0.999...는 1이 아니다

X=0.99999...
10X=9.99999...
9X=9, X=1

X=0.999
10X=9.99
9X=8.991

순환소수 0.9‘(9위에 점) 9/9=1

본문이 왜틀림

3등분 자체가 불가능함..왜냐하면 0.3333... 이렇게 무한히 3을 구하는 연산을 해야하기 때문임(걍 나오는대로 씨부리는 억지인거암)

애초에 0.000...1 이 존재하므로 3등분은 불가능함

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

저거 극한의 수렴 성질에 근거한 극한의 사칙연산이 불가하지 않음? 0.9999.... 가 수렴하는 수는 아니잖음

모르겠다

1-1/10^x=f(x)가 x->inf f(x)->1인데 동시에 f(x)->0.999..니까 1=0.999..

그럼 1과 0.999...의 차이는 어떤 양수를 들고 와도 작아야 하나요?

왜냐하면 1과 0.999...의 차이가 어떤 양수보다 크거나 같다면 두 수는 다른 것이니까요.

일단 0.00....1이라는 게 0이 아닌 수라고 가정해봅시다. 자연스럽게 얘는 양수라고 정의할 수 있을 거에요. 0.000....1이 음수는 아닐 것이니까요.

그리고 0.000...1은 어떠한 양수 ε 보다도 작아야 할 거에요. 만약 어떤 ε이 존재해서 0.000...1 이 ε보다 크거나 같다면 0.00...1은 한없이 작은 수가 아니게 되어버리니까요. 그렇죠?

그렇다면 모든 ε>0에 대해서 0 < 0.000....1 < ε 를 만족해야 할 거에요. 그렇죠?

하지만 우리가 아는 실수 체계에서는 저렇게 되는 수가 존재하는 순간 모순이 발생해요.

모든 양수보다 작은 양수는 없죠. 하지만 어떤 양수 하나를 지정하면 그것보다 작은 양수는 있죠

오랜만에 옳은 말씀을 하셨네요.
맞아요. 모든 양수보다 작은 양수는 없어요.
그럼 0.000....1은 뭐죠? 얘도 어떤 양수보다는 크거나 같아야 한다는 건데, 그럼 그 양수를 제시해주실 수 있을까요?

어떤 양수A를 하나 지정하면 그것보다 작은 양수B가 있고

B보다 작은 C가 있고.. 그냥 흔한 얘기 아닌가여

그게 사실 흔한 이야기는 아니라서요.
그래서 0.00…1은 일단 0이 무한개 있는 수라고 가정해보겠습니다. 직관적인 이해를 통해서요.

그럼 0.000...1을 편의상 x라고 하겠습니다.
그럼 x < 0.1은 당연할까요? 그렇겠죠?
그럼 x < 0.01은 당연할까요? 그렇겠죠?
그럼 x < 0.001은 당연할까요? 그렇겠죠?

그럼 얘를 일반화하면
모든 자연수 n에 대해서 x < (1/10)^n 은 참일까요? 쿠쿠리님이시라면 당연히 참이라고 말할 것 같은데요.

모든 자연수라도 무한은 아니기 때문에 참인거같아요

네 일단 참이라고 하셨습니다. 저도 그렇게 생각하구요.

뭐 그리고 x는 양수이니까, 적당한 ε>0이 존재해서 0<ε<x여야 하지 않을까요? 양수 x를 잡아도 그보다 더 작은 양수 ε는 존재해야 하잖아요? 얘도 당연할까요?

네 당연한거같아요

아. 아닌거같기도하고

X=1/10^inf 라면 Q=1/1000^inf 가 더 작지 않을까요 아닌가

ε 가 아무리 작아져도 n을 늘리기만하면 그만아닌가요

오케이. 그럼 혹시 저 양수 ε (고정된 상수일 거에요)에 대해서 10^n * ε > 1을 만족하는 자연수 n이 존재할까요? 얘는 참입니다. 이는 아르키메데스 성질이라고 불리고, AOC (완비성 공리)로 증명이 가능해요.

일단 ε이 뭔지는 생각하지 않도록 합시다. 생각해봤자 저희도 몰라요. 그냥 존재하냐? 존재하지 않냐? 가 중요한 거라서 그래요. 양수 ε이 존재하나요? x가 양수인데?

10^n * ε > 1 라는 식은 ε > 1/10^n 이 아닌가요?

네 동치에요. 하지만 10^n * ε > 1이라고 쓴 이유는 좀 더 직관적으로 받아드려지라는 의미이기도 하고, 엄밀히는 아르키메데스 성질을 사용하기 위해서 그런 거에요. 만약 이런 자연수 n이 존재하지 않은 것 같다면 언제든지 말씀해주세요.

ε 가 아무리 작아져도 n을 늘리기만하면 그만아닌가요

네 그렇죠. ε가 아무리 작은 양수여도, n이 무한이 아니더라도, 충분히 크기만 하면 10^n * ε > 1 을 만족하는 n은 존재할 것 같죠. 실제로도 존재합니다. 아르키메데스 성질에 의해서.

그럼 전 그냥 당연한 얘기를 한건가요

그럼 지금까지 모은 것들을 정리해봅시다.
0.000...1 = x 라 할 때

1. 모든 자연수 n에 대해서 x < (1/10)^n이다.
2. ε>0가 존재한다.
3. 2번에서의 ε에 대해서 10^n * ε > 1을 만족하는 자연수 n이 존재한다. (이 자연수 n을 기호로 N_0)라고 할게요.

1, 2, 3을 모두 모으면

(1/10)^(N_0) < ε < x < (1/10)^n

이니까

이는 적당한 (고정된) 자연수 N_0가 존재해서 모든 자연수 n에 대해 (1/10)^N_0 < (1/10)^n이다.

라는 명제가 도출됩니다.

그리고 이 명제는 모순이죠. n 에 N_0 + 1만 넣으면 모순이니까요.

그 당연한 소리에서 모순을 도출해냈습니다.
그 모순은 x가 양수라고 가정한 점에서부터 일어난 것이에요.
즉 x는 양수가 아니어야 하고, 당연히 x는 음수가 아니어야 하므로, x는 0이어야 합니다. 수학적으로요.

0.000...1 은 lim(x->inf),(1/10^x)가 아닌가요?

그런데 x가 0이 무한히 많으니까 (1/10)^(N_0)에서 N_0을 고정된 자연수라고 할수없는거 아닌가요?

근데 우리는 N_0을 x로부터 도출해낸게 아니라 ε로부터 도출해낸 거잖아요? ε이 고정된 상수일 거고, 그럼 N_0도 고정된 상수일 거에요. 그렇죠?

그런데 1/10^inf, 그러니까 0.000...1은 0에 수렴하는거 아닌가요? 수렴하는 간격사이에 뭔가 고정된게 있을수 없는거같은데..

수렴이 뭔가요? 수렴의 정의가 뭔가요? 수렴은 함수에서 사용하는 표현인데 0.000...1은 숫자인걸요?

흠... lim(x->inf),(1/10^x) 와 1/10^inf 는 다른가요?

우측에 (1/10)^inf는 사실 좌측의 lim x -> inf (1/10)^x를 간략히 표현한 거에요. 사실 (1/10)^inf라는 수는 존재하지 않아요. 그냥 귀찮아서 함수의 극한인데도 수처럼 쓰는 거에요. 누구나 함수의 극한인지 아니까.

그럼 0.000...1은 수가 아닌가요?

수에요. 다만 0과 같은 수죠. 0.000...1이라는 수의 정의를 0이 무한개 있는 소수라고 정의하는 건 좀 부적절해요. 다른 방식으로 정의해야겠죠.

떠나셨음??

0.000...1 은 lim(x->inf),(1/10^x)가 아닌가요?

저는 지금은 극한을 이용하지 않고 정의하려는 거죠.
꼭 극한을 사용해야만 정의해야 되는 건 아니니까요. 그렇죠?
아까 증명도 전 전혀 극한을 사용하지 않았어요.

전그냥
0 < 1/1000^inf < 1/10^inf < "어떤양수"

이렇다고 생각하는데 틀렸나요?

네 틀렸죠.
애초에 순서도 잘못되었고, 저는 어디에서도 무한한 상수를 가정하지도 않았으니까요. 그렇죠? ε, N_0 모두 유한한 수에요. 어디에서도 무한이라는 개념은 없어요.

(1/1000)^inf가 (1/10)^inf 보다 작지않나요?

Inf가 실수인가요? inf는 실수가 아니에요. 당연히 1/10^(inf)라는 수도 없어요. 만약 (1/10)^(inf)를 함수의 극한으로 생각하신다면 둘 다 0입니다.

그럼
0 < 1/10^inf < "어떤양수"

이건요?

0.000...1 은 말그대로 0이 무한히 많은거라고 생각했는데...

그게 상상으로는 그럴듯해보이지만 수학적으로는 다르게 정의해야 한다는 거죠.
그렇게 정의해버리면 아까처럼 모순이 나와버려요.

0 < 1/10^inf < "어떤양수"
이건 틀렸나요?

네 틀렸어요. 애초에 1/10^inf 는 수학적으로 제대로 정의하면 0과 같아져요.

그건 수렴값아닌가요? 0으로 수렴하면 0이 아니잔항요

수는 수렴이라는 표현이 없어요. 수렴을 정의할 수도 없구요.

그럼 0 < S < "어떤양수" 를 만족하는 "수S"는 없다는건가요?

아뇨 있죠. 0 < 1 < 2 있잖아요.

수렴하는 상태를 수로 볼수는 없나요..

"어떤양수"를 "아무양수나 집어넣기"라고 한다면요?

어떠한 고정된 양수든 임의의 양수 ε에 대해 0 < (어떤 양수) < ε 이 될 수 없어요.

함수 f(x) = (1/10)^x는 임의의 실수 x에 대해서 0이 될 수 없어요. 하지만 x → inf 일 때 f(x) → 0 인 건 맞아요. 근데 이건 함수에요. 함수. 함수 f(x)가 0이 될 수 없다는 거에요.

우리가 0.00...1을 극한값 lim (x→inf) f(x)로 정의하면 얘는 정의에 따라 0이에요.

수렴값이 0아닌가요

함수 f(x)가 0으로 수렴한다고 할 때, 0을 극한값이라고 정의합니다. 저 0이랑 이 0이랑 뭔가 다른가요?

0으로 수렴한다는 말은 0이 아니라는 얘기아닌가요

이걸 자세히 하려면 극한을 엄밀하게 (사실 엄밀하지도 않지만) 정의해줘야 해요. 그래서 제가 지금까지 극한을 사용하지 않은 거구요.

함수 f(x)는 0이 될 수 없죠. 하지만 극한값 0.000...1은 0인 걸요.

0.000...1 = f(x) 라면요?

그렇게 정의할 수가 없죠.
상수함수 말씀하시는 건가요?

다시 말해서, 0이 될 수 없는 건 함수구요
0이 되는 건 극한값이에요.
함수랑 극한값이랑 아예 다른 거구요.

어디감...

저 외출중인데 집에가서 적을게요.. 죄송합니다

https://orbi.kr/00072772515

https://orbi.kr/00072772607

x가 0으로 수렴한다는 표현 자체가 없어요. x를 함수로 표기한 게 아니면요.
이제부터는 말로 하지 마시고 기호로 합시다. 자꾸 없는 표현 만들어내시네.

왜 "x가 0으로 수렴한다"는게 불가능한 표현이죠???

x^2 → 0 as x → 0

이란 표현은 있어도 x → 0 을 x가 0으로 수렴한다고 쓰면 안됩니다.

그럼 x → 0 이건 "x가 0으로 수렴한다"가 아닌가요?

그런 표현 자체가 x를 함수 취급하지 않는 이상 없는 표현이에요. 수렴과 발산은 함수에게 붙이는 표현이에요.

네 x가 0으로 수렴한다는 표현이 아니에요. 앞에 있는 x →0은.

GPT는 수학 잘 못합니다. 저게 잘못된 거에요.

이걸 저보고 알아들으라고 첨부하신건가요

GPT를 맹신하시고 세계적으로 인정된 극한의 정의를 무시하실 거라면 더 이상 답변드리지 않습니다.

GPT가 아니라, 제미니, 클로드 한테 물은거예요

4개의 인공지능한테 물었는데 다 똒같은데요

본인의 근거를 생성형 챗봇 (GPT)에게 맡기시고 세계적으로 알려진 극한의 정의를 무시하시면 제가 뭘 더 합니까. 그래서 저는 극한을 사용하지 않고 답변하려고 했습니다. 극한에 대해 '다가간다'만 생각하먼 이런 오류가 납니다.

무한소는 수인가요?

현대의 표준해석학으로는 무한소는 실수 내에서 정의되지 않습니다.

그럼 x가 무한으로 갈때 "1/x" 이건 뭐라고 부르나요?

함수라고 부릅니다.

"1/x" 이게 무한소아닌가요?

네 아닙니다.

복잡한 거 할텐데 그럼 또 못알아듣겠다고 뭐라 할 거잖아요.

왜요?

왜 복잡해야만하죠?

그 Ai한테 극한의 엄밀한 정의 또는 엡실론 델타 논법에 대해 알려달라고 해보세요. 뭐가 나오나.

복잡한거 못알아듣겠음..

님이 이해하고자 하는 노력도 없으면서 왜요? 해봤자 쓸모없는 논증이라는 건 바보도 압니다.
님이 복잡하다고 했잖아요 엡델 논법이. 나한텐 전혀 아닌데.

복잡해야만 한다고 한 적도 없구요.

전 중고딩수학도 못하는데 엡델을 어떻게 알아듣습니까

어쩌라구요. 님이 못알아듣든 말든 수학은 논리적이어야 합니다. 세상은 니 수준을 배려해주지도 않아요. 님이 엡델을 이해할 수 있든 없든 저희는 극한을 '다가간다' 로 절대 정의하지 않을 것입니다. 물론 엡델도 한계가 있지만, 0.999...=1 이라는 게 참이라고 보이기 위해서는 너의 수준을 봐줄 이유도 없어요. 정신 좀 차리세요.

더 이상 답변 달지도, 대꾸하지도 않겠습니다.

님 말이 맞으니 서로 갈 길 갑시다.
차단합니다.

네 그래서 x가 무한으로 갈때 1/x이 무한소냐고 제미니,클로드,GPT,코파일럿,딥시크 한테 다물어봤는데 만장일치로 무한소라고하네요

엡델논법 못알아듣는사람이 더많죠

이게 나평인가?

욕인건 아는데 "나"가 뭔가요

나기사단 평균이요

ㅋㅋㅋㅋㅋ

나기쨩을 끌어들이지마세요

아님

와 위에 댓글들 보니까 진짜 어지럽네....
귀 꾹 닫고 남의 말 절대 안들으면서 Ai한테 물어보는건 씹 ㅋㅋ

왜냐하면 내가 옳다고 믿으니까..

제발 컨셉이길 빕니다
그리고 모르면 찾아보려는 노력이라도 하세요 저렇게 정성스레 님의 개소리에 논리적으로 반박해주는데 귀 닫고 본인 말만 옳다고 하지 마시고요 엡실론델타 논법은 고딩인 저도 15분짜리 유튜브 보고 이해할 만한 수준입니다

전 제가 믿는걸 믿을겁니다

진지하게 경계선지능장애 검사 해보세요...
제 주변에 님처럼 아무리 조언해줘도 결국 지가 하고싶은대로 하고 고집은 고집대로 부리는 애 있었는데 걔도 검사했더니 경계선 지능 나왔어요
님 댓글들 읽어보니 그 친구랑 비슷한 것 같아서 얘기 드립니다

지능진짜 100안됨..

경계선지능은 왜발생할까요?

개는 짖어도 오르비는 굴러간다

개는 오르비가 멈추라고 짖는게 아님

님이 개도아니고 그걸 어떻게 압니까!!

0.999... = lim(x->inf),(1-1/10^x)
이 등식에서 우변 값이 뭔가요?

우변은 극한값을 나타내니 1이겠죠.. 그런데 그 뜻은 1에 수렴한다는 뜻임

1-1/10^x가 1로 수렴하는거죠

lim(x->inf),(1-1/10^x)=1인 거네요.

A=B이고 B=C이면 A=C인 점에는 동의하시나요?

어디가심?

If a != b, 크 epsilon>0 s.t. epsilon <= |a-b|

컨셉ㄴ인가

실수에 대한 정의는 중등교육과정에서 제대로 다루지 않습니다. 그저 모든 소수 집합 정도로 정의하고 넘어가고, 이것이 0.999...≠1같은 오해가 생기는 주된 이유 중 하나입니다.
(잘못된 정의는 아니지만, 오해의 소지가 생길 수 있습니다.)

f(x)가 L로 수렴한다 라는 것은 f(x)의 극한값이 L이라는 의미입니다.
lim f(x) = L
이 식의 의미는 f(x)=L이라는 뜻은 아닙니다. 그랬다면 좌변이 그냥 f(x)였겠죠. 우변의 lim f(x)는 f(x)의 극한이라는 뜻이고, 위 등식은 f(x)의 극한값이 L이라는 뜻입니다.

실수의 정의는 여러 방법이 있는데, 그중에는 유리수열의 극한을 이용하는 방법이 있습니다. 예를 들어, π=3.141...은
a_n={3, 3.1, 3.14, 3.141, ...}
이러한 수열의 극한값으로 정의할 수 있습니다.

a_n의 각항은 유리수이고, 당연히 π와 다르지만, a_n의 극한값은 유리수 집합에 존재하지 않는 새로운 수이고, 그 값은 π와 같습니다. 이런식으로 모든 실수를 유리수열의 극한으로 정의할 수 있습니다.
예를 들어, 0.1223334444...
이러한 수는
a_n={0.1, 0.122, 0.122333, ...}
이러한 수열의 극한값으로 정의할 수 있습니다.
마찬가지로 a_n≠0.1223334444...이지만, 극한값 lim a_n=0.1223334444...입니다.
(좀 더 정확히는, 코시수열이라고 하는 특정한 조건을 만족하는 수열들의 극한인데, 대충 수렴하는 수열이라고 이해해도 무방합니다.)

이제 0.000...1이라는 수에 대해 생각해봅시다. 0.000...1은 다음 수열의 극한으로 정의할 수 있습니다.
a_n={1, 0.1, 0.01, 0.001, ...}
이 수열도 마찬가지로 당연히 a_n≠0이지만, lim a_n=0입니다. 0으로 수렴하고, 즉 극한값이 0이고 a_n의 극한으로서 정의되는 0.000...1은 0과 같습니다.

마찬가지로 0.999...은 다음 수열의 극한으로 정의 할 수 있습니다.
a_n={0.9, 0.99, 0.999, ...}
이때 a_n의 극한값은 정확히 1입니다.

극한값과 함수값은 다른 것이고, 구분하여야합니다. 극한값이 같다고 함수값까지 같은 것은 아닙니다. 하지만 실수의 경우에는 정의부터가 극한값으로 정의되어있기 때문에 수열의 극한값과 실수가 같다고 할 수 있는 것입니다.

실수의 정의는 코시수열의 극한 외에도 여러 방법이 있지만, 그 결과는 모두 같다는 것이 증명되어있습니다. 다소 복잡할 순 있지만, 직접 찾아보시는 것도 좋을 것 같습니다.

다소 오해의 여지가 있을 수 있어 약간 더 추가하자면, 코시수열 a_n, b_n의 극한으로 정의된 두 실수가 같다 라는 것은 a_n-b_n이 0으로 수렴한다 라고 정의할 수 있습니다. 예를 들어
a_n={π, π, π, π, π, ...}
b_n={3, 3.1, 3.14, 3.141, ...}
두 수열이 나타내는 실수가 같다는 것은 수열
a_n-b_n={0.1415..., 0.0415..., 0.0015..., ...}
이 0으로 수렴한다는 것과 동치이고,
lim a_n-b_n=0 이므로 π=3.1415...입니다.
마찬가지로 1=0.999...과 0=0.000...1도 자명하게 성립합니다.

유리수 범위에서와 다르게, 실수 범위에서 소수 표현은 우리의 직관과 다르게 실수와 일대일 대응이 아니라는 점은 꽤나 흥미로운 사실입니다.

크아아악

건전한 투기장 보기 좋네요