푸리에 예제 푸리

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미분방정식 1편 - https://url.kr/qh93il

미분방정식 2편 - https://url.kr/s11fhf

회로이론 1편 - https://url.kr/v58ss4

회로이론 2편 - https://url.kr/h4w5ai

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라플라스 변환에 관한 내용은 '미분방정식 2편'을 참조해주세요.

(이미지 450장 이상이나 첨부했으면서 분량 짧음 ㅇㅈㄹ)

f(t)가 주기가 T인 주기성을 가질 때, 위 식으로 표현할 수가 있어요. 이때 n은 정수입니다.

이 f(t)를 위처럼 삼각함수에 대한 급수로 표현하는 걸 배우려고 합니다!

모든 t₀에 대해 저런 정적분에 대한 조건이 성립해야 한다는 거예요.

우선 위 식을 0부터 주기 T까지 정적분한 형태로 바꿔봅시다.

n이 적분이고 각진동수 w가 2π/T라는 걸 통해서, 저 두 빨간 적분 식이 모두 0의 값을 지닌다는 걸 알아야 합니다!

그러면 a₀가 저렇게 상수로 나오게 되네요.

이번에는 맨 위의 식의 양변에 cos(mwt)를(이때 m은 또 다른 정수) 곱한 다음에, 똑같이 0부터 주기 T까지 정적분할 겁니다. 이번에는 중간의 주황 적분 식이 0임을 눈치채셔야 합니다. a₀은 상수라고 말씀드렸죠?

여기서 그림의 빨간 적분 식을 주목해봅시다. 저걸 적분하기 위해서는...

위의 삼각함수 공식을 활용해야 합니다. 그래야 적분을 더 간편하게 풀 수가 있거든요!

저게 왜 성립하는지는, 삼각함수의 덧셈정리를 통해서 손쉽게 보일 수가 있으니 한번 해보세요!!

b_n은 t에 의존하지 않는 상수이니 적분 식 밖으로 뺍시다. 이때 n, m이 서로 다를 때 적분 식을 계산하다보면, 값은 결국 0이란 걸 알 수가 있어요.

적분 값은 그대로 0이 됩니다.

이제 저 빨간 적분 식을 분석해볼까요. 저 적분을 풀려면...

위의 공식을 써야 합니다.

n, m이 서로 다를 때 적분 값은 0이 되네요.

이번에는 0이 아닌 값이 나왔습니다!!

여기서 정수 n, m의 역할을 헷갈리시면 안 돼요...! n은 저 식의 급수에 내포된 정수이지만, m은 n의 여러 값들 중 (1, 2, 3, ..., m, ...) 하나임을 잊지 않으시는 것이 매우 중요합니다! 즉, m은 n과 다르게 변하지 않는 정수예요!

위의 급수는 저런 식으로 표현된다는 거죠!

n, m이 서로 같은지, 다른지에 따라 적분값이 위처럼 달라짐을 이용하면 위처럼 정리할 수가 있어요!

m을 다시 n으로 바꿔주기만 하면...!?

이렇게 해서, a_n을 구해냈습니다!

이번에는 양변에 sin(mwt)를(m은 또 다른 정수) 곱한 다음, 0부터 T까지 정적분합시다!

그러면 a_n을 구하는 과정에서 보여준 것처럼, 위 두 적분 식들은 모두 0의 값을 가지게 됩니다.

자, 이제 저 적분을 풀어보죠. 이걸 풀려면...

이걸 써야겠네요.

n, m이 서로 다르다면 0이 나오고...

서로 같다면 저 결과가 나오는군요.

그러면 급수 형태는 위처럼 쪼개지게 될 거고,

n과 m이 서로 같은지, 다른지에 따라서 적분 식들을 각각 위처럼 정리하면?

끝!!

*cos(nwt), sin(nwt)도 주기가 2π/w=T이므로 문제없음.

위의 톱니파의 푸리에 급수를 구해봅시다.

그림에서 주기가 2임을 캐치하시고, 그에 따라 각진동수 및 특정 주기에서의 함수 식도 구하셔야 합니다. 이게 기본이에요.

우선 a₀를 구해봅시다. 간단하게 나오죠?

이번엔 a_n입니다. 적분 식이 짜증나게 생겼네요. 부분적분하기 귀찮은데 말이죠...

b_n입니다. 아까 언급한 부분적분을 대체하는 공식을 통해서 빠르게 구하실 수 있습니다.

저것이 바로 톱니파 f(t)의 푸리에 급수입니다.

n을 1부터 10까지 합했을 때의 그래프입니다.

이 함수입니다;

이 그래프의 주기는 2가 아니라 4임에 유의해주세요. 그림에서처럼 적분 구간을 -1<t<3으로 정해줍시다.

이제 본격적으로 푸리에 급수를 구하는 작업을 진행해볼까요?

a₀는 쉽게 구할 수 있어요. 근데

a_n이 좀 wl랄이네요.

b_n도 심상치가 않습니다..

.....저것이 바로 y(t)의 푸리에 급수 형태입니다.

푸리에 급수의 일반적인 공식은 저렇게 표현된다고 말씀드렸죠.

여기서 우함수, 기함수에 관한 공식을 적용할 때 처음 a₀, a_n, b_n의 적분 구간은 -T/2~T/2로 잡아주셔야 대칭을 이용하여 공식을 변형할 수 있습니다. 

만약 f(t)가 우함수라면, cos와 sin이 각각 우함수, 기함수라는 성질에 의하여 b_n=0이 됩니다. a₀, a_n은 각각 0부터 T/2까지 적분한 값의 2배로 나타나게 되고요.

만일 f(t)가 기함수라면, 이번앤 반대로 a₀=a_n=0이 됩니다. b_n은 각각 0부터 T/2까지 적분한 값의 2배로 나타나게 되고요.

저런 형태의 함수를 바로 반파대칭이라고 부릅니다. f(t)>0 부분의 함수를 x축으로 반주기 T/2만큼 대칭이동시키면 원래 f(t)<0의 자리에 있던 함수와 서로 x축 대칭을 이루는 게 특징이죠.

반파대칭에 대한 특징을 나타내는 함수 표현은 위와 같습니다.

먼저 a₀는 0이란 갈 간단하게 바로 알 수가 있고요,

a_n은 a₀처럼 간단히 구할 수가 없습니다. 

여기서 그림처럼 치환적분과 반파대칭의 식을(우측 상단) 활용하셔야 해요.

여기서 삼각함수 덧셈정리를 쓰면 아래의 식으로 간단히 정리되고요.

그러면 최종적으로 a_n의 식은...

이렇게 나타낼 수가 있는 것이죠! n이 짝수면 0, 홀수면 저 적분 식!!!

다음은 b_n입니다. a_n을 구하는 과정이랑 거의 같습니다.

치환적분과 반파대칭 식을 이용하고

삼각함수 덧셈정리를 활용하여 정리하면...

...한 번 더 정리하면...!!

b_n은 저렇게 표현할 수가 있단 걸 알 수 있습니다! a_n일 때랑 똑같이 n이 짝수일 때 값이 0이군요!

이 함수입니다.

적분 구간은 되도록이면 -T/2~T/2로 잡아주시는 게 좋습니다.

그래프 그림은 딱 봐도 기함수고요.

기함수란 걸 알았으니 그의 공식을 써야 겠죠.

참 깔끔하네요

f(t)의 최종 푸리에 급수입니다.

기괴하군요

그래프 모양을 딱 보니 기함수군요.

기함수이므로 b_n만 고려합시다.

이 쯤 됐으면 부분적분 대체 공식에 슬슬 익숙해지실 때가 됐겠죠?

최종 국ㅅ.. 아니, 급수입니다.

적분 구간을 0~5까지 잡고 싶다는 유혹을 참아냅시다. 우함수 성질을 이용하려면 대칭이 필연적이므로 -2.5~2.5로 구간을 잡으셔야 합니다. 우함수이니 b_n은 무시합시다.

a₀=4.

a_n은... 다행히 부분적분이 없군요. 그래도 지저분하지만

급수 형태 꼬라지를 보니 뭔가 믿음이 안 가시겠죠.

...이제 믿음이 가시나요?

반파대칭 함수입니다.

a₀은 그냥 0이고요, a_n, b_n이 n이 짝수일 때만 0임에 주의하시면 되겠네요.  

여기서 n이 홀수일 때만 중간의 주황색 급수가 유효합니다. 근데 저렇게 그대로 쓰는 것보다는, 차라리 우측에서처럼 n=2k-1이라고 두면 더 좋겠죠?

캬 정확!

cos, sin함수는 각각 저렇게 나타난다는 것이 기본입니다.

이 삼각함수들을 모두 수정하면 위처럼 표현되게 됩니다.

여기서 c_n*은 c_n의 켤레복소수입니다.  

최종적으로 복소수 푸리에 급수는 저렇게 표현된다는 걸 알게 됐습니다!

c_n이 뭔지 좀 더 자세히 살펴봅시다. 아까 c_n=(a_n-jb_n)/2라고 정의했고, cos, sin 함수의 복소수 표현이 맨 위와 같다고 했으므로, 이를 종합하면, c_n의 식이 나오게 됩니다!!

위 함수를 복소수 푸리에 급수로 바꾸고자 합니다.

아까 구한 공식에다 데이터를 모두 때려넣은 후,

정리하면 됩니다. 그럼 c_n이 나오게 돼요. 

여기서 e^-2nπj는 1이란 걸 눈치채셔야 합니다. 나머지 항들은 정수 n에 따라 값이 달라지므로 변환은 생략할게요.

저것이 찐 c_n입니다.

자, f(t)의 최종 복소수 푸리에 급수입니다.

푸리에 급수로부터 푸리에 적분을 유도할 겁니다.

먼저 △w을 위처럼 정의합시다.

그러면 푸리에 급수 식은 위처럼 변형됩니다.

그러면 분자 자리인 f(t)를 -T/2~T/2까지 정적분한 값의 극한값은 수렴할 거고, 분모 자리인 T는 양의 무한대로 발산하게 되므로 주황색 식은 0이 됩니다. 

여기서 급수의 식은 T가 ∞로 갈 때 밑처럼 적분의 식으로 뒤바뀌게 됩니다!

아까 그 적분 식을 정리하면, 푸리에 적분의 공식이 위처럼 나타납니다.

이 함수를 푸리에 적분으로 나타내야 합니다.먼저 A(w)입니다.

그 다음은 B(w)입니다.

즉, f(t)의 최종 푸리에 적분의 식은 위처럼 표현됩니다. 

위는 w에 대하여(t에 대하여 적분한 게 절대 아님) 0에서 20까지 적분했을 때 나오는 그래프입니다.

50까지 적분했을 때의 그래프를 보여드리고 싶었는데 렉 땜시... 예..

t=0일 때 cos(wt)=1이므로 sin(w)/w를 0부터 ∞까지 정적분한 값이 π/2임도 보일 수가 있어요!

우함수일 때는 B(w)=0이고,

기함수일 땐 A(w)=0이 됩니다.

위 함수로 연습을 해보죠. 이 함수가 우함수냐, 기함수냐에 따라서 푸리에 적분을 구해볼 거예요.

먼저, 주어진 함수가 우함수인 경우입니다. 우함수면 B(w)=0이므로 무시하고 A(w)만 구해줍니다. 여기서 제가 부분적분 가정을 생략하고 '공식'을 이용하여 바로 적분을 구하긴 했는데, 이 '공식'은 이따가 보여드릴 겁니다.

아무튼...우함수일 때 푸리에 적분은 저렇게 나타나게 됩니다.

k=1이고 w에 대해 0부터 30까지 적분해서 나온 그래프입니다!

다음은 기함수인 경우입니다. 이때는 A(w)=0이니까 B(w)만 생각합시다.

기함수일 때의 푸리에 적분입니다!!

k=1이고 w에 대해 0부터 30까지 적분했을 때 출력되는 그래프입니다.

다음 예제입니다. 이번 함수는 우함수도, 기함수도 그 뭣도 아니므로 A(w), B(w) 모두 생각해야겠습니다.

A(w). 저 적분은 그냥 구할 수는 없으므로,

맨 위의 삼각함수 공식을 통해서 간단하게 정리한 뒤 적분을 계산하시면 됩니다.

다음은 B(w)입니다. 이것도 그대로 적분할 수 없으니까,

맨 위에 주어진 공식을 이용하여 계산하시면 해결되겠죠.

자, 저것이 바로 f(t)의 푸리에 적분 식입니다!!

우함수인지, 기함수인지 감이 잘 안 오신다면,

그림을 그려보시면 됩니다.

기함수이므로 B(w)만 고려합시다.

그러면 f(t)의 푸리에 적분이 저렇게 구해지겠죠?

CLOSE ENOUGH

그러나 여기서 우리는 오직 이 공식만을 고수할 겁니다.

f(t)의 푸리에 변환 식 F(w)의 역변환 공식은 저렇게 나타납니다.

f(t)의 역변환을 구하는 공식의 형태가 저렇게 생겼다고 가정해볼 겁니다.

이렇게 가정했다는 것 자체가 이미 역변환 공식이 뭔지 알고 그와 비슷한 형태로 가정했다는 건데... 그냥 넘어갑시다. 어차피 여러분은 보통 공식만 외우지, 공식의 상세하고 엄밀한 유도 과정에는 관심이 없잖습니까, 안 그래요?

...있다면 죄송합니다.

아무튼 우리는 아직 G(w)가 뭔지 모르므로 우선 G(w)=F(w)라고 가정해봅시다.

이제 적분 순서를 위처럼 바꿔주세요.

그리고 ?(e^jw₀t)의 결과가 2πδ(w-w₀)임을 활용할 겁니다. 왜 이 식이 성립하는지는 이따가 학습할 거니 걱정 마시고요.

위와 같은 함수 f_k(t-t₀)에 대하여...

f_k(t-t₀)의 k가 0으로 갈 때의 함수가 바로 δ(t-t₀) 즉, 디랙 델타 함수입니다.

이 엄밀한 표현을 가지고 정리하며.....어어어???

이번에는 F(w)에 상수 C를 붙여서 똑같은 연산을 수행해보죠..

그러면 다행히도 C가 나오게 됩니다!! 즉, 역변환 공식은 우측처럼 표현되는 거죠!

간단한 푸리에 변환의 성질입니다.

진짜 간단하죠?

위 세 함수의 푸리에 변환을 구하는 문제입니다.

먼저 δ(t-t₀)입니다. 디랙 델타 함수의 엄밀한 식을 통해 손쉽게 구할 수가 있죠!

이번에는 e^jw₀t입니다. 그런데 이 함수는 푸리에 변환의 적분 식을 그대로 수행할 수가 없습니다.

먼저 오일러 공식을 살펴봅시다. 이거는 복소평면과 밀접하게 연관돼있다고 언급했었죠. (회로이론 1편 참고)

여기서 wt는 원점을 기준으로 하는 벡터와 실수축 R이 서로 이루는 각도입니다. t가 증가할수록 벡터는 반시계방향으로 회전하게 되지요.

반대로 t가 줄어들수록 이 벡터는 시계방향으로 회전하고요.

예를 들어, 저렇게 주어진 식이 있다고 합시다. 이 식을 복소평면의 회전 벡터로 표현하면 시간 t에 따라서 그림처럼 나타나게 딥니다.

e^jt의 벡터 표현은 그림과 같습니다.

먼저 이 식을 t에 대해 0부터 π까지 적분해봅시다. 그러면 2j가 나오게 돼요.

특정 시간에서의 벡터의 크기에 비례하고 방향이 서로 같은 미소 벡터를 생각해봅시다. 실제 미소 벡터의 크기는 그림에서보다 훨씬 더 작습니다. 잘 보이기 위해서 일부러 크게 키운 것일 뿐..

결국 e^jt를 0부터 π까지 적분한 거는, 이 적분 구간 내의 각 시간에서의 미소 벡터들을 모두 합한 결과라는 것입니다!

똑같은 식을 이번에는 0부터 π/2까지 적분해봅시다. 이 경우에도...

미소 벡터들의 합과 적분 값이 서로 일치함을 확인하실 수 있습니다!

t가 일정하게 증가할 때 이 벡터 또한 일정한 각속도로 계속해서 회전한다는 것이죠.

먼저 어떤 f(t)의 푸리에 변환 ?(f(t))가 저렇게 나타난다고 가정합시다.

F(w)의 푸리에 역변환의 공식을 함꼐 적용하면, 결국 맨 아래의 주황색 식이 성립한다는 걸 알 수 있죠!

따라서 e^jw₀t의 역변환은 저렇게 구해집니다!

다음은 cos(w₀t)인데... 이것도 적분이 불가능합니다.

왜냐하면  cos(w₀t)는 시간 t에 따라 크기가 변하더라도, 결국 각속도는 w₀로 일정하기 때문에, t가 증가해도 이 벡터는 계속해서 회전한다는 것이죠. 즉, 발산합니다..

cos(w₀t)를 복소수 e^jw₀t에 대한 꼴로 고쳐주셔야겠습니다.

?(e^jw₀t) 공식의 w₀자리만 바꾸면 되겠네요!

위의 그래프를 푸리에 변환해야 합니다.

특정 구간만 주어져있으므로, 푸리에 변환 적분 공식을 적용해도 문제없습니다!!

아, 마지막에는 삼각함수 형태로 수정했습니다. 허수 단위 j가 없으니까 더 보기 좋네요, 안 그런가요?

다음 그래프입니다.

이것도 단순하게 푸리에 변환 적분을 적용하면 끝납니다. 마지막 줄에서 삼각함수 꼴로 변환할 수 있으면, 웬만하면 그렇게 바꾸세요. 이번엔 j가 남아있네요... 어쩔 수 없죠.

이번 문제는 식이 그리 깔끔하진 않네요..

이제부터 푸리에 변환의 여러 공식들에 대해 알아봅시다.

먼저 f(at)의 푸리에 변환 공식입니다.

a>0일 때, 치환적분을 통해서 간단하게 증명할 수 있습니다.

a<0일 때엔, 치환적분까진 비슷하나, a가 음수이므로 적분 범위가 위처럼 살짝 변형됨에 주의하셔야 합니다. 최종적으로 -a는 결국 a의 절댓값이므로 결과가 빨간 식으로 변경됩니다.

다음은 ?(t-t₀)에 관한 공식입니다. 이 경우엔 e^-jwt₀라는 식이 ?(f(t))에 곱해지게 됩니다.

이 경우에도 치환적분으로 간단히 증명할 수 있죠.

이 식은 굳이 치환적분을 쓰지 않고도 위처럼 손쉽게 유도할 수 있습니다.

미분 공식입니다.

이때는 역변환 공식을 빌려야 합니다. 그 후, f(t)를 t에 대해 미분한 식을 만들어야 하므로 역변환 공식을 t에 대해 미분해줍니다. 그러면 ?(f'(t))의 식을 ?(f(t)) 즉, F(w)에 대해 나타낼 수가 있는 거죠.

이걸 계속하면, f(t)를 n번 미분한 식의 푸리에 변환 공식도 만들 수가 있어요.

이겁니다.

먼저 y(t)를 저렇게 f(t)의 적분 식으로 정의합시다.

그리고 ?(y(t))=Y(w)라고 잡고요,

그 후 아까 유도한 미분 공식을 그림처럼 이용하면, 적분 공식이 일부 완성됩니다.

따라서 우변 옆에 반드시 πF(0)δ(w)라는 항을 추가해야 합니다.

?(f(-t))에 대한 공식입니다.

이 공식은 푸리에 변환 적분 식과 치환적분을 이용하면 위처럼 유도됩니다.

?(f(t))=F(w)에서 F(t)를 다시 푸리에 변환한 결과가 바로 2πf(-w)라는 것이 바로 Duality 공식입니다.

이를 증명해보겠습니다. 먼저 푸리에 역변환 공식을 위처럼 살짝 변형해줍니다.

이 바꾼 역변환 공식의 t를 -t로 바꾼 다음, t와 w의 위치를 바꾸기만 하면 Duality 공식이 완성됩니다!

(*u(0)은 다루지 않습니다.)

u(t)가 있으므로 결국 적분 범위는 0부터 ∞까지가 됩니다. 부분적분을 써야 하네요..

위처럼 정리되는 걸 확인하실 수 있고요.

다음입니다. 이것 역시 u(t)를 고려하여 적분 범위를 바꿔주시고, 부분적분 대체 공식을 적용하면 됩니다.

0부터 ∞까지 적분할 때, 위처럼 경우에 따라서 적분이 되지 않을 수도 있습니다.

위 식은 e^-4t가 포함돼있어서 0부터 ∞까지 적분이 가능한 반면,

위의 두 경우에는 모두 발산하여 적분을 함부로 수행할 수가 없다는 것입니다.

각설하고, 다음 예제입니다.

이 문제는 디랙 델타 함수의 표현과 푸리에 변환 적분 공식을 적용하면 됩니다.

이 문제는... 디랙 델타 함수가 미분된 다소 생소한 표현이 있네요. 저건 추후에 생각하기로 하고, 우선 저 만만한 δ(3t)부터 봅시다. ?(δ(t))=1이므로 ?(δ(3t))는 1/3이겠군요. 저 빨간 박스 내부의 공식을 적용해본다면 말이죠.

...여기서 우리는 또 하나의 공식을 알아냈어요.

?(δ'(2t))를 살펴봅시다. 이 경우에는 저 빨간 박스 내부의 미분 공식을 활용해야겠습니다. ?(δ(2t))=1/2이므로 ?(δ'(2t))는 ?(δ(2t))에 jw가 붙은 형태이겠군요.

즉, 저것이 최종 답안입니다.

이번에는 꽤나 중요한 예제를 들고 왔습니다.

먼저, 삼각함수를 지수함수에 대한 표현으로 바꿔주시고, 우측의 빨간 박스 내부의 공식을 적용해주셔야 합니다. 여기서 F(w)=?(f(t))입니다.

이 경우도 똑같습니다.

다음 예제입니다.

위 함수는 그냥 적분으로도 충분히 구할 수가 있겠지만, 다른 방법으로도 풀어봅시다. (e^-(a+jw)t는 t→∞일 때 0으로 수렴함)

저 함수 식을 미분해봅시다. 이때 u(t)를 미분하면 δ(t)가 나온다는 것도 알아두세요.

이제 미분 공식을 적용해봅시다. 위처럼요. 그럼 답이 나와요.

여기서 디랙 델타 함수의 푸리에 변환 식은 잊으시면 안 됩니다.

적분으로 푼 과정입니다.

다음입니다. 이 문제는 적분 공식을 활용해야 합니다. 아까 u(t)를 미분한 것이 δ(t)라고 했으므로, u(t)를 δ(t)에 대한 적분 식으로 표현한 뒤 적분 공식을 적용해봐야겠죠! 여기서 G(w)는 적분 식 내부의 함수의(δ(t)) 푸리에 변환인 ?(δ(t))=1을 의미합니다. 상수함수이므로 G(0)=1이겠죠.

-미분으로 풀어보면 답이 완전 다르게 나오는데? 디랙 델타 함수가 안 나오잖아.

다음 문제. 상수함수의 푸리에 변환을 구하는 문제네요. 여기서 하나의 독특한 아이디어가 필요해요. 1=u(-t)+u(t)라는 겁니다.

: 이전에 u(0)의 값은 모른다고 하지 않았냐? t=0에서 u(t)+u(-t)는 정의되지 않는데 저렇게 표현해도 괜찮음?

: 괜찮을 거야.. 아마... (이런 질문 예상 못 함)

아무튼 아까 u(t)의 푸리에 변환 식도 구했겠다, 저 빨간 박스 내부의 공식을 적용해보면? 정답은 2πδ(w)가 되겠네요!

다음 예제입니다!

적분은 과감히 포기합시다.

F(w)=?(u(t))임에 유의하세요.

?(u(t))의 공식을 적용하면, 저렇게 답이 나오게 됩니다.

다음입니다. u(t)-u(t-1)이란 건 즉, 0<t<1 구간의 그래프만 주어져 있다는 뜻이겠죠. 이런 건 굳이 복잡하게 생각하지 말고, 그냥 푸리에 변환 적분 공식을 사용합시다.

다음.

이 문제도 참 버겁습니다. 먼저 |t|를 미분한 것이 u(t)-u(-t)라는 아이디어를 떠올리는 것이 중요합니다. 이제 미분 공식과 ?(u(t)) 공식, 그리고 우측의 또 다른 공식을[?(f(-t))=F(-w)] 써보면 되겠네요. 여기서 δ(t)는 δ(t)=δ(-t)라는 성질을 가진다는 것도 알아주세요.

최종 답입니다.

다음 문제입니다. 적분으로 접근을 시도해봅시다. 문제에선 주어져 있지 않지만, 여기서의 a는 양수라고 여기셔야 합니다.

아무튼 각 적분 식에서 t→-∞, t→∞일 때 그림처럼 각각 수렴하므로 적분을 해도 문제가 없을 겁니다.

여기서 우리가 안 써본 공식이 있죠? 저 Duality 공식 말이에요.

먼저 위처럼 정의합시다.

Duality 공식을 활용하여 위처럼 식을 적어주시고,

적절히 식을 정리하다가 t, w의 위치만 마지막에 바꿔주시ㅁ.... 엇.

아까 구한 ?(|t|)의 식을 참조합시다...;; F(w)의 형태도 딱 우리가 푸리에 변환을 할 함수랑 같은 꼴이네요.

이제 위처럼 Duality 공식을 적절히 사용하시면 ?(1/(t²))이 뭔지 알아내실 수가 있어요!!! 

신박하죠??

다음입니다. 이 문제는 이전에 구했던 ?(e^-a|t|)의 형태와, 문제에서 푸리에 변환을 구해야 하는 함수가 꼴이 서로 같다는 걸 알아야 함이 매우 중요합니다.

아까와 똑같이 Duality 공식을 사용해봅시다.

WOW!!!!

(*e^at, e^-at, e^-a|t|에서 a는 양수입니다.)

첫 번째 예제입니다.

옆에다가 푸리에 변환 공식들을 띄워놓겠습니다.

위의 두 문제들은 공식만 잘 활용하면 손쉽게 풀립니다.

허나 이 문제는 가벼운 부분분수 작업을 해주어야 풀립니다.

다음 예제.

우선 저 e^-2jw는 나중에 생각하고, 먼저 ?^-1(1/(1+jw))부터 구해봅시다.

그 후, 우측의 빨간 박스 안의 공식을 통해서 역변환을 구해냅니다.

이 문제는 우측의 빨간 박스 내부의 공식을 무조건 활용해야 합니다. (a+jw)의 거듭제곱 꼴이 분모 자리에 있는 게 유사하잖아요.

저 두 빨간 박스 안의 공식들을 활용해봐야 합니다. 어떻게 그걸 아냐고요?

왼쪽에선 역변환을 구해야 하는 함수와 형태가 똑같은 식이 포함된 공식을 골랐고, 오른쪽에선 왠지 저 Duality 공식이 다른 공식들보다 더 적합할 것 같다고 느꼈거든요.

저 역변환을 시켜야 하는 함수를 F(w)라고 두고, 그 역변환의 결과를 f(t)라고 두신 후, Duality 공식을 쓰셔야 합니다.

그러고 나서, 빨간 박스 내부의 공식을 이용하면, 결국 최종 답이 나오게 됩니다. (-w를 t로 변환)

계속 가봅시다. 문제가 너무 많아서 지치시죠?

...저도요.

이 문제는 위의 그 어떤 공식으로도 풀 수가 없어 보입니다. 그렇다면...

결국 이걸 꺼내야만 하겠네요.

디랙 델타 함수의 특징을 이용하여 저렇게 역변환을 바로 구할 수가 있습니다!

이 문제 역시...

디랙 델타 함수의 특징으로 구할 수가 있죠!

이제 남은 건 저거네요.

부분분수 분해 작업을 하신 뒤, 우측의 두 공식들을 활용하시면 되겠습니다.

다음입니다.

이 문제는 그냥 저기 있는 빨간 박스 내부 공식만 잘 활용하시면 됩니다. 별 거 없어요.

...이 문제는 별 거 있습니다. 적분은 포기합시다.

?^-1(e^ajw)를 구하기 위해 저 두 공식들을 써야겠습니다. 어떻게 쓰냐고요?

이렇게요.

끝.

다음 문제는 저 두 공식들을 써봐야겠다고 눈치채시는 게 중요합니다.

먼저 복소수 지수함수를 곱하지 않은 식의 역변환부터 구하신 뒤, 이 지수함수를 고려하여 변형하면 됩니다.

다음입니다.

오, 마침 딱 맞는 공식이 있네요.

Duality 공식을 위와 같이 적용하신 다음,

우측의 빨간 박스 내부 공식을 통해 답을 구해주시면 됩니다.

그런데 이 문제는 위의 어떤 공식으로도 풀 수가 없습니다...;;

그러면.... 어음...

저렇게 복소수 범위까지 넘어가서 부분분수 작업을 해야겠네요;;

....저런 식으로 말이죠.. 고통스럽네요;;

부분분수 작업 완료.

위처럼 우측의 공식에다 다 비교해가면서 역변환을 하시면 됩니다. 여기서 제가 안 안려준 공식이 하나 있는데, 그건 우측 하단에 적어뒀습니다. (증명 생략)

참 풀기 싫게 생겼네요.

이 문제는 적분 범위가 좁혀졌으므로 그냥 '감사합니다'하고 역변환 적분 공식을 쓰시면 됩니다.

이 문제는.... 진짜 개쩝니다.

위처럼 식의 변형을 할 줄 알아야 해요!

근데 바로 구하기 힘든 항들이 나왔네요. 저 두 공식들로 역변환을 구해봅시다.

우측의 두 공식들을 봐가면서 위처럼 식을 정리해주세요.

그러면 저 보라색 식이 최종적인 정답이 됩니다.

저 연산이 이해가 잘 안 되실까봐, 제가 위에다가 그림을 그려드렸습니다. 

위같은 적분이 있다고 칩시다.

위 적분 식은 위처럼 푸리에 역변환 공식을 끼워넣은 형태로 수정할 수가 있어요.

그 뒤, 위처럼 적분 순서를 바꾸고 저 주황색 식을 F(-w)라고 치환하신 후,

F(-w)가 F(w)의 켤레복소수 즉, F*(w)라는 사실을 이용하여 위처럼 식을 수정하시면 됩니다!

(F(w)=a+jbw일 때 F(-w)=a-jbw. 이때 a, b는 실수)

아까 보여드린 공식에만 잘 대입하면 그냥 끝입니다! 복소수 크기에 관한 정보는 아래에 초록색으로 적어드렸습니다.

*내용 오류가 있다면, 제게 보고해주세요!