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Question

불완전성정리 반박

제1정리. 페아노 공리계를 포함하는 어떠한 공리계도 무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 자연수 체계를 포함하는 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.

제2정리. 페아노 공리계가 포함된 어떠한 공리계가 무모순일 경우, 그 공리계로부터 그 공리계 자신의 무모순성을 도출할 수 없다.

제1정리 반박

1. 명제논리는 완전함

2. 명제논리(논리회로,컴퓨터)의 조합으로 페아노산술을 표현할수 있음

3. 산술체계도 완전함

또

G="G는 증명불가능"

괴델은 "G가 증명불가능"함을 증명함

그런데 이는 G를 증명한것

G의 내용과 모순

제2정리 반박

1. 무모순은 참과 동치

2. 완전성에 의해 참은 증명가능

3. 따라서 무모순을 증명가능

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공리의 실체

1. (A가 거짓->모순)->(A의 증명있음)

2. (A의 증명없음)->(A가 거짓 and 무모순)

3. (A는 공리)->(A의 증명없음)

4. (A는 공리)->(A가 거짓 and 무모순)

무모순=참

5. (A는 공리)->(A가 거짓)

6. (A가 참)->(A는 공리아님)

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완전성 증명

1. (Not A->모순)->(A의 증명있음)

2. (Not A->모순)<->A

3. A->(A의 증명있음)

논리화학 · Accepted Answer

명제논리는 T,F만 다루는거고.. 1차논리 얘기하는거 같은데... 1차논리는 페아노 산술을 표현하지 못함....

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