무브

오르비

아톰

내 태그

내 태그 설정

입시
학습
생활
클럽
직업·취업
Epioptimus
Centurion

쿠쿠리 [1310649] · MS 2024 · 쪽지

2025-03-18 15:09:59
조회수 84

최신 증명 Ver 2.2.2

게시글 주소: https://orbi.kr/00072493574

불완전성 정리


제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.

제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


명제논리의 일종인 NAND게이트의 조합으로 모든 논리를 구현가능하다


실제로 논리게이트로 이루어진 컴퓨터상의 프로그램으로 1차논리 및 고차논리 등등을 구현할수 있다


그리고,


명제논리는 완전성과 무모순성이 증명되어있다


명제논리의 무모순성을 증명하는 메타논리 역시 명제논리의 조합으로 구현할수 있다


즉, 명제논리의 무모순성은 명제논리 스스로로부터 증명될수 있다


명제논리로 모든 논리를 구현가능하고 명제논리가 완전하고 무모순이라면 모든논리는 완전하고 무모순이다


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


제1정리에 대한 반박


"페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계"= B


제1정리는 


"B가 무모순인 동시에 완전할수 없다"고 한다


하지만 B는 명제논리로 구현할수 있고, 명제논리는 무모순이고 완전하다


따라서 "B는 무모순이면서 완전하다"


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


제2정리에 대한 반박


제2정리는 


"B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 없다" 고 한다


위에서


"B는 무모순이면서 완전하다"


"명제논리의 무모순성은 명제논리 스스로로부터 증명될수 있다"


B는 명제논리로 구현됨


따라서


"B가 무모순이면 B로부터 B자신의 무모순성을 증명할수 있다" 가 됨


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


괴델의 문제


G="G는 증명불가능"

괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함

그런데 이는 G를 증명한것

G의 내용과 모순 


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


공리의 실체


1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)


2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)


3. (A는 공리)->(A의 증명없음)


4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)


무모순=참


5. (A는 공리)->(A가 거짓)


6. (A가 참)->(A는 공리아님)


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


완전성 증명


1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)


2. (Not A->모순)<->A


3. A->(A의 증명있음)





0 XDK (+0)

  1. 유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

쿠쿠리 [1310649]

쪽지 보내기

글쓰기
오르비 1385727번째 회원 가입
ddna
1,422,072 건의 게시물이
블록체인에 디지털 공증되었습니다.
901,751
497,321
22,267
574
159

공부를 도와주는 학습자료

2026 수능D - 239

오르비 플레이
오르비 RARE
오르비 과외시장
Move
our corporate site
Orbi Class
on-line classes
Atom
educational books & resources
Gae9
humor and fun

© 2000-2025 Move Inc.

orbisoptimus (v17-eb03ea)