O/X 퀴즈(5000덕)

Question

f(0)=0, f(1)=1을 만족하는 [0,1]에서 [0,1]로의 연속함수 f(x)는, 0<x<1에서 (유리수, 유리수) 꼴의 점을 한 개도 지나지 않는 것이 가능할까?

정답은 ‘가능하다‘ 이다. 어려워 보이지만, 사실 무리수 기울기의 직선을 2개 이어붙이기만 하면 조건을 만족하는 f(x)를 쉽게 만들 수 있다. (유리수, 무리수) 꼴의 점에 대해 같은 질문을 한다면, y=x만으로도 조건이 만족된다.

그렇다면 위의 조건을 만족하는 함수 f(x)가, (무리수, 무리수)꼴의 점을 지나지 않는 것은 가능할까?

조건을 만족하는 f(x) 제시 or 존재하지 않는다는 것을 증명하시는 분께 5000덕을 드립니다

anohi · Accepted Answer

y좌표가 무리수면 x좌표가 유리수여야하지만, [0, 1] 내의 모든 무리수에 [0,1]내의 유리수를 짝지어주는 것은 불가능하므로 (집합 기수 차이) 존재 X

살아있는 덕코 창고 · Answer

먼말인지 이해못했어요

998001 · Answer

뭔가 수특에 있었던 무한집합의 크기비교가 생각나네요
유리수 무리수 집합크기가 달라서 대응이 안될거 같다는 추측을 조심스럽게 해봅니다

하제타。 · Answer

무리수 집합 크기가 유리수 집합 크기보다 크니까
(무리수,유리수)인 점이 ㅇㅅㅇ

O/X