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쿠쿠리 [1310649] · MS 2024 · 쪽지

2025-03-22 09:32:52
조회수 180

괴델의 불완전성 정리 반박+a

게시글 주소: https://orbi.kr/00072540180

불완전성 정리란?


제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.

제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.


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불완전성 정리 요약


B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"


제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다


제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다


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준비물


모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다 


명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다


명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다


이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임


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제1정리 반박


B는 명제논리로 나타낼 수 있다


따라서 B는 무모순이고 완전하다


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제2정리 반박


B는 무모순이고 완전하다


따라서 "B는 무모순"는 참


B를 명제논리로 나타낼 수 있다


명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다


따라서


B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다


"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"


위 명제가 참.


따라서 


B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다


가 참

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결론


1. B는 무모순인 동시에 완전하다


2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다



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괴델의 문제


G="G는 증명불가능"

괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함

그런데 이는 G를 증명한것

G의 내용과 모순 


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완전성 증명


1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)


2. (Not A->모순)<->A


3. A->(A의 증명있음)


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공리의 실체


1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)


2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)


3. (A는 공리)->(A의 증명없음)


4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)


무모순=참


5. (A는 공리)->(A가 거짓)


6. (A가 참)->(A는 공리아님)


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쿠쿠리 [1310649]

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