23학년도 수능 기하 30번 공간벡터로 풀기
게시글 주소: https://orbi.kr/00070921386
삼각형 PQR의 넓이와, 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 알면 됩니다.
무슨 이유에서인지 점의 레이블을 걸어주지 않았습니다;;
당황스러우니 먼저 정하죠.(윗꼭짓점-밑면 삼각형 반시계방향 순으로 쓰는 것이 보통 일반적입니다.)
먼저 삼각형 PQR의 넓이를 먼저 구하겠습니다.
정사면체 ABCD와 정사면체 APQR는 닮음입니다.
따라서 삼각형 BCD와 삼각형 PQR은 닮음입니다.
(참고로 입체도형의 닮음비와 평면도형의 닮음비는 같습니다.)
그러므로 삼각형 BCD의 넓이와 두 정사면체 사이의 닮음비를 안다면 '넓이비=닮음비 제곱'을 이용하여 삼각형 PQR의 넓이를 구할 수 있습니다.
정삼각형의 경우 외심이 곧 무게중심입니다.
그리고 이 외심은 문제에서 주어진대로 구 S의 중심이므로 점 P와 점 O를 이어준 길이는 곧 반지름이 됩니다.
따라서 이등변 삼각형의 이미지가 나오게 되고 우리는 밑변에 수선을 내려 직각삼각형을 작도할 수 있습니다.
그런 다음 반지름에 정사면체에서 직선과 밑면이 이루는 각의 코사인을 곱하여 윗 그림과 같이 결국 AP의 길이를 알 수 있게 됩니다. 따라서 두 정사면체의 닮음비는 AP:AB=1:3입니다. 이것이 곧 삼각형 PQR과 삼각형 BCD의 닮음비이므로 둘의 넓이비는 1:9가 됩니다. 따라서 삼각형 BCD의 넓이를 9로 나눠준 값이 삼각형 PQR의 넓이가 되겠네요^^
구해주면(윗 그림 참고) 
이제 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 구합시다.
그런데 평면 α는 구에 접하는 평면이므로 법선이 확실하게 보장되어있습니다. 따라서 이면각을 교선을 찾아 그대로 보기 보다는 법선과 법선이 이루는 각으로 봐도 상관이 없습니다. 즉 두 평면에 대한 법선벡터를 성분화할수만 있다면 내적을 통해 cosθ를 쉽게 구할 수 있는 것이죠.
성분과 좌표는 동일한 것이 아니지만 정사면체에서는 다음과 같이 좌표를 잡는것이 가능합니다.
좌표는 분수가 안나오도록 세팅하는 것이 관건입니다.(굳이 구의 반지름이 6이라는 것에 집착할 필요 없어요. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하여 다 닮음인 공간도형이므로 법선벡터끼리는 평행합니다.)
아무래도 삼등분점 상황, 무게중심을 구할때 3으로 나누는 것, 최소 단위의 숫자를 사용할 것을 모두 감안하게 되면 단위값을 3으로 설정하는 것이 좋습니다.
이제 각 평면에 대한 법선벡터를 구해 볼게요.
먼저 평면 PQR에 대한 법선벡터는 그냥 (1,1,1)로 잡으시면 됩니다. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하는 모든 정사면체의 법선벡터는 가장 간단하게 표현할시 (1,1,1)이 될 수 밖에 없습니다.
이제 평면 α에 대한 법선벡터를 구해봅니다. 구에 접하는 평면이므로 그 법선벡터를 알려면 구의 중심과 접점에 대한 정보가 필요합니다. 따라서 구의 중심은 (2,2,2), 접점은 (1,1,0)이므로 빼주면 법벡은 (1,1,2)
내적을 통해 cosθ를 구해주면 
따라서 정사영은 
제곱해주면 답은 24.
봐주셔서 감사합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
다시 미쳐야겠다 0
딱 3달만 내 인생에 더이상 공부는 없다 싶을정도로 미치자 오늘부터 공부에 미친눈,깔 다시 장착한다
-
처음으러 0
차단이란걸 해보앗따 언젠간 풀겟징
-
NM 문제에 0
왜이렇게 살벌하게 생긴 문제가 박혀있어요.. 바로 덮어버리기
-
슬슬 패턴 잡아야지
-
9모때까지 국어 수특 수완 2/3정도밖에 못볼 것 같아요 ㅠ
-
올해 내신으로 처음 사문 공부하고 7모 직전에 개념 다 끝내서 1떳는데 지금...
-
내일은오랜만에 4
여덟시에일어나야디… 으아얼마만이냐
-
양승진 커리 0
양승진 커리큘럽 지금 곧 기코 끝나는데 컨텐츠가 넘 많아서 뭐부터 풀어야하나요?...
-
불만있으면 어쩔건데뇨..
-
이거 시간표맞춰서 등원하는거 은근 stress네
-
쉬4로 잡고 만들었는데, 난이도 10번에 적절한가요..?
-
내일 서프다 4
내가 짱이 되어주마
-
평가원 기준 삼도극이랑 합성함수 킬러 안보이는거같은데 킬러배제땨메그런가
-
물2 배모 0
난이도 어떤 편인가요? 과하다 싶은 문제가 안 보이긴 한데..
-
막을수가업음
-
정병형제 컨이 너무 많아서 풀 시간이 없
-
흐음.. 6
나 영어 조금 늘엇으려나 낼 3등급은 뜨려나
-
아열받아 4
-
이신혁피셜 1
강k 지구는 회당 거의 4,5천만원씩 쓰는데 서바는 1000만원도 안쓴다함....
-
이거 시간표는 지켜야하는거죠....
-
목숨걸고 해야함 안하면 뛰어내려야함
-
노베 23살 고졸 미필 9급 일행 공시vs교대 목표 수능 0
안녕하세요 저는 올해 23살 고졸 노베 미필입니다. 20살때부터 알바하면서 지내다가...
-
벌써부터 지치는거 실화임?
-
사는게 좋네 왠지모르게 더 잘풀림
-
잘 안읽히는게 정상인가
-
엔티켓 시즌2vs빅포텐 시즌1,2중 하나 살까 하는데 뭐가 나을까요 저 둘보다...
-
검정고시 정시 1
현 고2라 자퇴하고 검정고시 치르려는데, 서성한이나 연고대에 지원할 시 불이익...
-
밤낮이바껴서 좆된거같은데
-
메르세데스 머신이랑 르끌레르 실물로 보고싶어
-
공부가 신기한게 0
존나 열심히 할땐 공부 끝나고 공부 생각이 안드는데 열심히 안하면 공부 끝나고 쉴때...
-
인문논술 0
수능끝나고 1주일 시간있는데 이때부터 시작해서 합격 가능함? 한양대임
-
-
정형외과가야하나
-
-
동생이 중학생이라 시험 기간 때 얘 고통받으라고 가끔씩 모의 기출 하나씩 만들어주는데 ㅁㅌㅊ?
-
현역 언확사문지구로 국어빼고 (국어는 고정 1)12 왔다갔다하는데 90일 열심히하면...
-
입반 하기 전에 보고 들어가야 할 것 같은디 그리고 시즌3에서도 시즌2만큼은...
-
사람이 애기같이 생겨서 개귀여워!!!
-
대학 오지 마라 8
해보니깐 다 쓸모 없더라 황족 아니고서야 대학에서 뭘 누리는지도 모르겠고 어쩌고 저쩌고
-
엔제 문제가 너무 ㅈ같아서 못풀겠어요
-
둘다 들어보고 싶은 쌤인데 각자 개성이 강한걸로 알아요 범바오 인강 듣다가 n제...
-
10분내내 계산해도 못풀겠어서 1번으로 찍으려다 종치기 1분전에 간신히 풀어냈는데 나만 어려운거임?
-
강k 풀다가 서바 푸니까 좀 살 것 같네
-
죽고 싶다 0
드릴 풀다가 문제 잣밥같아서 노래 틀었는데 3연속 븅신같이 못 풀고 별표치고 대충격...
-
우하하
-
한 분 께 만 덕 드림 자기가 받아야 하는 이유 댓글에 적어서 가장 맘에 드는 거에 드림
-
아 삼차함순데 0
사차함수 거리곱 쓰고 있었음 아 오늘 공부 그만해야지
-
저는 고2 겨울방학...
-
이정수나 이창훈은 좀 차이 나려나요 국어 모고까지 하는 강사로 파이널 들으려고...
-
내일 몇시 등원하지 18
추천받아요 9시 10시 12시
고능아
감사합니당
않이..
저는그냥 선 찍찍 긋고 풀래요
기하는 알아도 기벡은 잘 몰루..
사실 제가 푼 풀이는 굉장히 돌아간 풀이에여. 마지막처리 과정에서 길이 다 알 수 있으니 그냥 코사인 법칙 쓰면 됨 ㅋㅋ
그냥 정사면체 좌표 잡는거 적용해서 풀려고 억지로 공간벡터를 사용한 감이 있죠.