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탁극탁 [1322566] · MS 2024 · 쪽지

2025-04-05 21:47:09
조회수 4,404

[물2] 도플러 효과 문제 계산 줄이기

게시글 주소: https://orbi.kr/00072725585

도플러 효과는 파원의 속력이 파동의 속력보다 작을 때만 발생하는 물리적 현상입니다.

특별히 음파로 한정지어 표현하면, 음원의 속력이 음속보다 작을 때만 도플러 효과가 성립합니다. (편의상 이하 내용은 모두 음파를 기준으로 서술하겠습니다; 물론 역학적 파동에서는 모두 동일합니다)


음원의 속력이 음속보다 큰 경우에는 '충격파'라고 하는 또 다른 역학적 효과가 발생하는데,

이전 교육과정(~20수능)에는 교과 범위에 있는 내용이었지만 현재는 물2 교과에서 다루지 않고 있습니다.


그렇다면 우리는 도플러 효과의 공식에서 음원의 속력을 음파의 속력에 대한 수식으로 다시 표현할 수 있습니다. 즉, 음속을 V, 음원의 속력을 v라고 할 때,


로 쓸 수 있습니다. 물론, p=0일 때는 도플러 효과가 없는 것과 같습니다. 이렇게 쓰면 음원이 움직이고 관찰자가 정지한 상황에서 도플러 효과의 공식도


가 됩니다.


이는 생2에서 하디-바인베르크 법칙 문제에 쓰는 스킬 공식과 매우 닮아있는 꼴이므로, 물개물개님이 작성하신 하디-바인베르크 법칙 문항에서 '분수 해석하기'(https://orbi.kr/00072475834) 칼럼에 소개된 스킬을 그대로 쓸 수 있습니다.




현실 세계에서는 p가 계산하기 매우 곤란한 비순환 무한소수 같은 게 될 수도 있지만, 수능 물2 특성상 적당히 계산 가능한 유리수로 등장할 수밖에 없습니다. 따라서

라 한다면, 비례식으로도 일반화해볼 수 있겠습니다. (단, a와 b는 서로소인 자연수) 즉, 가령 진동수가 같은 음파를 발생시키는 두 음원에 대해 관찰자가 측정한 진동수를 비교한다면,



이고, 많은 경우 두 음원의 속력은 배수 관계로 제시되므로 편의상 그 비를 m:n이라 하면



가 됩니다. 진동수에 대한 비례식이 주어졌거나 비례식을 세울 수 있을 때, 위와 같은 형태로 조작하면 p를 (즉 또한 v를) 바로 구할 수 있습니다. 비례식이 복잡해 보이지만 많은 경우 b=1이고, 복부호(플마)의 부호는 문제에서 결정해주기 때문에 그냥 비례식의 차를 적절히 조작하면 된다는 이야기입니다.




설명은 수식적으로 했지만, 지금 소개해드리는 방식은 당연히 수식을 최대한 안 쓰기 위해 도입하는 것입니다.

몇 가지 예시를 통해 살펴봅시다.


<2025학년도 대학수학능력시험 물리학2 12번>


우선 따끈따끈한 작수 기출부터 보겠습니다.



이므로,

이고


입니다. 따라서 답은 1번입니다. 물론, 실전에서는 첫줄을 생략하고 두번째 줄부터 쓰면 되고, f_0 같은 문자는 역시 안 써도 됩니다. 숙련된 상태라면 아예 숫자만 쓰고 답을 낼 수도 있겠죠.


cf) 실전에서 문자 쓰기 싫으면 마지막 과정에서 (19+x)/(19-3)=20/16이므로 q=1/19V로 가도 됩니다.

<2014학년도 대학수학능력시험 물리2 11번>



이므로 답은 3번입니다. 

<2017학년도 9월 모의평가 물리2 11번>


문제를 보자마자

임을 압니다. 역학적 에너지 보존에 의해

니까 그냥 대입하면


입니다.

<2019학년도 9월 모의평가 13번>


중간 과정을 좀 더 생략하고 좀 더 실전적으로 써보겠습니다.


이므로,

입니다. (비례식의 차가 p -> 비례식의 차를 1으로)

<2022년 10월 학력평가 물리학2 13번>


파장을 줬으니 파장으로 접근해서 더 나은 풀이를 모색해볼 수도 있겠지만, 아무튼 진동수로 풀어보겠습니다.

측정된 파장의 비가 2:3이므로, 측정된 진동수의 비는 3:2입니다. 즉,


이므로 (비례식의 차가 3p -> 비례식의 차를 3으로)


입니다. 따라서 이 결과를 파장 공식에 대입하면


이고 답은 1번입니다.

<2016학년도 약학대학입문자격시험 물리추론 7번>


비례식을 간단히 세우면

이므로,

입니다. 물론 실전에서 왼쪽 수식을 쓸 필요는 당연히 없고 바로 맨 오른쪽의 분수 계산만 하면 됩니다.


문제에서 제시된 매질에서의 음파의 속력은 과조건입니다.

<2023년 10월 학력평가 물리학2 17번>


마지막 예시는 파장으로 가져왔습니다.

이므로, 비례식은 오히려 더 간단하게



로 세워지고 (비례식의 차가 2p -> 비례식의 차를 2로),

를 얻습니다.

<2023학년도 대학수학능력시험 물리학2 10번>


위에 마지막이라고 했는데 오류로 이 문제가 맨 밑으로 내려왔습니다... (나)에 의해 속력의 비가 1:3이므로,



입니다. (비례식과 마찬가지로, 차 4p -> 차 4. 비례식과 분수 계산은 본질적으로 같죠.) 따라서

이고 답은 1번입니다.





제2외국어 칼럼이 아닌 칼럼은 처음 써보는데... 도움이 되는 칼럼일지 모르겠습니다. 써놓고 보니 고인물들이 보기엔 너무 뻔한 내용이었을지도 모르겠다는 생각이 드네요. 읽어주셔서 감사합니다.

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