괴델의 불완전성 정리 반박+a
게시글 주소: https://orbi.kr/00072540180
불완전성 정리란?
제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.
제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
불완전성 정리 요약
B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"
제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다
제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
준비물
모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다
명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다
명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다
이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제1정리 반박
B는 명제논리로 나타낼 수 있다
따라서 B는 무모순이고 완전하다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제2정리 반박
B는 무모순이고 완전하다
따라서 "B는 무모순"는 참
B를 명제논리로 나타낼 수 있다
명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다
따라서
B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다
"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"
위 명제가 참.
따라서
B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
가 참
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
결론
1. B는 무모순인 동시에 완전하다
2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
괴델의 문제
G="G는 증명불가능"
괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함
그런데 이는 G를 증명한것
G의 내용과 모순
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
완전성 증명
1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)
2. (Not A->모순)<->A
3. A->(A의 증명있음)
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
공리의 실체
1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)
2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)
3. (A는 공리)->(A의 증명없음)
4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)
무모순=참
5. (A는 공리)->(A가 거짓)
6. (A가 참)->(A는 공리아님)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
근데 그건 있음 학생시절을 지나면 내가 남에게 평가받는 지표는 직업의 사회적 지위와...
-
대단한 친구였죠!
-
현우진보다가 이분 보니깐 좀 따뜻해지는 느낌 음
-
————-메모————-
-
국 손창빈 심찬우 수 강기원 최지욱 김성호 영 정석현 생2 이서준 지 홍은영 나진환...
-
신 3
발
-
그런 의미에서 노력도 재능의 성과의 연장선상 같음
-
저녁은 참고 자는게 낫겠죠? 근데 또 배고픈거 같은건 기분탓인가
-
킥백 라이브로 듣고싶다.. 콘서트 가는사람 부럽
-
2주만에 한것 치고는 통역이 잘 나와서 과외 선생님께 칭찬받은 1인 ㅋㅋㅋ
-
뇌가 느려진거보다 손이 더 느려져서 손이 못따라가서 계산 꼬이는 경우가 부지기수임
-
배드얼라이브예스
-
목감기 걸렸는데 0
목소리가 초저음이 됐네
-
과탐 브릿지 0
30점대 나오는데 이거 좆된거임?
-
비록 듣다가 드랍했지만 민철이형의 붙여읽기가 너무 도움되었던
-
3월의 끝이 다가옵니다. 여전히 많은 분들께서 수능과 관련된 고민을 하고...
-
가면 ㅇㅈ올릴게
-
나도 조만간 휴학할 거라고 했다… 국가가 휴학도 시켜주지 숙식도 해결해주지 얼마나...
-
동일계출신 편입생이랑 실험 같은조 되먄 오히려 좋은건가 1
ㅈㅉ모르겠음
-
진짜 접근도 못하겠음
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.