샌드위치 정리에서 등호 없어도 임의로 넣을수있나요?
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문제에는 등호가 없는데 무한대 극한으로 보냈을때 등호 넣는게 가능한지에 대한 질문입니다
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오르비함
넵 an<bn<cn이어도
극한 취하면 등호 붙습니다
이건 원리를 외우는게 나을까요 아님 그냥 사실로 외우는게 나을까요?
그리고 극한을 취하기만하면 어디로 가는지 상관없이 가능한건가요?
참고 쪽 보시면 될 듯합니다
그냥 알려진 사실로 받아들여야 할 듯 하네요
a_n = 1/n
b_n = 3/n
c_n = 2/n
네 교과서에나와있어요
넣을 수 있습니다. 질문을 간단히해보면, an <L 이면 liman <=L (작거나같다) 가 성립하는지 여쭤보시는 것 같은데요. 고교 과정에선 그러한 예시가 있으므로 등호를 넣는다 정도로 설명합니다. ex) an=1/n
다만, 수열의 극한을 입실론(e)을 이용해 설명하면 명확히 설명도 가능합니다. liman=L 이라하면 적당히 큰 자연수 N에 대해서 an-L의 절대치가 e보다 작기 때문에 L-e<an 이구요, an<A 라 한다면 L-e<A 일겁니다. 그러면 상한과 하한의 개념에 따라 L은 A보다는 작거나 같을 겁니다. 그러니 liman <=A 겠죠
이러한 설명을 고교과정에서는 할 수 없기 때문에 극한이 작동시 부등식에서 등호를 포함하게 되는겁니다.
사례로만 이해하셔도 충분합니다 ^^
극한의 x가 어디로 가던 상관없는거 맞죠?
네 그렇습니다. 무한대로 가는 경우에는 e-N 모델로, 특정 상수로 가는 경우에는 e-d 모델로 설명되어서요. 아주 직관적으로, 부등식 양변에 lim 를 취할 시 등호가 발생한다 정도로 기억하셔도 고교과정에서 아무 문제 없습니다~