우주
게시글 주소: https://orbi.kr/00071233803
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
안녕하세요. 첫 칼럼으로 인사드립니다. 첫 주제로 어떤 글을 써야 할지 고민이...
-
공부 자극 1
요새 공부를 의무감에 하는 느낌인데 그마저도 손에 잘 잡히지도 않고... 원래는...
-
제가 도전해보겠습니다
-
팀원 소개 및 과외 모집(국어 7등급에서 수능100점까지) 3
[소개 및 성적인증] https://orbi.kr/00071877183 안녕하세요....
-
아 죽고싶다 9
아
-
평소 수학에 8할을 투자하는 확통이인데 3등급에서 도저히 안올라요... 고3인데...
-
ㅈㄱㄴ
-
반수 미적 확통 3
마지노선 서성한공 잘뜨면 한의대 목표 반수입니다 언미영지 작수 92 93 2...
-
대부분의 이해하기 어려운 개념이 이걸로 뚫림. 타과목 공부할 때도 유용.
-
ㅎㅇㅇㅅㄷ가 맞는말을 할 통계적 확률과 가장 유사한 수학적 확률
-
군대 부조리 다 없앤거 이거히나는 어디가서 당당하게 얘기함 아래는 내가 당한...
-
메신저의 중요성 1
-
씻고 나가서 첫끼 먹을건데 메뉴 추천좀
-
오늘도 스트레스 받으며 공부하느라 고생 많았다. 오늘은 자사고 선배로서 형이 잔소리...
-
화2 5
인강 추천해주세요!!
-
-
https://www.hankookilbo.com/News/Read/A20210401...
-
역사학(평가원이 좋아하는 소재) + 다양한 사상과 관점 완벽
-
1. 경우의 수 이건 답을 내도 낸거같지 않은 찝찝함 2. 행렬 ㄱㄴㄷ 반례 반례를...
-
존예랑 연애 4
하고 싶다 데이트하고 싶다 손잡고 싶다 안고 싶다 키스하고 싶다 ㅅ…“ㅅ”
-
롤만하면 말투가 바뀜 10
이건 못고치겠음
-
현대차 출신이 만든 스타트업, 자율주행 기술 세계 11위 0
[이데일리 정병묵 기자] 현대자동차 출신의 자율주행 엔지니어들이 설립한 스타트업...
-
그냥 수능 한 100만문제에서 문제은행 하면 어떨까? 6
국 영 수 탐구17개 제2외국어 9개 모두 중에 과목과 상관없이 1000문제...
-
백발백중임.
-
You are ROHired
-
-
-
난 그렇다고 생각해.
-
저는 아직 뉴런 뜯지도 않았는데요
-
작수 3인데 뭐가 나을까요 패스는 둘다 ㅇㅇ
-
거의 십년만에 이시간에 티비 보는거가튼데 ㅈㄴ재미있네ㅋㅋ
-
아 개힘들다 2
늙어서 노는 것도 벅차네
-
수학하는건가
-
머하지 0
머핮
-
레알비기너스 하고 스블 들어가면 좀 빡센가 그냥 병호쌤 풀커리 탈까
-
여붕이왔쩌염>< 13
우흥
-
덕코주세요 3
-
-
따라할래요
-
생윤 vs 세지 0
수능날 실수 할 가능성이 더 적은 과목이 뭘까요?
-
왤케 살 빠지신 거 같냐 필리핀 거북이가 옆에 있어서 그렇게 보이는 건지 진짜 빠진 건지
-
추가자료 강매 ㅈㄴ 하네 정확히 뭔지는 알려주고 팔라고;; 일주일에 1개씩밖에 안주면서;;
-
난 고전시가 기출중에서 난이도 원탑이라 생각했는데 새기분에서 해설 안하길래..
-
0:1:0:0:0
-
한국지리 질문 0
한반도 암석에서 퇴적암에 나오는 조선계 평안계 대동계 3계 4계 그런게 퇴적암들의 이름같은거에요?
-
삼겹살 구워먹기 0
앗따거 계속 기름 튐
-
아무 말 없는 밤하늘은 침착해
-
예체능은 더 어마어마 하네? 거기에다 실습 자기부담금까지
-
공부 욕구 뿜뿜
-
오이이 아이이 3
오이이이 아이
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.