고3 2004년 10월 교육청 미분과적분29번문제 질문입니다.

Question

문제.

지점 P에서 서로 수직으로 만나는 두 직선도로가 있다.
두 직선도로PA,PB에서 각각 16km,2km떨어진 마을을 지나고
두 직선도로를 연결하는 새 직선 도로를 건설하려고 한다.
새 직선도로와 도로PA가 이루는 예각의 크기를θ라고 할때 
새 직선 도로의 길이가 최소이기 위한 tanθ의 값은?
 

[정식 풀이]

P로부터 X축(A가 있는 축)에 수선을 내린 점을 Q

P로부터 Y축(B가 있는 축)에 수선을 내린 점을 R 이라고 하면

PQ = 16, PR = 2 이 됩니다.

PQ/PA = sinθ 가 되고, PR/PB = cosθ 가 됩니다.

즉 16/PA = sinθ 에서 PA = 16/sinθ 가 되고

2/PB = cosθ 에서 PB = 2/cosθ 가 됩니다.

도로의 길이 AB = PA + PB = 16/sinθ + 2/cosθ ...①

이를 θ에 관해 미분하면

(AB)' = - 16cosθ/(sinθ)² + 2sinθ/(cosθ)² = (2sin³θ - 16cos³θ) / (sin²θcos²θ)

이 값이 0이 되는 값을 구하면 sinθ = 2cosθ 가 되어 tanθ = 2 를 얻을 수 있습니다.

 

네. 답은 2가 맞는데요.

위의 ①식에서 0＜θ＜ ∏/2 이므로 sinθ, cosθ는 양의 실수,

그래서 산술 기하 평균을 써서 구하면  16/sinθ = 2/cosθ 일 때 등호가 성립하게 됩니다.(이 때가 최소)

즉, 산술 기하평균을 써서 구하면 tanθ= 8 이 나옵니다.

실제로 tanθ가 2일 때와 8일 때 수치를 구해서 계산해보면 2일 때가 더 작은데요. 왜 이렇게 나오는 건가요..?

산술 기하평균의 조건도 만족하는데... 값이 왜 다른가요..

부탁드립니다. ㅠㅠ 시간 조금만 투자해 주세요.. 2004년 10월 교육청 기출문제입니다.

아침™ · Accepted Answer

산술기하 평균은 함부로 사용하면 안됩니다. 말씀하신대로 진행해보면 16/sinΘ + 2/cosΘ >= 2sqrt(32/sinΘcosΘ)가 성립하긴 합니다.
문제는 여기서 발생합니다. Θ값에 의해 32/sinΘcosΘ의 값도 바뀝니다. 이는 최솟값 자체가 Θ에 의해 변한다는 것을 의미합니다. 이럴때는 함부로 산술기하를 사용하면 안됩니다.

고3 2004년 10월 교육청 미분과적분29번문제 질문입니다.

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