괴델의 불완전성 정리 반박+a

Question

불완전성 정리란?

제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.

제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.

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불완전성 정리 요약

B="페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"

제1정리. B는 무모순인 동시에 완전할수 없다

제2정리. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다

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준비물

모든 논리체계는 명제논리로 나타낼수 있다

명제논리는 무모순성과 완전성이 증명되어있다

명제논리의 무모순성을 증명하는 논리체계 역시 명제논리로 나타낼 수 있다

이말은 명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다는 말임

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제1정리 반박

B는 명제논리로 나타낼 수 있다

따라서 B는 무모순이고 완전하다

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제2정리 반박

B는 무모순이고 완전하다

따라서 "B는 무모순"는 참

B를 명제논리로 나타낼 수 있다

명제논리로부터 명제논리 자신의 무모순성을 증명할수 있다

따라서

B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다

"B는 무모순" and "B(명제논리)로부터 B(명제논리)자신의 무모순성을 증명할수 있다"

위 명제가 참.

따라서

B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다

가 참

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결론

1. B는 무모순인 동시에 완전하다

2. B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다

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괴델의 문제

G="G는 증명불가능"

괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함

그런데 이는 G를 증명한것

G의 내용과 모순

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완전성 증명

1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)

2. (Not A->모순)<->A

3. A->(A의 증명있음)

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공리의 실체

1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)

2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)

3. (A는 공리)->(A의 증명없음)

4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)

무모순=참

5. (A는 공리)->(A가 거짓)

6. (A가 참)->(A는 공리아님)

qwer0415 · Accepted Answer

명제라는 건 참과 거짓으로 판단하는 겁니다. 즉 g: g는 증명할 수 없다에서 g가 참이라는 건 g를 증명할 수 없음을 증명했으므로 맞다가 아니라
g가 참 = g는 증명 가능인데 결론은 증명할 수 없음이 되니 모순입니다
즉 님이 gpt랑 엄청 해서 장글을 쓰셨지만 제일 처음 조건부터 이미 잘못돼서... 논박이 불가능하게 됩니다.

간단한 예시로

내가 하는 말은 거짓말이다

라는 명제가 있습니다

이게 참이면 내가 하는 말은 거짓말이 맞죠? 근데 동시에 그럼 명제는 참말인데 결론은 거짓말이 되니 모순입니다
반대도 마찬가지죠

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