괴델의 불완전성 정리 반박+a
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불완전성 정리란?
제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.
제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.
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불완전성 정리 요약
B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"
제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다
제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다
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준비물
모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다
명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다
명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다
이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임
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제1정리 반박
B는 명제논리로 나타낼 수 있다
따라서 B는 무모순이고 완전하다
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제2정리 반박
B는 무모순이고 완전하다
따라서 "B는 무모순"는 참
B를 명제논리로 나타낼 수 있다
명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다
따라서
B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다
"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"
위 명제가 참.
따라서
B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
가 참
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결론
1. B는 무모순인 동시에 완전하다
2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다
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괴델의 문제
G="G는 증명불가능"
괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함
그런데 이는 G를 증명한것
G의 내용과 모순
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완전성 증명
1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)
2. (Not A->모순)<->A
3. A->(A의 증명있음)
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공리의 실체
1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)
2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)
3. (A는 공리)->(A의 증명없음)
4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)
무모순=참
5. (A는 공리)->(A가 거짓)
6. (A가 참)->(A는 공리아님)
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