괴델의 불완전성 정리 반박+a
게시글 주소: https://orbi.kr/00072540180
불완전성 정리란?
제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.
제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
불완전성 정리 요약
B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"
제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다
제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
준비물
모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다
명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다
명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다
이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제1정리 반박
B는 명제논리로 나타낼 수 있다
따라서 B는 무모순이고 완전하다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제2정리 반박
B는 무모순이고 완전하다
따라서 "B는 무모순"는 참
B를 명제논리로 나타낼 수 있다
명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다
따라서
B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다
"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"
위 명제가 참.
따라서
B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
가 참
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
결론
1. B는 무모순인 동시에 완전하다
2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
괴델의 문제
G="G는 증명불가능"
괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함
그런데 이는 G를 증명한것
G의 내용과 모순
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
완전성 증명
1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)
2. (Not A->모순)<->A
3. A->(A의 증명있음)
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
공리의 실체
1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)
2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)
3. (A는 공리)->(A의 증명없음)
4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)
무모순=참
5. (A는 공리)->(A가 거짓)
6. (A가 참)->(A는 공리아님)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
[후기] 진격거 극장판 보고와따 (스포있나..?) 16
ㅎㅇㅎㅇ 리비 와씀 (TMI) 저번주에 진격거 극장판 보고와씀!!! 참고로 와타시는...
-
살짝 걸러들을 필요가 있음 의사나 의대생들의 현실인식(공부 잘하는 사람이 선택할 수...
-
누가 그러던데 사실입니까????
-
ㅎ헤
-
고2 10모 3등급 지난주에 풀어본 2303 2등급 기회 1번 중복 시 n분의 1
-
개소리는 감별 잘해서 뒤꽁무니 잘 쫓아다니는듯
-
고1 수학 학력평가에서 1등급을 받으려면 무슨 문제집(쎈, 블랙라벨, 자이 등)...
-
최저 문재 업나효 사실 스무스한거 알고 있는데 자랑해보고 싶었음
-
인공눈물 사라짐 6
눈 건조한데 어디갔지 누가 훔쳐갔나
-
귀류 없이 풀려고 하다 보면 막히는거 30분씩 걸리는데 이래도 괜찮은가요?
-
Kirchhoff's loop rule Kirchhoff's junction rule 까리하노
-
취르비입갤 1
헤롱헤롱
-
대성패스는 없는데 대성에서 구매하려면 강의도 같이 구매해야하는거 같더라구요.. 책만...
-
한 3~4년 전쯤이랑 비교하면 내가 생각해도 같은 사람이 맞나 싶다 지나버린 내...
-
에휴
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.