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hafdfie [1360520] · MS 2024 (수정됨) · 쪽지

2024-12-27 03:16:12
조회수 1,460

[고1 행렬]개념설명과 문제풀이

게시글 주소: https://orbi.kr/00070856635

우선 저는 예비고1이 아니고 재수 끝난 20살인데 취미로^^


유일하게 추가된 공통수학1에 행렬 부분을 공부해보았습니다.


사실 행렬은 예전에 취미로 일차변환까지 다 한적이 있어서 그냥 대충 보면 되겠지하고 시발점 공수1 교재의 해당 부분을 독학하기 시작했는데..제가 메가패스가 만료된 까닭으로 그냥 쌩으로 책만 보고 공부하느라 힘들었네요;;


특히 개정교육과정에서는 예전과 달리 역행렬이라는 매우 큰 파트가 빠져버리게 되면서 문제를 풀어나가면서 좀 웃픈 일이 많았어여.. 두행렬의 곱이 단위행렬의 실수배일때 이걸 역행렬 조건으로 받아드리면 교육과정 위반이니 식조작을 와바박,, 시발점 행렬 부분의 문제들은 어려워봤자 준킬러수준이지만 대부분이 "계산"에 초점이 맞춰져있고 결국 다항식의 연산에서의 스킬을 그대로 활용해야하더라구요,,



이게 끝입니당,,



먼저 행렬의 뜻을 가볍게 봐주고요, 저 행하고 열 처음에 살짝 헷갈리다라고용,, 행은 가로 줄이고 열은 세로줄입니다. 보통 가로세로 순서로 말하지(e.g.가로세로연구소) 세로가로라고 하지 않지 않나요? ㅎㅎ 상식적으로 생각해보면 잘 암기가 됩니다.



덧셈, 뺄셈, 실수배, 영행렬 너무 당연한 내용들입니다.. 여기까진 다항식의 연산과 별반 차이가 없지요^^ 같은 꼴의 행렬로만 덧셈 뺄셈을 해야 한다는것이 한가지 특징이겠네요. 또한 영행렬은 그냥 실수에서의 0과 비슷한 느낌으로 이해해주시면 되겠습니다..


근데 이건 한가지 저만의 필기법은 아니고 예전 2015년 현우진 해설강의를 보면 우진쌤은 영행렬을 밑에 사진처럼 쓰시더라고요 ㅋㅋ 저도 그게 좀 간지가 나서 따라해봤어옄 ㅋㅋ



팁: 저 O를 쓰실때 살짝 O의 일부분이 비게끔 D처럼 쓰시면서 남은 부분을 색칠한다는 느낌으로 보시면 됩니다.


참고로 항등원, 역원, 닫혀있다, 열려있다 같은 개념 역시 현행 교과에서는 다루고 있지 않기 때문에 연산법칙은 그리 중요하진 않죠~ 


예전에 저 내용이 고1 수학에 있었을 당시엔 서술형으로 집합을 조건제시법으로 던져주고(예:{2n+3∣n은 정수})이가 사칙연산에 대해 닫혀 있음을 증명하라는 문제가 나오기도 했었는데..



자 이제 그나마 가장 어려운(?) 부분이라고 할 수 있는 행렬의 곱셈 파트입니다.


행렬의 곱셈이 정의가 되려면 우선 앞행렬의 열의 개수와 뒷행렬의 행의 개수가 같아야지 행렬의 곱셈이 정의가 되어요. 정적분 구간 이어주는거랑 살짝 느낌이 비슷하죠?(ex.) 앙!하고 앞뒤가 맞물리는 느낌..!


기하러분들은 두 벡터를 더할때 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 또 역시나 앙하고 맞물려서 연산해주신다는 느낌을 떠올리셔도 괜찮겠습니다.


사실 거의 대부분은 2x2 행렬 두 개의 곱셈이 나올거에요..(cf. 2x2 행렬을 이차정사각 행렬이라고 부릅니다, nxn 행렬은 n차 정사각행렬..)


그래도 처음 행렬 계산을 익힐때 가장 고비가 되는 부분이라고 생각이 됩니다, 여러번 쓰다보니 쓱삭 되더군요,,



행렬의 곱셈에서는 사실 주의해야할 부분이 있어요.. 다항식에서와는 달리 AB=BA를 항상 보장할 수 없다는거죠.


어떻게 보면 편견을 깨는..!(사실 교환법칙이 항상 성립하지 않는 연산체계는 고1 2학기때 두 함수의 합성을 배울때 다시 등장하기도 하지만요)



저 리마크 2와 같이 실전개념도 나와요..! 대충 설명하자면 x, y값이 존재할텐데 그것이 뭔지 모르니 저런식으로 k와 l에 관한 식으로 표현해도 뭐 알아서 조정되겠지..라는 것을 이용하는겁니다.


실제로 행렬을 저렇게 구하라 할땐.. 노가다를 하시면 됩니다


노가다도 사실 예전 교육과정이었다면 이원일차연립방정식을 행렬식으로 세워서 양변에 역행렬 곱할 수도 있겠네요

(가우스 소거법까지 안다면 3x3행렬의 역행렬도 구할 수 있으므로 삼원일차연립방정식도 행렬로 풀이가 가능합니다. 

나중에 한번 이거에 대해서도 써볼게요..)



이제 마지막으로 단위행렬이라는 개념이 나옵니다. 실수 연산에서의 1과 같은 존재이죠. 따라서 항상 어떤 행렬과 곱했을때 교환법칙이 성립하고 생략해서 표현도 가능합니다. 행렬 연산의 꼴을 맞출때 실수+행렬이면 문제가 생기니 일부로 추가시키는 경우도 있겠구요..




개인적으로 단위행렬 부분의 리마크들이 참 알찬것 같아요.. 특히 저 리마크 3-3이 판단에 있어서 편리하더라구요..

행렬의 실수배의 합이 단위행렬이 된다면 두 행렬은 곱셈에서의 교환법칙이 성립한다..!


또한 이 교재에는 나와있지는 않지만 역행렬의 개념 정도는 알고 계시는 것이 이로울 듯 합니다..


구하는 방법은 모르더라도요..



문제를 통해 살펴볼게요^^



먼저 sol1은 역행렬을 사용하지 않고 풀었어요.(교육과정내의 풀이)


다만 식을 조작하는 과정이 만만치 않아서 처음엔 해맸다는..


하지만 역행렬을 알고 있다면 sol2와 같이 더 자명하게 풀 수 있다는 장점이 있어요..!


설명하자면 AB=2E잖아요? 아까 제가 두 행렬의 곱이 단위행렬이면 두 행렬은 서로 역행렬 관계에 있다 그랬으니 양변에 1/2를 곱해줍니다.(그 1/2은 B한테 줄게요^^)


그러면 A(B/2)=E가되고 A의 역행렬은 B/2라는 것을 알게 되어요..(참고로 역행렬은 행렬위에 -1을 써주면 되어요.. 역함수와 그 표기법이 동일하죠.)


헛,, 그런데 저 첫번째 식을 보다 보니 우변이 단위행렬이군요 흐흐


인수분해를 통해 우리는 A(A+E)=E임을 알수 있고 여기서 A+E는 A의 역행렬입니다.


자, 그럼 B/2와 A+E는 A의 역행렬로 같은 행렬이네여!! B에 대해 식을 정리한다음 제곱을 해준다음 첫번째 관계식을 이용하면 깔끔하게 B^2이 A와 E로만 표현되네요



개정 교육과정 시발점은 이렇게 step1과 step2의 구분이 별도로 없는것 같더라구요..!


첫장에는 행렬의 의의(사실 저거 하려고 행렬 개념이 탄생한건 아니지만 유치하게나마 유용성을 느낄수 있지 않을까요..?)를 보여주는 듯한 쉬운 두문제네요..!


2번 같은 경우는 빠르게 푸려면 먼저 총 구입가격을 다항식으로 나타낸뒤 역으로 선지의 행렬 계산을 해주면 되어요..!


3x+2y, 4x+3y만 봐도 1번 3번으로 좁혀지네요^^



3번 문제는 직접 구하는 행렬의 성분 두개를 미지수로 잡고 식에 널어서 계산하면 됩니당..!


아 그리고 이건 너무 당연한건데 구하는 MA의 모든 성분의 합을 구할때  B의 성분을 

모른다고 당황할 필요 없이 구하는 것이 결국 성분의 "합"이므로  의 성분합인 -6에서 B의 모든 성분의 합인 18을 그냥 빼주시면 됩니다. -24가 될거고 우리가 구하는 것은 결국 행렬 A의 모든 성분의 합(p+q)이므로 24가 되겟네여


4번 문제는 답의 형태에 있는 A^2에 첫번째 관계식 때려박으면 됩니다.



5번도 아까 예제 9번처럼 역행렬을 통한 풀이가 존재합니다.


사실 이 문제를 설명드리는 이유는 행렬식의 '관찰'이 핵심이기 떄문입니다.


()은 ()의 3배인걸 눈치채면 이 문제는 다 푼겁니다.


결국 3번째 식에 양변에 A를 곱해 A ()=()로 실체가 명확한 계산 가능한 행렬을 이용할수 있겠네요.


이제 3번째 식에 양변에 A를 곱해주면 조건 가 식에 의해 ()=3A ()=3()가 되겠군요


성분합은 또 실수배해서 더하지 말구요 사소하지만 먼저 행렬의 모든 성분합(3+4=7)을 구한후 3배 해줍시다. 답은 21


역행렬 풀이는 위에 참고하시구요 당연히  의 역행렬은 A이기 때문에 마지막에 양변에 행렬 A를 곱해준거에여


6번 문제는 그냥 써보면 됩니다 물론 대충 1행 2열의 성분이 저렇게 가겠지라고 하시면 좀 그러니 이유를 설명드리자면 계속해서 같은 행렬을 곱해 나갈때 ㄴ자 구간의 성분은 항상 같죠? 그리고 1행 2열의 성분을 계산하는 과정을 보면 -1에서 계속 1,2,3... 순서대로 빼나가게 되니 규칙성은 보장됩니다.


앞에서부터 두개씩 묶으세요 묶음 계산시 이고 묶음이 총 502개 있으므로 성분합은 502x1=502



7번은 50승을 보고 딱봐도 규칙성이 있을거니 하나씩 해볼까..?는 맞는데요.

행렬을 계속 곱해나가다보면 짜증만 날겁니다. 규칙성도 없겠구요. 그러지 말고 행렬을 보죠 1행의 성분이 둘다 0이네요. 2x2 행렬끼리의 곱의 과정을 생각해봤을때 결국 곱한 행렬의 1행 성분들도 다 0일것임을 알 수 있습니다. 실제로 곱해보면 가 나오죠..

이제 거기다가 또 다시 를 곱할겁니다. 문제에서 원하는 행렬 A가 나올때까지요.

엇. 그런데 이번에도 곱한 결과가 의미심장합니다.

 으로 뭔가 쭉 9의 거듭제곱꼴의 규칙이 있을거 같은데.. 무작정 찍지 말고 이는 계속 곱해 나가는 행렬이 잖아요?? 그런데 1열의 성분합과 2열의 성분합이 9로 같네요. 어차피 2행의 성분들은 에다가 열의 성분합을 곱한것으로 그 값은 입니다. 그래서 앞으로도 같은 메커니즘으로 곱한 결과에 해당하는 행렬의 2행에는 9의 거듭제곱꼴이 적힐것임을 알수 있습니다.


규칙을 살펴보면 를 곱한 횟수가 결국 곱한 결과에 해당하는 행렬의 2행에 적히는 성분들의 9의 거듭제곱 횟수와 같습니다. 행렬 A의 경우는 따라서


9의 50승은 지수법칙을 이용하면 3의 100승입니다. 답은 기분좋게 100.



이제 8번 풉시다. 뭐 쉬워요.. 우선 행렬 A가 바로 으로 결정되네여


엇,, 근데 제곱하니 -E입니다. 규칙성이 있겠군요 세제곱한것은 -A 네제곱은 E 다섯제곱부터는 다시 A로 원점복귀합니다. 주기가 4이군요. 2010은 4로 나눈 나머지가 2이니 저는 앞에 두개를 택할게요(뒤에 두개 택하는건 취향이 좀 특이한 친구^^) 차피 한 주기의 합은 O라서 구하는 값은 그냥 A+A^2이고 아까 A^2이 -E였으므로 A-E가 되겟네여. 저 행렬의 2행 1열 성분인데 단위행렬은 그 성분이 0이라서 그냥 A의 2행 1열 성분 구하면 됩니다. 1이네여. 답은 4번



구하는 것과 주어진 식의 관계를 생각해보면 구하는 행렬은 준 식의 좌변에 A^2을 곱해주면 되겟네여^^

근데 좌변보다 우변이 간단하니 거기다 곱한것 뿐이에여.

결국 -3으로 묶어내주면 A^3+A^2은 또다시 -3A-3E로 귀결되므로 계산해주면 9(A+E)

성분합을 물었으니 행렬 A의 성분합과 단위행렬 E의 성분합(주의하세요 ㅋㅋ 0아니에여 단위행렬의 성분합은 2!! 또 나만 헷갈리지..ㅜㅜ)을 더해주면 0+2=2


거기다 9만 곱하면 답은 18,,


자 이제 마지막 10번 문제 가봅시당!




우선 두번째 식을 정리하면 AB=E입니다 따라서 A,B는 서로 역행렬 관계에 있으므로 AB=BA다 라고 하셔도 좋고 A+B=E은 aA+bB=E의 꼴이므로 AB=BA라고 하셔도 좋습니다.(위에 첨부해 드렸던 사진들 중 리마크 3: 행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립할 조건 참고하세요^^)


이제 우리는 마음이 편해졌어요. 두 이차정사각 행렬 A,B에 대하여 AB=BA가 성립하면 A,B가 포함된 행렬식의 전개는 눈치보지 않고 다항식처럼 벅벅 하면 되거든요!(위에 첨부해드렸던 사진들 중 행렬의 거듭제곱과 식의 전개 부분의 리마크 2번을 참고해주세요~)


이제 위와 같이 구하는 형태를 곱셈공식을 통하여 조작해줍니다.


구할값을 두개로 나누어 각각 구한다음 곱합시다.(계산과정은 각각 1,2)


답은 2E


아! 성분합이었구나 그럼 2x2=4.


봐주셔서 감사함미당!





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