연속함수
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연속함수 continuous function은
해석학에서랑 위상수학에서 정의하는 방식이 살짝 다르긴 한데
둘 다 정의역이 아닌 점은 신경을 안 씀
해석학 버전만 좀 살펴보자
함수 f:E->Y (E는 metric space X의 부분집합, Y는 metric space)를 생각해보면
E의 각 점에서의 f의 Continuity 자체는 엡실론-델타 논법으로 정의됨 (궁금하면 걍 위키 가서 보삼)
f가 정의역 E의 모든 점에서 연속일 때, “f가 E에서 연속이다“ 혹은 “f는 연속함수이다“라고 함. (f is continuous on E, or f is continuous function)
해석학 본좌 교재인 PMA(Principles of Mathematical Analysis, W. Rudin)에서도 걍 대놓고
a가 E의 원소가 아닐 때 함수 f:E->Y를 다음과 같이 정의하면
f(x) = 1/(x-a)
f는 E에서 연속이다 (정확하게는 연속함수/연속함수 꼴이라서)라고 함.
암튼.. 원래 수학에서 연속을 정의할 때 정의역 외의 점은 신경쓰지 않음
원래는 정의역만 신경쓰는 게 맞는데 고등과정은 연속을 애초에 ㅂㅅ마냥 정의해서 애매한 거임
결론 => 그냥 정의가 안 되는 점이어도 에휴.. 교육부가 그렇지 뭐 하고 그냥 불연속이라고 생각하자!
* metric space는 거리가 정의되는 공간임. 그냥 대충 실수나 실수로 만든 다차원 공간(유클리드 공간)이라고 생각해도 무방함. 참고로 거리공간의 원소를 점(point)라 부름.
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엡실론 델타 뭐요?
“수학에서 연속을 정의할 때 정의역 외의 점은 신경쓰지 않음.”
이것만 알면 되는거죠? 넵
수식 쳐야 돼서 설명은 생략
제가 공부한거랑 같은 내용이네요잇위상수학에서 정의도 살짝 궁금하긴 함
해석학 배울 때 open set의 inverse image가 open인 거랑 conti랑 동치라고 하는 거 있잖아요
위상수학에서는 open set으로 논리를 전개하기 때문에 그걸로 정의합니다
걍 관점이 좀 다른 거예요
쉽게 말해서 해석학으로 정의된건 복소평면(물론 리만 곡면 등 다른 공간 포함.. 어케 말해야 할지 잘 몰라서;;ㅠ) 에서 정의하는거고
위상수학은 공간에서의 연속을 정의한거라고 보면 되는건가욥?
해석학에서 정의한 건 metric space에서 정의하는 거예요
복소평면 요런 게 아니고
물론 complex plane에도 거리가 정의돼서 그것도 metric space이긴 합니다.
위상수학이라는 거 자체가 open set들의 집합을 다루는 거라서.. 아마 좀 이해하기 어려우실 거예요
원래 이거 처음 들으면 뭔 개소린가 싶어요
아하 그런걸 metric space라 하는군뇨
위상수학도 나중에 시간 되면 봐봐야겠어요 재밌어보이네용
Metric도 위상수학에서 다루긴 합니다
애초에 해석학에서 저거 얘기하는 파트가 기초위상이에요
위상수학은 좀 관점이 다른 느낌
그래도 영과고 하면서 꽤 많이 공부했다 생각했는데 정말 모르는게 많았군뇨그런 큰 틀에서의 정의를 생각하지 않고 걍 유수정리 해석적연장 이런것만
봤어서... 큰 틀에서의 체계 이해도 필요하겠군요
해석적연장이 뭔가요?
Topology, topological space의 정의를 보시면 왜 그렇게 하는지 대충 알 수 있습니다
질문 질문
그럼 1/x=y를 x=0에서 불연속을 따질 수 있나요?
가령 "실수전체집합에서 1/x=y는 불연속지점이 있다"
요로면 맞는 진술임? 아니면 아예 따지면 안되는걸 따진건가요?
진짜 수학에서는 애초에 정의역이 R의 부분집합이기 때문에 R에서 연속이냐를 물어볼 수가 없습니다
물론 고등수학에서는 저걸 맞는 진술이라고 보는 것 같긴 하나 수학적으로는 말도 안 되는 소리입니다
적어도 평가원은 저런 식의 선지를 “절대로“ 사용할 수 없습니다
이제 원래는 평가원x(못나올거알음) 엄밀한 수학 x
교과과정상에서 어떤지가 궁금했는데
엄밀하게 수학적으로
"정의역이 아닌 지점에서 불연속을 따짐"
이 가능한건지가 궁금해졌었거든요
답변 감삼니다
중학교에서부터 교과서는 함수 정의⊃연속⊃미분가능 이렇게 설명하니까 혼란이 발생한 건데 대체 왜 그랬을까요