괴델의 불완전성 정리 반박+a
게시글 주소: https://orbi.kr/00072540180
불완전성 정리란?
제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.
제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
불완전성 정리 요약
B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"
제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다
제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
준비물
모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다
명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다
명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다
이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제1정리 반박
B는 명제논리로 나타낼 수 있다
따라서 B는 무모순이고 완전하다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
제2정리 반박
B는 무모순이고 완전하다
따라서 "B는 무모순"는 참
B를 명제논리로 나타낼 수 있다
명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다
따라서
B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다
"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"
위 명제가 참.
따라서
B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
가 참
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
결론
1. B는 무모순인 동시에 완전하다
2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
괴델의 문제
G="G는 증명불가능"
괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함
그런데 이는 G를 증명한것
G의 내용과 모순
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
완전성 증명
1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)
2. (Not A->모순)<->A
3. A->(A의 증명있음)
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
공리의 실체
1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)
2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)
3. (A는 공리)->(A의 증명없음)
4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)
무모순=참
5. (A는 공리)->(A가 거짓)
6. (A가 참)->(A는 공리아님)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
https://blog.naver.com/analysis_81/223806049431
-
마지막에 본 영화가 오펜하이머라 그런지 조금 실망함 그래도 재밌어요
-
-
작년 1점차 3떴고ㅠ 재종 다니고 있는데 쌤이 문장을 정확하게 다 해석이 되는...
-
ㅈㄱㄴ 연세대 서울대 차이 많이나나요ㅔ
-
롤하지 말고 4
로블록스 ㄱㄱ
-
ㄷㄷ
-
대성패스 사요 1
쿨거래 부탁해여
-
-
언중의 실제 언어 생활은 비규범적인 것들이 가득하단 걸 항상 기억해야 함 발음도...
-
쫀득하고 꼬쏘하니 달짝지근하다
-
첫 정답자 2000덕 드리겠습니다! 쉽네요!
-
남자마감.
-
결국 제적하네 5
ㄷㄷ
-
걍 공부만 함 0
걍 공부임
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.