[공리를 부정하면 무모순]의 응용
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1. 공리는 참이라는 증명이 없다
2. 따라서 귀류법증명도 없다
3. 따라서 공리를 부정해도 무모순
4. 따라서 공리를 거짓이라해도 무모순
논리학 3대공리
1. 동일률(A=A)
2. 무모순율(not(p and not p))
3. 배중률(not p or p)
동일률이 거짓이라 해도 무모순
[(A=A)가 거짓]<->[(A=/=A)가 참]->무모순
무모순율을 거짓이라해도 무모순
[(not(p and not p))가 거짓]<->[(p and not p)가 참]<->[모든명제가 참]->무모순
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공리가 참이라는 증명은 없다 << 맞음
하지만 공리를 부정한다면 안된다는 증명이 존재하는 경우가 있음
Ex) 배중률은 부정하면 모순나옴 (증명설명 귀찮음)
근데 동일률 부정하면 무슨일생기는지 모르겠다
아무튼 공리가 참이라는 증명이 없다에서
공리가 거짓이라고 해도 상관없다 사이에 갭이 있어서 님 말이 합당한건아님
첫 1~4줄 이 틀린거임?
2->3이 틀림 ㅇㅇ
"귀류법 증명이 없으면 공리부정시 무모순" 대우명제는 "공리부정시 모순이면 귀류법 증명이 있다"
1) 명제안에 모순 무모순 그대로 쓰면 안되고 정확한 지정이 좀 필요함
2) 좀 잘 해석해줘도 결론에 “무모순“이라는 항진명제 들어가있어서 참인거라 의미가 없음
하.. 난 솔직히 나말고 다른사람이 다틀렸다고 생각함
ㅇㅇ그니깐 대우가 그거인건 맞아
근데 “무모순“이 결론인게 의미가 없음
“무모순“은 “모순“인 상황에서도 (1차논리 하에서는) 폭발원리때문에 도출됨
모순 무모순성은 명제논리 술어논리안에서 그대로 다루면 정말 위험한 결론들이 잘 나와서 잘 번역해야함 그냥 그래서그래
여기서 깊게들어가면 수학 기초론 전공자 수준까지 가야됨
폭발원리 이딴거 왜믿음?
폭발원리는 "내 논리학 안에서 하나라도 모순이지만 참인 명제가 있으면 내 논리학은 터진다"는 원리임
결국 단 하나의 참인 모순인 명제도 허용하지 않는 결과를 낳기에 오히려 더 믿을만한 논리학을 만들어줌
애초에 폭발원리 전제 자체가 P와 not P가 동시에 참임을 가정하는건데
이 가정자체가 잘못된거아님?
ㅇㅇ 그 잘못된 가정을 하면 망한다는얘기,임
난 폭발원리식으로 모순을 인정하면 모든명제가 참이된다가 아니라. "(p and not p)"가 참이면 모든명제가 참이다 라고 받아들이고싶은데
완전성정리 검색 ㄱ
1차논리는 그 공리들을 가정하면(논리학의 3대공리 + 몇개 더) 무모순이다는게 증명되어있음
증명은 어려워서 나도 지금 공부중임.
근데 1차논리만으로는 자연수를 못다뤄서 자연수를 추가하면
괴델의 불완전성때문에 "수리체계에 무모순이면서 증명불가능한 명제가 존재한다" 또는 "수리체계는 모순이다" 둘 중 하나가 성립함.
그래서 자연수까지 다루고 싶으면 폭발원리에 의존을 해야하고
순수 논리만 다룬다 치면 "공리 하에서 모순이 없다"가 증명이 되는거고
(무모순 and 증명불가능)가 참이면 부정인 (모순 or 증명가능)이 거짓이겠네 그럼 모순도 거짓이고 증명가능도 거짓아님?
불완전성정리 보니까 무모순인 동시에 완전할수 없다 따라서 (무모순 and 완전)=거짓
부정은 (모순 or 불완전)=참, 모순은 거짓이니까 불완전이 참이네
무모순 + 불완전 대신 완전 + 모순이 참일수도있음 (공리계 정의가 틀렸다)
하지만 그걸 공리계 안에서 보일수 없다는거
그래서 그냥 보통 무모순 + 불완전이 참이라고 믿음