[칼럼] '수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법.' - '확률과 통계 - (1) 경우의 수'

'수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법.' - '확률과 통계 - (1) 경우의 수'

 안녕하세요. ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법’의 '이다정'입니다.

 수능 수학 과목 중 '확률과 통계'에 대해 어려움을 느끼는 수험생이 있기에 3월 모의고사가 얼마 남지 않은 이 시점에 ‘확률과 통계’를 정리해 보려고 합니다. 어떤 시선으로, 관점으로 '확통'을 보아야 하는지 이 글을 통해서 알 수 있을 것입니다.

 모의고사에서 선택과목은 23번부터 30번까지 8문항으로 이루어져 있습니다. 난이도의 순서는 일반적으로 ‘23~26번’ < ‘27번’ < ‘29번’ < ‘28번’ or ‘30번’입니다. 다만, 난이도는 모의고사마다 조금씩 다를 수 있습니다.

 가장 먼저 ‘확률과 통계’에 대해 간략하게 소개를 드리려고 합니다.

 확률과 통계는 ‘경우의 수’, ‘확률’, ‘통계’ 이렇게 3가지의 단원으로 이루어집니다. 

 각 단원에 대해서 한 줄로 요약하자면 '경우의 수'는 잘 세면 됩니다.

 '확률'은 경우의 수를 2번 구하면 됩니다.

 '통계', 공식만 잘 암기하자.

 첫 번째 칼럼에서는 '경우의 수'에 대해서 한번 써보려고 합니다.

1. 경우의 수의 기본 : ‘정의’ (★)

- 저는 항상 ‘스킬’보단 ‘기초’에 집중하자는 말을 합니다. ‘기초’에 집중하는 첫 번째 단계가 바로 ‘개념’입니다. nPr, nCr, nHr 이 무슨 뜻을 가졌는지 아셔야 합니다. 물론 이 개념을 모르고 있어도 공식을 사용하는 데 문제가 없고, 문제 풀이를 하는 데 지장이 없을 수 있습니다. 하지만, 십일월의 실전에서는 어떠한 상황이 나에게 주어질지 모르기 때문에 하나도 빼놓지 말고 준비하고 가셔야 합니다. 번호대가 낮은 22번부터 26번까지의 난이도의 문항에서 당황하게 된다면 어떠한 기호를, 공식을 써야할지 햇갈릴 수 있습니다. 그렇기에 이 개념들을 잡고 계셔야 문제에 따라서 왜 ‘!’(펙토리얼)을 돌리는지, 케이스를 왜 분류하고, 왜 조합이 아닌 중복조합을 사용하는지 등을 판단할 수 있습니다.

(1) nPr: 서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑고 나열까지 하는 것입니다.

(2) nCr: 서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑기만 하는 것입니다.

(3) nHr: 서로 다른 n개 중에서 중복을 허락하여 r개를 뽑는 것입니다.

- 이런 식으로 어느 정도의 뜻을 이해하고 알고 계셔야 문제 풀이에 어떤 개념을 사용해야 하는지 문제의 구조를 파악하기 쉬울 것입니다. 수학 성적이 상위권에 위치하시는 수험생들도 개념은 항상 중요하기 때문에 어삼쉬사의 문제나, 여러 개념들이 복합적인 구조를 이루며 출제되는 킬러 문항에서도 이 개념들은 반드시 도움을 줄 것입니다.

(중복순열은 굳이 기호를 사용하면서까지 외우실 필요는 없습니다. 다만, 그 상황을 이해하고 시각적으로 표현하면서 왜 제곱의 형태가 나오는지를 파악하시면 됩니다.)

2. 경우의 수의 기본 : ‘공식’ (★)

- nPr, nCr, nHr 의 공식이 무엇인지 암기하셔야 합니다. nCr = n! / r!(n-r)! 이런 식으로 알고 계셔야 만약 공식에 대한 문제가 나왔을 경우 문제를 해결하실 수 있습니다. 공식에 대한 문제가 자주 출제되진 않습니다. 제 경험상으로 공식을 직접적으로 이용하는 문제는 주로 ‘빈칸 채우기’ 혹은, 미지수를 구하는 유형에서 많이 출제가 됩니다.

- 물론 이 칼럼을 읽고 있는 수험생들의 100% 모두 5P3이 무엇인지 알 것입니다. 3H4가 몇인지 답을 적을 수 있을 것입니다. 하지만 nPr, nCr, nHr 등으로 숫자가 아닌 미지수로 문제가 주어진다면 수험생의 100%가 미지수를 통해서 답을 적을 수 있을 지에 대해서는 ‘NO’라고 생각합니다.

3. nPr과 nCr의 관계 (★★★)

- nPr은 제가 개인적으로 별로 좋아하지 않는 기호이자 공식입니다. 사실 저희는 nPr의 의미를 알지 못하여도, 공식을 몰라도 nCr을 알고 있다면 문제 해결이 가능합니다. 보통의 문제집이나, 여러 교과서에서는 nCr보단 nPr을 먼저 가르칩니다. 하지만 nCr이 더 기초적인 것이고 nPr은 그 이후입니다.

- nCr의 의미에 대해서 생각을 해봅시다. 서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑기만 하는 것입니다. 그렇다면 이 뽑힌 r개를 나열하기 위해서는 어떻게 해야할까요? 예시를 들어주자면 A, B, C 카드 3장이 있습니다. 이 카드 세장을 통해서 만들 수 있는 낱말은 몇 개 일까요? 당연히 ‘3!’ 라고 대답할 것입니다. 그렇다면 r개를 나열하기 위해서는 ‘r!’를 곱해야 하는 것입니다. ‘nCr’을 통해서 ‘n개 중 r개를 선택’한 후에 ‘나열하기 위해서 r!을 곱해준다면’ 이것이 ‘서로 다른 n개 중에서 r개를 뽑고 나열’하는 nPr인 것입니다.

- 제가 이 개념을 알려드리는 이유는 단 한 가지입니다. nPr에 집착하지 말고 너무 외우려고 하지 말고 nPr과 nCr의 구조를 기억합시다.

4. ‘함수의 개수’ (★★★★★)

- 많은 수험생이 ‘함수의 개수’ 문제에 대해서 저에게 질문을 합니다. 함수 문제를 어떻게 풀어야하는지 감이 잡히지 않는다고 합니다. 여러 경우의 수의 문제 유형들이 있지만 함수의 개수 문제, 이 부분을 많이 어려워합니다.

 함수의 개수 문제를 풀기 위해 알아야하는 가장 중요한 ‘3가지’가 있습니다.

(1) 일대일 대응의 경우는 ‘!’(팩토리얼)을 통해서 배열한다. (★★)

- 예를 들어서 X = 1,2,3 / Y = 4,5,6 인 함수 f는 X->Y라고 할 때, 함수 f는 일대일 대응을 만족합니다. 함수 f의 개수를 구하려고 합니다. 함수 f의 정의역인 1, 2, 3에 대응하는 수는 4, 5, 6입니다. 쉽게 설명을 드리면 정의역 ‘1’에 위치할 치역 1개가 필요하고, 정의역 ‘2’에 위치할 치역 1개, 정의역 ‘3’에 위치할 치역 1개가 필요한 것입니다. 이를 정리해보면 정의역 ‘1, 2, 3’에 치역 ‘4, 5, 6’을 배치하기만 하면 되기 때문에 정답은 ‘3!’이라 할 수 있습니다.

(2) a < b, f(a) < f(b) 인 경우에는 nCr을 통해서 뽑기만 하면 순서가 정해진다. (★★★★)

- 예를 들어서 X = 1,2,3 / Y = 5,6,7,8,9 인 함수 g가 있다고 합시다. 이 함수 g는 위의 (2)번 조건을 만족해야한다고 합니다. 이 조건을 만족하는 함수의 개수는 바로 5C3입니다,

- 치역 5개 중에서 정의역과 대응할 3개를 고르는 것입니다. 위의 조건에 따르면 이 함수는 정의역이 커지면 커질수록 치역도 증가해야합니다. 5C3으로 치역 5개 중에서 만약 ‘5,6,7’을 골랐다면 이 치역에 대해서 대응되는 정의역은 자연스럽게 결정됩니다. g(1)=5. g(2)=6, g(3)=7로 결정되는 것입니다. 만약 ‘5,7,9’를 골랐다면 g(1)=5, g(2)=7, g(3)=9로 결정됩니다.

(3) 등호가 같이 있는 경우는 중복을 허락해서 nHr을 통해서 뽑기만 하면 순서가 정해진다. (★★★★★)

함수 g : X = 1,2,3 / Y = 5,6,7,8,9 / g : X->Y

- (3)번 내용은 위의 (2)번 내용에서 등호가 추가된 조건입니다. (2)번 함수 g를 그대로 가져오고 (3)번 조건을 만족해야한다고 한다면 이 조건을 만족하는 함수의 개수는 5H3입니다.

- 이 함수는 정의역 3개와 대응하는 치역 3개를 고르는 문제입니다. 추가되는 점이 있다면 함숫값이 같아도 된다는 것입니다. 5H3을 통해서 치역 5개 중에서 3개를 중복을 허락해서 뽑는다고 합니다. 예를 들어 ‘6,6,8’ 이라는 숫자 3개를 뽑았다고 할 때, 뽑는 순간 정의역과 대응하는 순서가 정해지며 함수가 결정됩니다. g(1)=6, g(2)=6, g(3)=8이 되는 것입니다. 만약 ‘7,9,9’를 골랐다면 g(1)=7, g(2)=9, g(3)=9로 결정되는 것입니다.

이 3개를 기본으로 알고 계셔야 풀이가 쉽다고 생각합니다.

나머지는 문제의 각 기준에 따라서 케이스를 분류하시고 풀이를 하시면 됩니다.

5. '경우의 수'는 '케이스 분류'가 '생명'이다. (★★★★★)

- 경우의 수 단원은 잘 세시면 됩니다. 1개, 2개, ... 24개, ...처럼 문제가 제시하고 있는 사건에 대해서 이 사건 A가 발생하는 경우의 수를 찾으며 개수를 세시면 됩니다. 이때 경우의 수를 잘 세기 위해서 '케이스 분류'를 하는 것입니다.

 케이스를 분류하는 것이 어려운 과정이 절대 아닙니다. 지금까지 해오셨던 방법일 것입니다. 예를 들어 1부터 12까지 숫자 카드가 있어 한 장을 뽑으려고 합니다. 한 장의 카드를 뽑을 때 2의 배수나 3의 배수를 뽑는 경우의 수를 구하자. 이 경우에 세 가지의 과정으로 풀이를 적으셨으리라 생각합니다. 2의 배수의 개수, 3의 배수의 개수, 2와 3의 최소공배수인 6의 배수의 개수를 구해서 문제를 해결했으리라 생각합니다. 바로 이 과정이 제가 말하는 ‘케이스 분류’입니다.

 ‘케이스 분류’는 절대 어려운 것이 아닙니다. 제가 예시로 든 위와 같은 문제에서는 무의식적으로 케이스를 분류하고 있는데 문제의 번호가 높다고, 지문이 길다는 이유로 케이스를 분류하기가 너무 어렵다고 말하는 것은 아직 기출에 대한 분석이 부족하다고 생각합니다. ‘경우의 수’ 단원에서 여러 케이스에 따라 경우의 수가 달라지기 때문에 어려운 문제일수록 더 꼼꼼하게 케이스를 분류하셔야 합니다.

 케이스 분류로 제가 가장 추천하는 문제를 예시로 들어보겠습니다.

ex) '2017년 3월 29번 (가형)' : 이다정이 선정한 경우의 수에서 꼭 풀어봐야 하는 문제 TOP3 (★★★★★)

2017년 3월 29번 (가형).

29 Solution Way. 

- 이 문제를 푸는 과정에서 남자를 먼저 배치할지, 여자를 먼저 배치할지도 굉장히 중요합니다. 또한, 누구를 먼저 배치할지 정했다면 어디에 배치를 할 지도 굉장히 중요합니다. 하지만 이 과정이 ‘선’ 케이스 분류, ‘후’ 간단한 계산으로 접근을 한다면 문제를 쉽게 해결할 수 있으리라 생각합니다.

- 문제의 조건에 따라서

• 여자를 1층에 2명 배치

• 여자를 2층에 2명 배치

• 여자를 3층에 2명 배치

• 여자를 1층에 1명 2층에 1명 배치

• 여자를 1층에 1명 3층에 1명 배치

• 여자를 2층에 1명 3층에 1명 배치

이렇게 나누고 조건을 조금 더 적용하면 29번도 쉽게 풀이를 할 수 있습니다.

그렇기 때문에 '확통'이자 '경우의 수'에서는 '케이스 분류'가 너무나도 중요합니다.

6. '여사건' : '적어도', '부등호’ (★★★★★)

6-1. ‘적어도’ (★★★)

- '적어도'가 나오면 저는 일단 100% 여사건을 생각하면서 문제에 접근합니다. 물론 여사건이 이런 문제 유형에 있어서 100% 쉽다고 장담할 수는 없습니다. 수험생들이 수학을 어려워하는 이유는 문제 풀이를 어디서부터 시작해야할지 결정하는 것이 어렵기 때문입니다. ‘적어도’가 나온 경우에 절대적인 것은 아니지만 문제를 처음 접근하는 방법을 주어줬다고 생각하면 좋습니다. ‘이 문제는 ‘여사건’으로 접근해라.’라고 문제에서 말하고 있는 것입니다.

6-2. ‘부등호’ (★★★)

- 사실 ‘적어도’가 나오면 여사건을 떠오르는 것은 대부분의 수험생이라면 할 수 있으리라 생각합니다. 하지만, ‘부등호’를 보면서 ‘여사건’을 떠올리기는 쉽지 않을 수 있습니다. 이 칼럼을 읽고 계신 대부분의 수험생은 ‘여사건’에 대한 주제가 ‘부등호’와 어떤 연관이 있는지 떠올리기 쉽지 않으리라 생각합니다. ‘적어도’라는 말이 없어도 ‘부등호’가 나온다면 ‘여사건’을 한 번 쯤은 떠올리며 푸는 것도 좋은 풀이 사고라고 생각합니다.

 예를 들어서 만약 1개의 주사위를 굴렸을 때 2 이상이 나오는 경우의 수를 구하라고 했다면 (2, 3, 4, 5, 6)으로 총 5개입니다.

 하지만 이를 전체 경우의 수 6에서 2 이상의 여사건인 2 미만이 나오는 경우 1가지를 빼는 방법으로 푼다면 ‘6-1 = 5’로 위와 같은 답을 이끌 수 있습니다. 기존에 푸는 방법으로는 5가지의 경우의 수를 세야 하지만, 여사건을 이용해서 문제를 접근하는 경우 전체 경우의 수와 1가지의 경우의 수를 센다면 답을 구할 수 있다는 차이가 있습니다.

'부등호'가 나왔을 때 무조건 '여사건'이 답이라고 말할 수는 없습니다. 하지만 한 번쯤 의심하는 것은 문제 해결에 큰 도움이 되리라 생각합니다.

7. '중복조합' (★★★★★)

- '중복조합' 문제의 풀이 공식은 ‘a+b+c=r -> ‘(좌항 미지수의 개수)H(우항의 값)’ 입니다.

 화살표의 왼쪽에서 오른쪽으로 넘어가는 과정을 거치기 위해서는 여러 ‘생각’과 ‘조건’이 필요합니다. 하지만 많은 학생이 저 풀이까지 못 끌어낸다는 것이 문제입니다. 저 상태까지 이끌기 위해서는 '생각'을 잘하셔야 합니다.

7-1. 중복조합에서의 생각 (★★)

- 일단 내가 뽑을 수 있는 개수보다 내 눈앞에 있는 초콜릿이 많은지, 젤리가 많은지, 사탕이 많은지를 확인하셔야 합니다. 이를 확인하는 이유는 중복을 허락해서 뽑기 위함입니다. 만약에 내가 뽑아야하는 것이 5개인데 사탕이 4개 밖에 없다면 사탕을 중복을 허락해서 5개를 뽑을 수가 없습니다. 그렇기에 중복조합을 사용하기 전에 항상 내가 뽑는 항목의 개수가 뽑아야하는 개수보다 큰지 확인하셔야 합니다.

7-2. 중복조합에서의 장난 : ‘음아정’, ‘양정해’ (★★★★★)

(1) ‘음아정’ : 음이 아닌 정수 (★★★★★)

- 중복조합에서의 핵심 중 하나는 ‘음아정’입니다.

 ‘음아정’이란 단어를 처음 들어보셨을 겁니다. 이 단어는 교과서에도, 문제집에도 없는 단어입니다.

 ‘음아정’이란 ‘음이 아닌 정수’를 의미합니다. 즉, ‘0’과 ‘자연수’를 합친 상태입니다. 이 상태는 중복조합을 사용하기에 매우 이상적인 상태입니다. ‘중복조합’은 ‘서로 다른 n개 중에서 r개를 중복을 허락해서 뽑는 것’입니다. 즉 초콜릿, 사탕, 과자 이렇게 3가지의 종류에서 중복을 허락하여 5개를 뽑는다고 할 때 초콜릿을 0개, 사탕을 2개, 과자를 3개 뽑을 수 있습니다. 중복조합은 0을 포함한 자연수의 영역에서 사용할 수 있다는 것입니다.

- 이 개념을 ‘a+b+c=r -> ‘(좌항 미지수의 개수)H(우항의 값)’에 적용해봅시다. 이 공식을 이끌기 위해서 조건이 있으며 조건은 간단합니다.

공식 : ‘a+b+c=r -> 3Hr’ 

- 조건 : ‘a, b, c 모두 음아정’

(2) ‘양정해’ : 양의 정수의 해 (★★★★★)

- 중복조합에서 두 번째 주제는 ‘양의 정수의 해’입니다. 저는 이를 줄여 ‘양정해’라고 칭합니다.

- 만약 문제를 보시고 a+b+c=r 이라는 방정식을 세우는 것을 성공했다면, 조건을 확인할 차례입니다. ‘a+b+c=r’를 3Hr로 이끌기 위한 조건은 위에 나와있듯이 a, b, c가 모두 ‘음아정’이여야 합니다. 만약 a, b, c가 음아정이 아니라면 a, b, c를 적절히 치환하며 중복조합 풀이 공식을 끌어내면 됩니다.

- 제가 여기서 말하는 것은 바로 a, b, c가 ‘양의 정수의 해’에 해당할 때입니다. 미지수들이 양정해인 경우 중복조합으로 가는 공식을 사용할 수 없습니다. 이런 경우 ‘양정해’를 ‘음아정’으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 과정은 간단합니다. ‘치환’을 이용해서 ‘음아정’으로 바꾸면 됩니다.

- 예를 들어서 문제에서 제시된 조건으로 ‘초콜릿은 1개 이상, 사탕은 2개 이상을 포함해야한다.’ 라고 하였을 때 초콜릿의 개수를 a, 사탕의 개수를 b, 과자의 개수를 c라고 하면 a+b+c=5라고 적을 수 있습니다. 하지만 문제의 조건에 따라서 ‘a>=1’, ‘b>=2’를 만족해야 합니다. 문제 풀이를 위해서는 ‘미지수 >= 0’ 인 ‘음아정’으로 충족되어야합니다. 

 그래서 이런 경우에 ‘a>=1’에서 우변을 좌변으로 옮기고 치환을 하여 문제를 푸시면 됩니다. a′+1 = a, b′+2 = b 로 치환을 하게 되면 a′이 0이여도 a값은 1이 나오게 되고, b′이 0이여도 b의 값은 2로 시작하게 됩니다. 즉 a′, b′으로 치환함으로써 미지수가 ‘음아정’을 만족하게 되고 공식을 사용할 수 있게 된 것입니다.

8. 경우의 수에서의 꽃 = '노가다' (★★★★★)

- '경우의 수' 문제가 나왔는데 객관식에 선지는 5, 6, 7, 8, 9 이렇게 5가지 값을 선지로 갖는다고 합시다.

 이 문제에서 제시한 여러 상황과 조건을 종합했을 때 만족하는 경우의 수는 5개에서 9개일 것입니다. 문제의 조건에 따라서 nCr, nHr, nPr, 분할 등의 공식을 사용하면서, 케이스 분류를 하면서 5개에서 9개를 세는 것이 좋은 방법일 수 있습니다.

 하지만 공식을 사용할 수 없는 문제가 나왔을 경우 우리는 어떻게 문제를 풀어야 할지 고민하며 시간은 흐르게 될 것입니다.

8-1. 대표적인 노가다 : ‘수형도’ (★★★★★)

- 여러분이 아시는 ‘수형도’가 바로 노가다의 한 종류입니다. 하나 하나씩 가지치기를 통해서 경우의 수를 구하는 과정입니다. 물론 수형도에 익숙하지 않은 수험생의 경우 오래걸리고 쉽지 않을 수 있습니다. 하지만, 최근 기출들과 유형들을 보았을 때 수형도로 문제가 출제되는 경우가 종종 있었습니다. 그렇기에 더더욱 ‘수형도’를 통한 ‘경우의 수’ 계산을 놓치시면 안되는 것입니다. 물론 ‘수형도’에서도 ‘케이스 분류’가 있어야합니다. ‘케이스 분류’는 ‘경우의 수’에서 ‘생명’이기 때문입니다. 

 (1) ‘완전한 같은 수의 구조로 수형도가 반복되는 경우’, (2) ‘비슷한 구조로 수형도가 반복되는 경우’ 등을 생각하시면서 수형도의 가지를 치시면 계산하는 것이 더 빠르고 수월하리라 생각됩니다.

8-2. 공식 사용이 어려운 경우 (★★★★★)

- 직접적인 공식 사용이 어려운 경우에도 ‘노가다’를 사용해야 합니다. ‘공식’만을 사용해서 문제풀이를 한다는 것은 매우 바람직하지 못한 사고입니다. 공식에 집착하는 사고를 깨셔야합니다. 

 물론 ‘공식’을 이용해서 쉽게 문제 풀이가 가능하다면 그런 문제는 당연히 공식을 이용해서 풀이를 하셔야합니다. 하지만 모든 경우의 수 문제가 ‘공식’을 이용해서 풀리는 것이 아니기 때문에 항상 ‘직접 세기’의 사고도 ‘경우의 수’ 파트에서는 가지고 계셔야 한다는 것입니다. ‘경우의 수’의 개념은 ‘직접 세기’로부터 나왔다는 것을 잊으시면 안됩니다.

 사건 5개에서 9개를 생각하면서 노가다로 직접 세는 것이 어려운 과정일까요? 만약 초등 6년, 중등 3년, 고등 1~2년 교육을 받은 후 이 칼럼을 읽고 있는 여러분들이 사건 5~9개를 떠올리지 못 하고, 쓰지 못한다면 여러분의 문제가 아닌 학생들이 최소한의 사고도 하지 못하게 만든 대한민국 수학 교육과정에 문제라고 생각합니다. 하지만, 제가 생각하기에 이 칼럼을 읽은 여러분들이라면, 전국의 수험생들은 ‘노가다(직접세기)’가 가능하다고 생각합니다. 

 만약 ‘공식을 사용하기 애매하거나’, ‘경우의 수가 그렇게 많이 나오지 않는다고 확신이 들거나’, ‘수형도를 그리며 사고를 하는 것’이 더 효율적이라 생각된다면 어떻게 해야할까요?

‘문제를 보고 사건을 직접 손으로 씁시다.’ 그럼 문제가 풀릴 것입니다.

<추가 : 노가다 방법의 판단 기준> (★★★)

- 객관식 문제이며, 선지가 이루고 있는 경우의 수가 약 30개 이하인 경우에는 직접 세는 것도 나쁘지 않다고 생각합니다. 

- 과거에 제가 수험생의 위치에 있었을 때 3분정도의 시간동안 586개의 경우의 수를 무식하게 노가다를 통해서 세어 맞춘 경험이 있습니다. 물론 이 문제는 공식을 사용해서 함수의 개수를 구하는 문제였지만 저는 도저히 어떻게 이 문제를 접근해야 하는지 떠오르지 않아서 ‘직접 세기’로 문제를 접근한 것입니다.

 조금만 세어보면 등급이 오르는데 귀찮다는 이유로 문제 풀이가 멋지고 화려하지 않다는 이유로, 무식해보인다는 이유로 안센다는 것은 ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법’에 전혀 어올리지 않습니다.

 어릴 때의 개념을 잘 기억해둡시다. 과거 우리는 지금처럼 공식에 집착하고, 스킬에 연연하는 학생이 아니었을 겁니다.

 '노가다'는 '경우의 수'에서 '실전'이고 '팩트'입니다.

0. ‘확률과 통계’를 공부하는 수험생에게

- ‘확률과 통계’ 중 첫 번째 단원인 ‘경우의 수’에 대해서 정리를 해보았습니다. 제가 정리한 내용들이 전부가 아니라는 것을 알고 계셔야 합니다. 최대한으로 집약을 해서 넣어보았지만, 제가 잡지 못한 부분을 여러분들이 잡으셔야하고, 그 잡은 것들을 모아 십일월의 실전까지 가져가셔야 합니다. 제가 직접 문제를 풀어드릴 수 없고, 사고를 해드릴 수 없습니다. 하지만, 사고의 과정까지의 길을 만드는데 도와드릴 수 있습니다.

 ‘미적분’, ‘기하’에 비해서 ‘확률과 통계’가 조금 쉽다는 말이 여럿 들려옵니다. 하지만, 이런 말에 연연하지 마시고 자신의 길을 묵묵하게 나아갑시다. ‘확률과 통계’는 다른 어떤 과목보다 섬세해야하고 집중하셔야 합니다. ‘미적분’은 함수를 잘 그리면 좋겠지만 조금 못나게 그려도 문제가 해결되고, ‘기하’도 도형을 조금 못나게, ‘직각, 직각’이니 ‘직각’이겠지?라며 풀어도 문제가 풀리는 경우가 있습니다. 하지만, ‘확률과 통계’에서는 1개를 잘못세면 문제의 답이 틀려지게 되고, 케이스 분류를 잘못하거나 한 케이스를 놓치면 정답에서 크게 벗어나게 됩니다. 최대한 섬세함을 놓치지 마시고, 집중합시다.

 기본에 충실히 기출문제를 분석하고 끝까지 최선을 다한다면 여러분들이 원하는 결과가 있으리라 생각합니다.

당연히, 제 말이 절대적인 기준은 아닙니다.

하지만, 수험생 여러분이 이 글을 보며, 칼럼을 보며 정리하며 공부했으면 좋겠습니다.

궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요.

항상 응원합니다.

‘우리는 생각보다 똑똑합니다. 모두 남은 시간 동안 최선을 다합시다.

열심히 공부합시다. 이다정 입니다.’

‘자세히 보아야 예쁘다, 오래보아야 사랑스럽다

너도 그렇다’ [나태주 – 풀꽃 중]

‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법,’ - 확률과 통계- (1) ‘경우의 수’

@dajeong_t_math

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