[칼럼] 변곡접선 문제인데 미분 안 해도 됨 ㅇㅇ
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이미 이 문제의 해설은
'원점에서 직선 빙글빙글 돌려보면 변곡접선일 때 밖에 없음 ㅋㅋ'
으로 굳어진듯 하고
해설지에서도
그래픽 아티스트 빙의하여 변곡접선일 때일 수밖에 없음을 항변하고 있는데
놀랍게도 이 문제는 빼기함수, 다항함수의 개형, 고1 수학을 잘 이용하면
미분 한 번 안 하고 쓱쓱 풀어낼 수 있습니다
먼저 우리가 너무나도 사랑하는 빼기 함수를 이용하면
를
로 바꿔서 볼 수 있습니다
그럼 문제도 'g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때'를
'g(x)-mx가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때'라고 봐도 무방하죠?
그러면 이제 뒤에 붙어있는 정의역의 구간이 심상찮게 보여야 됩니다
왜냐? 저거 절댓값이거든요 ㅇㅇ
한마디로 f(x)-mx에 절댓값을 씌운 함수에서 0보다 작은 구간을 뒤집어 버리는게 아니라 그냥 0으로 처리해버린 것이 g(x)-mx의 본질이라 할 수 있습니다.
그러면 절댓값 씌운 함수가 미분가능하려면?
함숫값이 0이 되는 x에서는 미분계수도 0이어야 한다.
그런데 우리가 알고 있는 삼차 함수의 개형을 쭉 떠올려 보면
삼차함수는 필연적으로 근을 하나는 가지게 되는데,
그때 인수가 최소 2개는 되어야 절댓값을 씌워도 미분이 가능해지죠?
그런데 인수가 2개만 존재해서 (x-a)^2(x-b)의 형태가 되면 x=b에서는 미분 불가가 되니까
결국 g(x)-mx는 삼중근을 가질 수밖에 없네요?
따라서
끄읕~
결론)
빼기함수는 신이고
계수비교법은 무적이다
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ㄹㅇ
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ㄹㅇ루
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ㄹㅇ
헉
개추뿅뿅
좋은 칼럼 감사합니다!
풀이가 너무 깔끔하게 잘 떨어지긴 하는데, 이 문제를 처음 맞닥뜨렸을 때 문제 > 차의 함수 > 절대값! 으로 어떻게 유도해야할까요? 차의 함수까지는 저런 기출이 많았어서 시도해볼 거 같은데, 저게 절대값이라는건....와우,,
사실 절댓값은 사후적으로 발견하셔도 무방합니다.
빼기함수로 놓고 3차함수 개형 몇 개를 0보다 작은 구간을 0으로 처리하면서 언제 미분 가능한지만 살펴봐도 삼중근일 때뿐이라는게 충분히 유도되기 때문입니다. 저게 절댓값 씌운것과 동치라는건 아무래도 경험이 좀 쌓여야 보이죠 ㅜ
꼭 지금 제걸로 만들고 싶어서 기출 열심히 뒤지다 왔습니다,,
분명 접해본 적 있는 풀이 느낌이라 찾아봤더니, 2021년도 7월 고3 모의고사 15번 문제에서, 사차함수 f(x)에 대해서 g(x) = ㅣf '(x)ㅣ- f(x) 라고 정의할 때 저런 느낌의 그래프가 나왔었네요. f '(x)가 양수인 부분에서는 아예 0으로 처리하고, 음수인 부분에서는 두 배로 볼록하게 그리는....감사함다 ㅎㅎㅎ
이번 칼럼 마지막 계산처리에서도 그렇고,
https://orbi.kr/00072651243/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EA%B2%B0%EB%A1%A0%EB%B6%80%ED%84%B0%20%EC%8B%9C%EC%9E%91%ED%95%98%EB%8A%94%20%EB%8B%A4%ED%95%AD%ED%95%A8%EC%88%98%20%EC%83%9D%ED%99%9C
<-- 이 칼럼에서도 느꼈던건데, 고1 수학느낌으로 함수꼴 파악해놓고 계수비교 > 고정값으로 미지수 손쉽게 확정짓기 가 유행을 타는 거 같기도...?
절댓값+-원함수 형태가 자주 나오는 건 아니지만 심심하면 한번씩 스윽하고 나타나죠. 저 문제는 좀 숨겨져 있는 형태라 언뜻보고 알아채기는 쉽지가 않은 문제입니다.
사실 유행타도 많은 학생들이 계수비교법과 항등식을 '당연한 소리 왜 하는거임?' 수준 정도로 치부하고 넘어가기에 ㅎ…
문제만 보고 나서 삼차방정식 삼중근 가지고 풀려는 건가 싶었는데 진짜네요 ㅋㅋ들켰…
이 유용한 칼럼은 뭐지 ㄷ
변곡접선 구하는 공식중에 미분말고 (x-a)^3 + mx + n 꼴로 정리하면 mx + n 이게 변곡접선인데 거기서 파생된느낌도잇네
https://orbi.kr/00072651243/%255B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%255D%2520%EA%B2%B0%EB%A1%A0%EB%B6%80%ED%84%B0%2520%EC%8B%9C%EC%9E%91%ED%95%98%EB%8A%94%2520%EB%8B%A4%ED%95%AD%ED%95%A8%EC%88%98%2520%EC%83%9D%ED%99%9C
사실 공통 접선으로 비슷한 거 보여드린 적은 있죠
g(x)는 {f(x)+mx+lf(x)-mxl}/2이고 f(x)가 미분가능한 함수인 이상 이 함수의 미분가능성은 lf(x)-mxl의 미분가능성과 동치죠. 중요한 관점이라고 생각합니다!
10년도 넘은 문제인데 이런접근이 나왔네 확실히 요즘 고1수학의 위상이 나날이 떡상하고있긴하다 거의 모든 기출문제집에서 수2에 내고있지만 이거 가형에서 나온거여서 의도는 변곡접선 삥글삥글이 맞긴한데 몇년전까지만 해도 고1수학은 수능에서 거의 배제되다싶이 안나와서 이런 접근이 거의 없다싶이 했고
사실 수리 가형 시절은 다항함수 미적분이 수2에 있었던지라 저런 접근도 충분히 유효 했죠
단지 모든 해설지가 직선을 돌리고 있으니 다들 돌렸을 뿐…
와 저 오늘 이 문제 이렇게 풀었는데;; 되게 반갑네요 고1 수학으로 풀리는데 왜 변곡까지 가나 의문이었는데
훌륭하십니다
수학의명작에서 다뤄주던 방법이다 !!
이야...개추
정병호 저거 수2 프메에서 max min 함수로 품 ㅋㅋ
다항함수일때 변곡접선은 삼중근을 갖는다
를 이용하면 되는 걸까요?
결과적으로 변곡접선 빼면 삼중근이다는 맞지만 풀이과정의 요지는 그게 아닙니다
원래 보통 저렇게 푸는 거 아니었어요?
오 이거 고3때 6평 수학에서 문제 나왔던건데 . . 지금 보니깐 반갑다