샌드위치 정리 감성 (ft. 극단적 사고하기, 열린 사고)
게시글 주소: https://orbi.kr/00070160414
h(x)를 정리해 봅시다.
그래프 그려보시면 대충 사다리꼴 하나가 나옵니다.
a도 모르고 b도 모르고 k도 몰라서
어디서부터 뭘 할 수 있을까 처음에 막막합니다.
그런데 이 조건에 초점을 두어 봅니다.
우선 x가 0 이하일 때에는 당연합니다.
0은 0 이하이고 동시에 0은 0 이상이기 때문입니다.
그리고 구간 [0, 2]에서는 생각하기가 복잡합니다.
앞서 x가 0 이하일 때를 살펴본 것을
x가 충분히 작을 때를 살펴본 것이라 생각합시다.
그러면 우리는 대칭적으로 x가 충분히 클 때를 살펴보고 싶습니다.
그런데 x>2일 때 g(x)=0입니다.
그래서 x>2일 때 h(x)도 0을 함숫값으로 가집니다.
이때 h(x)=k(a+b-2)였기 때문에 a+b=2임을 확인할 수 있습니다.
그러면 다음과 같이 h(x)식을 다시 작성해줄 수 있는데
생각하기가 훨씬 편해집니다.
이제 함수 g(x)도 h(x)도 x=1에 대해 대칭이기 때문에
함수 g(x)-h(x)를 구간 [0, 1]에서만 살펴봐주어도 되겠습니다.
이제 구간 [0, 1]에서의 적분값이 최소가 되도록 해 봅시다!
만약 a가 모든 실수를 범위로 한다면
적분값이 a에 대한 이차함수이기 때문에 a=1 넣고 끝내면 되겠지만
a<b 조건에서 0<a<1임을 확인하실 수 있습니다.
따라서 그런 식으로 문제가 풀리지 않을 것이라는 것을 확인하시면 좋습니다.
아직 이 조건을 제대로 활용해주지 않았는데,
마찬가지로 구간 [0, 1]에서만 신경써주면 되겠습니다.
이때 구간 [0, a)나 [a, 1]이나 모두 최고차항의 계수가 음수인
이차함수의 그래프를 보고 있으므로 대칭축이 어디에 있든
x=0, x=a, 그리고 x=1에서의 함숫값이 음수가 아니기만 하면
위의 부등식이 성립할 것임을 확인할 수 있습니다.
이는 x=0과 x=a, 그리고 x=1을 기준으로 대칭축의 위치를 나누어 보시고
하나씩 판단해 보시면 금방 확인하실 수 있습니다.
0<a<1이므로 남는 조건은 다음의 부등식입니다.
이를 통해 주어진 적분값을 나타낼 수 있습니다.
그렇다면 주어진 적분값의 최솟값은 위 부등식 우변의
a에 대한 삼차함수일 것임을 확인할 수 있습니다.
우변의 삼차함수는 0<a<1일 때 a=2/3에서 극솟값을 가지므로
a, b, k의 값을 모두 결정할 수 있습니다.
다른 문제를 살펴봅시다!
앞서 a+b=2 조건을 발견한 것과 비슷하게 생각해 봅시다.
0<h<g 꼴에서 g=0이면 h=0임을 확인할 수 있었듯이
만약 2k-8=4k^2+14k라면 주어진
점 (k, f(k))와 점 (k+2, f(k+2)) 사이의 평균변화율도
2k-8일 것입니다.
위의 등식을 만족하는 k의 값은 -2와 -1입니다.
이후 계산하여 f(x)의 이차항, 일차항 계수를 확인해주었으면 됩니다.
p.s. 고정 관념을 버리는 것은 수능 수학 공부에 도움이 됩니다.
시도해 볼 수 있는 풀이가 n가지 있을 때 하나만 올바르다면
그 하나를 찾아내는 것이 실력이라고 생각합니다.
구간 [0, x]에서 어떤 함수를 적분한 x에 대한 함수가 주어졌다고
무조건 미분해 보는 것이 답이 아니고,
평균변화율 꼴로 식이 주어졌다고
무조건 기하적으로 해석해 보는 것이 답이 아닙니다.
위 문항 2025학년도 9월 21번도 점 (k, f(k))과 점 (k+2, f(k+2)) 사이의
평균변화율로 직관적으로 이해해보려 하는 동시에
k가 정수임을 신경쓰며 주어진 부등식을 다루어보려 했다면
현장에서 빠르게 정답을 내기 쉽지 않았을 것입니다.
2022학년도 9월 14번 변형 문항인데,
x<0에서의 g(x)를 점 (0, f(0))과 점 (x, f(x)) 사이의 평균변화율로
바라볼 필요 없이 그냥 식 정리해서 이차함수로 다루시면 됩니다.
비슷한 느낌의 기출 하나가 있었는데 못 찾겠어서 나중에 찾으면 댓글로 언급해두겠습니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
왜냐고? 그야... 커뮤가 처음이였거든.. 너무나도 무서웠어 다 까더라고 그때가 11월 30일..
-
(2000덕) 어떤 분의 자작문제를 수정해드렸습니다 5
원본) https://orbi.kr/00072763458 첫 풀이과정 명시 정답자...
-
십만덕이면 뭐 못사요? 16
나도사고싶어
-
화학을 해야하는 이유 11
-
동선이 개꼬이네 몰라! 일단 가!!
-
아침에 일어나서 한다는 나쁜생각하기 싫은데
-
메타에안끼기 8
그것이 얇고 긴 메모장 옯생을 즐기는 법
-
무지성 화생 지방사는 사람들 잘 알걸? 무지성 화생 하는 (주로) 여학생...
-
날 그리워할 사람이 잇을까
-
미쿠 귀여워 10
-
오르비 안녕히주무세요 24
-
게이글쓰는걸로 맨날까이고 저격 당했는대 무시하고 꾸준히 쓰는거보면 사실 강철멘탈일수도 행복해라
-
그 숫자가 워낙 많아서 생지는 표본이 심각해지지는 않음
-
흠
-
대충 연고공~약수 정도 나오지 않을까 잘하면 지방의?
-
웬만하면 다 친하게 지내고 싶다
-
부활해라 게이야
-
작년 현역 3모 58에서 올해 3모 80 나옴 근데 미적은 해도 해도 는다는 느낌이 안 듦
-
이거들어바 14
굿
-
아무리 그래도 비서울 비대구에서는 아직도 무지성 생지가 많은데
-
캬캬캬 251130 해설 ㄱㄱㄱ
-
??
-
-
아 메타 안도니 15
괜히했노.
-
심지어 가난하기까지
-
안녕하세요호잇저는저능부엉이티비에저능부엉이입니다 어디감? 반수한다고 하지 않앗나
-
안녕하세용 4
늦은 인사 드려용
-
어떤지 아는법 잇나
-
근데 재릅하실려나
-
옯스타 홍보함 0
@cheri_tokki
-
디엠 나눴습니다 11
걱정하지는 않으셔도 될것 같습니다. 항상 현생 응원합니다 선생님
-
예전에 사람들 인증하면 댓글 20개는 달렸던거같은데
-
-
벌써 거의 도착이란말이지 으흐흐
-
ㅇㅈ 9
입술에 왜케 생기가 업지
-
이새기 편하게 대해주니까 사용자가 친구같지?
-
저는 오르비 시작한 거랑 여친한테 큰 거짓말 쳐서 밖에서 무릎꿇고 빈 거
-
엔제게임 수2를 끝내다 15주차 복습을 하다
-
원서를 군당 2개씩 쓸 수 있다고 하면 어떨 것 같음?? 빵꾸/펑크를 없앨 수...
-
2년만에 인증한다 15
이게 벌써 2년전이노.
-
괜히 불안함
-
나는 강태공 0
-
조의금은 여기로 보내주세요.
-
수학 선택과목이랑 과탐 뭐 할지 추천받습니다. 참고로 작년에는 외우는게 너무 싫어서...
-
방금 많이 충격받음
-
야발
-
ㅇㅈ메타임? 3
오늘하면 역겹다고 저격먹을 삘이군
-
현돌 문제집 0
보통 킬쿼모는 6월 이후에 하나욥…? 제가 잘 몰라서… 생윤 개념 잡힌 현역이...
-
ㅇㅈ메타할거면 1
나 자기 전에… 얼른…
-
제목이 상당히 긴데..분량이 많지는 않아요. 아직 미완인 부분 제외하고 35쪽정도...
