세 치 혀로 30번 쪼개기 (190930)
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f(x)가 4차 함수이고 최솟값이 0이므로 f(x)=0을 만족하는 x는 2개 혹은 1개임을 알 수 있다. 후자의 경우 f(x)=0을 만족하는 근을 a라 하면 g(x)-a=0을 만족하는 x의 개수가 4여야 한다. 하지만 g(x)-a=0을 만족하는 x의 개수는 최대 3이므로 f(x)=0을 만족하는 근은 2개이다.
이때의 두 근을 각각 b, c(b<c)라 하면 f(x)=1/2(x-b)^2(x-c)^2이라 할 수 있다. (가)를 통해 g(x)=a와 g(x)=0을 만족하는 x의 개수가 모두 4여야 한다. 이때 (나)의 조건을 통해 충분히 작은 임의의 양수 h에 대하여 f(g(0+h))>f(g(0))와 f(g(0-h))>f(g(0))가 성립해야 하고, g(0)=0<g(h), g(-h)가 성립하므로 f(0)는 충분히 작은 임의의 양수 y에 대하여 f(0)<f(y)가 성립하므로 f'(0)>=0이다. 이때 b<0이라면 g(x)=b를 만족하는 x가 존재하지 않으므로 b>=0이어야 하고 b>0이면 f'(0)<0이 되므로 b=0이다.
b=0이므로 g(x)=b=0을 만족하는 x의 개수가 1, g(x)=c를 만족하는 x의 개수가 3임을 알 수 있다. f(x)의 극댓값을 M이라 할 때, M>8이라면 h(x)=8의 서로 다른 실근의 개수는 최대 3이고, M<8이라면 f(x)=8을 만족하는 x 중 0보다 크고 c보다 작은 값이 2개 존재하는데 이 두 값을 d, e라 하면 g(x)=t(0<t<c)를 만족하는 x의 개수가 3이므로 g(x)=d, g(x)=e를 만족하는 x의 개수가 6개인 상황에서 f(x)=8을 만족하는 x가 1개 더 존재하므로 (다)를 만족하지 못한다. 따라서 M=8. c=4.
2f(x)=x^2(x-4)^2, 2f'(x)=2x(x-4)^2+2x^2(x-4), 2f'(5)=10+50=60, f'(5)=30
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