+1)을 대입합니다.
{ax(x-1)(x+1)}² + {a(x+1)x(x+2)}² = x(x+1)P(x)
a²x²(x-1)²(x+1)² + a²x²(x+1)²(x+2)² = x(x+1)P(x)
좌변에서 공통인수 a²x²(x+1)²를 묶어냅니다.
a²x²(x+1)² [(x-1)² + (x+2)²] = x(x+1)P(x)
a²x²(x+1)² [(x² - 2x + 1) + (x² + 4x + 4)] = x(x+1)P(x)
a²x²(x+1)² (2x² + 2x + 5) = x(x+1)P(x)
x ≠ 0 이고 x ≠ -1 일 때, 양변을 x(x+1)로 나누면:
a²x(x+1)(2x² + 2x + 5) = P(x)
따라서 P(x) = a²(x² + x)(2x² + 2x + 5) 입니다. (이 식은 x=0, x=-1일 때도 원래 식을 만족시킵니다.)
나머지 R(x) 찾기:
P(x)를 Q(x)로 나눈 나머지가 R(x)입니다. 즉, P(x) = Q(x)S(x) + R(x) (S(x)는 몫, deg(R) < deg(Q) = 3)
P(x) = a²(x² + x)(2x² + 2x + 5) = a²(x² + x)[2(x² + x) + 5]
P(x) = 2a²(x² + x)² + 5a²(x² + x)
P(x) = 2a²(x⁴ + 2x³ + x²) + 5a²(x² + x)
P(x) = a²(2x⁴ + 4x³ + 7x² + 5x)
Q(x) = a(x³ - x)
P(x)를 Q(x)로 나누기 위해 a²(2x⁴ + 4x³ + 7x² + 5x) 를 a(x³ - x) 로 나눕니다. 이는 a(2x⁴ + 4x³ + 7x² + 5x) 를 (x³ - x) 로 나누는 것과 같습니다.
다항식 나눗셈을 하면:
(2x⁴ + 4x³ + 7x² + 5x) ÷ (x³ - x)
몫은 2x + 4 이고 나머지는 9x² + 9x 입니다.
따라서, a(2x⁴ + 4x³ + 7x² + 5x) = a[(x³ - x)(2x + 4) + (9x² + 9x)]
P(x) = a²[(x³ - x)(2x + 4) + (9x² + 9x)]
P(x) = a(2x + 4) * [a(x³ - x)] + a²(9x² + 9x)
P(x) = [a(2x + 4)] Q(x) + a²(9x² + 9x)
따라서 몫 S(x) = a(2x + 4) 이고, 나머지 R(x) = a²(9x² + 9x) 입니다.
상수 a 값 구하기:
문제에서 R(1) = 72 라고 주어졌습니다.
R(1) = a²(9(1)² + 9(1)) = a²(9 + 9) = 18a²
18a² = 72
a² = 4
Q(x)의 최고차항 계수 a가 양수이므로 a = 2 입니다.
Q(-2) 값 계산:
Q(x) = ax(x-1)(x+1) 이고 a = 2 이므로,
Q(x) = 2x(x-1)(x+1)
Q(-2) = 2(-2)(-2-1)(-2+1)
Q(-2) = 2(-2)(-3)(-1)
Q(-2) = (-4)(3)
Q(-2) = -12
답: Q(-2)의 값은 -12 입니다.
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