경영학은 수능 비문학에서 출제하기에 일반적으로 좋은 소재는 아닌 듯 합니다. 특히 재무학 부분은 수리적인 접근이 많이 필요해서, 경영학 내에서도 이과 학문같은 취급을 받기도 합니다. 하지만 방심할 수는 없습니다. 학생들이 낯설어하는 주제이기 때문에 오히려 출제되었을 때의 파괴력은 더 클 것으로 예상해볼 수 있습니다. 실제로 재무학의 위험평가이론, 블랙-숄즈 모형 등은 출제 가능한 주제라고 생각합니다.

이제 서론 읽을 시간도 없습니다.

핸드폰 켠 김에, 옵션가격과 블랙-숄즈 모형을 분석한 아래 재무학 지문을 읽어보세요.

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조건부 약속(contingent promises), 재정거래(arbitrage), 행사가격(strike price)

무차익 원칙(principle of no arbitrage), 연속 복리(continuous compounding), 거래 상대방 위험(counterparty risk)

헤지비율(Δ), 위험중립적 가치평가, 이항트리

로그정규분포, 파인만-캑 공식, 두터운 꼬리 현상

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(연습문제 1)

출처: https://www.youtube.com/watch?v=9ScZLjTnYro&t=39s

참조 및 재구성.

금융 분야에서 가장 심오하고 정교한 개념 중 하나인 옵션 가격 결정 이론(Option Pricing Theory)은 특정 조건이나 결과에 종속된 약속인 조건부 약속(contingent promises)의 가치 평가에 초점을 맞춘다. 이는 오늘날 자본을 제공하고 미래에 확정된 수익을 받는 전통적 금융 약속과는 달리, 기대 수익에 불확실성을 내포하는 변수들을 포함한다. 본 이론은 그 수학적 정교함으로 인해 주목받게 되었는데, 이는 물리학이나 공학 분야에서 사용되는 것과 유사한 고급 미적분학과 정량적 방법론을 요구하여 금융계에서 '로켓 과학'이라는 별칭을 얻게 되었다. 옵션 가격 결정 이론의 핵심에는 "공짜 점심은 없다(no free lunch)"는 원칙이 자리잡고 있으며, 이는 효율적 시장에서는 투자 없이 무위험 이익을 얻을 기회가 존재하지 않음을 의미한다. 이는 옵션 가격이 모든 가용 정보를 정확히 반영해야 하며, 그렇지 않으면 가격 차이를 이용한 보장된 이익 획득인 재정거래(arbitrage)가 발생할 수 있음을 강조한다. 이해를 돕기 위해 다양한 조건의 극장 티켓 구매 시나리오를 고려해보자. 즉시 고정 가격으로 구매하는 것은 조건 없는 단순 거래를, 후에 구매할 의무가 있는 예약은 미래의 정해진 조건으로 거래하기로 약속하는 선도계약(forward contract)을, 그리고 유리한 조건에 따라 구매 여부를 선택할 수 있는 예약은 거래 실행의 권리만을 제공하는 옵션을 각각 대표한다. 금융 시장에서 선도계약은 특정 미래 시점에 정해진 가격으로 자산을 매매하기로 하는 합의로, 선택의 여지가 없다. 선물계약(futures contract)은 이와 유사하나 표준화되어 거래소에서 거래되며, 이는 유동성과 가격 투명성을 증진시킨다. 반면 옵션은 정해진 기간 내에 특정 가격으로 자산을 매수(콜 옵션)하거나 매도(풋 옵션)할 수 있는 권리를 보유자에게 부여하여 전략적 유연성을 제공한다. 옵션 가격 결정 이론은 기초 자산 가격, 행사가격(strike price), 만기까지의 시간, 무위험 이자율, 자산의 변동성 등의 요소를 고려하여 옵션의 공정 가치를 산출하기 위해 블랙-숄즈 공식과 같은 모델을 활용한다. 이러한 복잡한 수학적 접근은 금융 분야에서 고도의 정량적 기술이 필요함을 강조하며, 부정확한 가격 책정은 심각한 시장 비효율을 초래할 수 있다. 옵션의 정확한 가치 평가를 통해 이 이론은 시장 균형을 유지하고 재정거래 기회를 방지함으로써 금융 시스템의 완전성을 보장하는 데 기여한다. 궁극적으로 옵션 가격 결정 이론은 조건부 권리를 제공하는 금융 상품의 복잡성을 이해하고 관리하는 데 필수적이며, 불확실성이 지배하는 환경에서 정보에 기반한 의사결정을 가능케 한다. 이 이론의 적용은 개인의 투자 전략을 개선할 뿐만 아니라 글로벌 금융 시장의 전반적인 안정성과 효율성 증진에도 기여하여, 현대 금융 경제학의 근간으로서의 위치를 공고히 한다.

<틀린 선택지>
- 옵션 가격 결정 이론은 투자 없이 확실한 수익을 창출할 수 있는 기회를 제공하여 시장의 효율성을 약화시킨다.
- 선도계약은 거래소에서 표준화되어 거래되며, 이는 개별 계약의 유연성을 현저히 감소시킨다.
- 블랙-숄즈 공식은 옵션 가격을 산정할 때 자산의 변동성을 고려하지 않기 때문에 단순화된 모델로 간주된다.
- 옵션 가격 결정 이론은 전통적인 금융 약속과 달리 미래의 확정된 수익을 보장하는 특성을 가지고 있다.
- 재정거래는 옵션 가격 결정 이론에 의해 철저히 방지되므로, 금융 시장에서의 가격 비효율성이 전혀 존재하지 않는다.

<힌트>
- "no free lunch" 원칙에 따르면 투자 없이 무위험 이익을 얻을 수 없으며, 따라서 이론은 확실한 수익을 제공하지 않는다.
- 선도계약은 거래소에서 표준화되지 않고, 표준화된 계약은 선물계약에 해당한다.
- 블랙-숄즈 공식은 자산의 변동성을 옵션 가격 산정의 핵심 요소로 포함하고 있다.
- 옵션 가격 결정 이론은 불확실성을 내포한 조건부 약속의 가치를 평가하며, 확정된 수익을 보장하지 않는다.
- 재정거래는 이론에 의해 예방되지만, 완전히 방지되지 않으며 시장에 여전히 가격 비효율성이 존재할 수 있다.

<틀린 선택지>
- 옵션 가격 결정 이론은 전통적 금융 약속과 마찬가지로 미래에 확정된 수익을 받는 것을 전제로 하며, 이는 금융 시장의 안정성을 보장하는 핵심 요소로 작용한다.
- 금융 시장에서 '공짜 점심은 없다'는 원칙은 모든 투자에 위험이 존재함을 의미하며, 이는 옵션 거래에서 항상 손실 가능성이 있음을 강조하여 투자자들의 신중한 접근을 유도한다.
- 선도계약과 선물계약은 본질적으로 동일한 금융 상품으로, 둘 다 거래소에서 표준화된 형태로 거래되어 유동성과 가격 투명성을 높이는 데 기여한다.
- 옵션 가격 결정 이론에서 사용되는 블랙-숄즈 공식은 기초 자산 가격과 행사가격만을 고려하여 옵션의 공정 가치를 산출하며, 이는 간단하고 직관적인 계산을 가능하게 한다.
- 재정거래는 금융 시장의 효율성을 증진시키는 필수적인 메커니즘으로, 옵션 가격 결정 이론은 이를 촉진하여 시장 참여자들에게 안정적인 수익 기회를 제공한다.
<힌트>
- 지문에 따르면, 옵션 가격 결정 이론은 전통적 금융 약속과 달리 기대 수익에 불확실성을 내포하는 변수들을 포함한다고 명시되어 있다. 따라서 확정된 수익을 전제로 한다는 설명은 부적절하다.
- '공짜 점심은 없다'는 원칙은 효율적 시장에서 투자 없이 무위험 이익을 얻을 기회가 존재하지 않음을 의미한다. 이는 모든 투자에 위험이 있다는 것과는 다른 개념이다.
- 지문에서 선도계약과 선물계약은 유사하지만 다른 점이 있다고 설명한다. 선물계약만이 표준화되어 거래소에서 거래된다고 명시되어 있다.
- 블랙-숄즈 공식은 기초 자산 가격, 행사가격뿐만 아니라 만기까지의 시간, 무위험 이자율, 자산의 변동성 등 다양한 요소를 고려한다고 지문에서 설명하고 있다.
- 재정거래는 가격 차이를 이용한 보장된 이익 획득을 의미하며, 옵션 가격 결정 이론은 이를 방지하여 시장 균형을 유지하는 데 기여한다고 지문에서 설명하고 있다.

<틀린 선택지>
- 금융 분야에서 옵션 가격 결정 이론은 전통적 금융 약속과는 달리, 미래 수익의 확실성을 전제로 하여 현재 가치를 평가하는 데 초점을 맞춘다.
- 옵션 가격 결정 이론은 '공짜 점심은 없다'는 원칙을 기반으로 하며, 이는 시장에서 정보의 비대칭성을 이용하여 초과 수익을 얻을 수 있다는 것을 의미한다.
- 극장 티켓 구매 시나리오에서, 후에 구매할 의무가 있는 예약은 옵션과 유사한 개념이며, 유리한 조건에 따라 구매 여부를 선택할 수 있는 예약은 선도계약과 유사한 개념이다.
- 선물계약은 선도계약과 달리 표준화되지 않아 거래소에서 거래되지 않으며, 이는 유동성과 가격 투명성을 저해하는 요인으로 작용한다.
- 옵션 가격 결정 이론은 블랙-숄즈 공식과 같은 모델을 사용하여 옵션의 최대 수익률을 보장하는 가격을 산출하는 데 목적을 둔다.

<힌트>
- 첫 번째 문장은 옵션 가격 결정 이론이 미래 수익의 불확실성을 고려한다는 점을 명시하고 있으므로, 확실성을 전제로 한다는 것은 부당하다.
- 두 번째 문장에서 '공짜 점심은 없다'는 원칙은 효율적 시장에서 정보의 비대칭성을 이용한 초과 수익 창출이 불가능함을 의미하므로, 이를 통해 초과 수익을 얻을 수 있다는 것은 모순이다.
- 세 번째 문장에서 후에 구매할 의무가 있는 예약은 선도계약, 유리한 조건에 따라 구매 여부를 선택할 수 있는 예약은 옵션에 해당하므로, 설명이 뒤바뀐 것이다.
- 네 번째 문장에서 선물계약은 선도계약과 달리 표준화되어 거래소에서 거래되므로, 표준화되지 않았다는 것은 사실과 다르다.
- 다섯 번째 문장에서 옵션 가격 결정 이론은 옵션의 공정 가치를 산출하는 데 목적을 두므로, 최대 수익률 보장이 목적이라는 것은 부당하다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

- "조건부 약속(contingent promises)"은 특정 조건이나 결과에 따라 가치가 변동하는 금융 약속으로, 예를 들어 주식 시장의 성과에 따라 수익이 달라지는 주식 옵션이 이에 해당한다.

- "재정거래(차익거래, arbitrage)"는 시장 간 가격 차이를 이용해 무위험 이익을 얻는 거래 방식으로, 예를 들어 한 시장에서 낮은 가격에 매수하고 동시에 다른 시장에서 높은 가격에 매도하여 차익을 얻는 것이다.

- "행사가격(strike price)"은 옵션 계약에서 기초 자산을 사거나 팔 수 있는 미리 정해진 가격으로, 옵션의 가치를 결정하는 주요 요소 중 하나이며, 예를 들어 주가가 100달러일 때 120달러의 행사가격을 가진 콜 옵션은 주가가 120달러 이상으로 오를 때 가치가 있게 된다.

(연습문제 2)

금융 시장(financial markets)에서 선도 계약(forward contracts)은 미래의 특정 시점과 가격에 자산을 매매하기로 약정하는 구속력 있는 합의로, 그 가격 책정은 무위험 차익 거래가 불가능하다는 무차익 원칙(principle of no arbitrage)에 의해 근본적으로 결정된다. 이론적 선도 가격은 현재의 현물 가격(spot price)을 계약 기간 동안의 보유 비용을 반영하여 조정한 것으로, 무위험 이자율(risk-free interest rate)을 연속 복리로 계산하여 ( F = S e^{rT} )라는 수식으로 표현된다. 이때 ( S)는 현물 가격, ( r )은 연속 복리 무위험 이자율, ( T )는 만기까지의 시간을 나타낸다. 이러한 지수 함수는 복리 빈도가 무한대로 증가할 때 유효 연간 이자율이 지수 함수로 수렴하는 연속 복리(continuous compounding) 개념에서 도출되며, 시간 경과에 따른 이자의 최대 누적 효과를 반영한다. 실제 선도 가격이 이론적 가격과 괴리를 보일 경우 차익 거래 기회가 발생하는데, 선도 가격이 과대평가된 경우 차익 거래자는 캐시앤캐리(cash-and-carry) 전략을 구사할 수 있다. 이는 선도 계약을 매도하고 무위험 이자율로 자금을 차입하여 현물 시장에서 기초 자산을 매수한 후, 만기에 가격 차이로 이익을 실현하는 방식이다. 반대로 선도 가격이 과소평가된 경우, 역(逆) 캐시앤캐리 전략을 활용하여 선도 계약을 매수하고 기초 자산을 공매도하며 그 대금을 무위험 이자율로 투자한 뒤, 만기에 자산을 매입하여 공매도 포지션을 상환함으로써 무위험 이익을 창출할 수 있다. 선도 계약에 내재된 거래 상대방 위험(counterparty risk)을 완화하기 위해 선물 계약(futures contracts)이 발전했는데, 이는 거래소에서 거래되는 표준화된 합의로서 일일 정산(marking to market) 과정을 통해 참여자의 증거금 계좌(margin accounts)를 일일 손익에 따라 조정하여 충분한 담보를 유지하고 과도한 손실의 누적을 방지한다. 계약의 표준화는 규모, 품질 등급, 인도 조건 등을 명확히 함으로써 시장 유동성(liquidity)을 제고한다. 그러나 극심한 시장 변동성은 이러한 안전장치에 도전이 될 수 있는데, 급격하고 큰 폭의 가격 변동은 거래자가 감당하기 어려운 대규모 증거금 납부 요구(margin calls)를 유발하여 시장 안정성을 위협하는 디폴트를 초래할 수 있다. 이에 대응하여 거래소는 거래 중단, 증거금 요건 조정, 거래 취소 등의 조치를 취할 수 있으나, 이는 시장의 완전성(integrity)과 공정성에 대한 우려를 야기할 수 있다. 이러한 복잡한 역학 관계는 강력한 위험 관리 프로토콜에도 불구하고 상품 선물 시장(commodity futures markets)에 내재된 위험성을 부각시키며, 시장의 안정성과 완전성 유지를 위한 철저한 감독과 탄력적인 규제 체계의 중요성을 강조한다.

<틀린 선택지>
- 선도 계약의 가격 책정은 주로 시장의 수요와 공급에 의해 결정되며, 무차익 원칙과는 무관하다.
- 선물 계약은 거래소에서 거래되지 않고, 개별 계약자 간의 비표준화된 합의로 이루어진다.
- 캐시앤캐리 전략은 선도 가격이 과소평가된 경우에 활용되며, 과대평가 시에는 적합하지 않다.
- 연속 복리 이자율을 사용하는 선도 계약의 이론적 가격은 시장 변동성이 낮을 때만 정확하게 산출된다.
- 선물 계약의 일일 정산 과정은 거래 상대방 위험을 증가시키고, 거래의 안전성을 저하시킨다.

<힌트>
- 지문에서는 선도 계약의 가격이 무차익 원칙에 의해 결정된다고 명시되어 있으나, 선택지는 이를 부인하고 있다.
- 지문에 따르면 선물 계약은 거래소에서 거래되며 표준화된 합의라고 설명되어 있으나, 선택지는 이를 부정하고 있다.
- 캐시앤캐리 전략은 선도 가격이 과대평가된 경우에 활용된다고 지문에 명시되어 있는데, 선택지는 반대로 설명하고 있다.
- 연속 복리 이자율을 사용하는 선도 계약의 이론적 가격 산출 정확성에 대한 언급은 없으며, 선택지의 설명은 근거가 없다.
- 지문에서는 일일 정산이 거래 상대방 위험을 완화한다고 설명하지만, 선택지는 그 반대로 설명하여 잘못된 정보를 제공하고 있다.

<틀린 선택지>
- 선도 계약에서 이론적 선도 가격은 현물 가격을 기반으로 하되, 계약 기간 동안의 보유 비용을 제외하여 조정한 것으로, 무위험 이자율을 단리로 계산하여 F = S(1 + rT)라는 수식으로 표현된다.
- 선도 가격이 과대평가된 경우, 차익 거래자는 역 캐시앤캐리 전략을 구사하여 선도 계약을 매수하고 기초 자산을 공매도한 후, 그 대금을 무위험 이자율로 투자함으로써 무위험 이익을 창출할 수 있다.
- 선물 계약은 거래 상대방 위험을 완전히 제거하기 위해 개발되었으며, 일일 정산 과정을 통해 참여자의 증거금 계좌를 조정함으로써 손실의 누적을 원천적으로 방지하고 모든 시장 상황에서 안정성을 보장한다.
- 금융 시장에서 선도 계약의 가격 책정은 무위험 차익 거래가 항상 가능하다는 차익 실현 원칙에 의해 근본적으로 결정되며, 이는 시장의 효율성과 완전성을 보장하는 핵심 메커니즘으로 작용한다.
- 상품 선물 시장에서 극심한 시장 변동성에 대응하여 거래소가 취하는 거래 중단, 증거금 요건 조정, 거래 취소 등의 조치는 시장의 완전성과 공정성을 항상 보장하며, 이는 시장 참여자들의 신뢰를 높이는 데 결정적인 역할을 한다.
<힌트>
- 이론적 선도 가격은 연속 복리로 계산되며, F = S e^(rT) 수식으로 표현된다. 또한 보유 비용을 제외하는 것이 아니라 반영하여 조정한다.
- 선도 가격이 과대평가된 경우에는 캐시앤캐리 전략을 사용한다. 역 캐시앤캐리 전략은 선도 가격이 과소평가된 경우에 사용된다.
- 선물 계약은 거래 상대방 위험을 완화하지만 완전히 제거하지는 않으며, 극심한 시장 변동성 상황에서는 여전히 위험이 존재할 수 있다.
- 선도 계약의 가격 책정은 무위험 차익 거래가 불가능하다는 무차익 원칙에 의해 결정된다. 차익 실현 원칙은 존재하지 않는 개념이다.
- 거래소의 조치들이 시장의 완전성과 공정성에 대한 우려를 야기할 수 있다고 명시되어 있으며, 이는 시장 참여자들의 신뢰를 항상 높이는 것은 아니다.

<틀린 선택지>
- 금융 시장에서 선도 계약의 가격은 무위험 차익 거래가 존재하는 것을 전제로 결정되며, 이는 미래 현물 가격에 대한 시장 참여자들의 다양한 기대를 반영한다.
- 선도 계약과 선물 계약은 모두 거래 상대방 위험을 내포하며, 이는 계약 당사자 중 하나가 계약상 의무를 이행하지 못할 가능성을 의미한다.
- 선물 계약의 표준화는 시장 유동성을 저하시키고 가격 발견 과정을 방해하여 시장 효율성을 떨어뜨리는 요인으로 작용한다.
- 극심한 시장 변동성은 거래자가 감당하기 어려운 대규모 증거금 납부 요구를 유발하여 시장 안정성을 강화하고 투자자 신뢰를 증진시키는 효과가 있다.
- 거래소는 시장의 완전성과 공정성을 위해 급격한 가격 변동에도 불구하고 거래 중단, 증거금 요건 조정, 거래 취소 등의 시장 개입을 최소화해야 한다.

<힌트>
- 선도 계약의 가격은 무위험 차익 거래가 불가능하다는 무차익 원칙에 의해 결정되며, 미래 현물 가격에 대한 시장 참여자들의 기대를 반영하는 것이 아니라, 현재의 현물 가격과 무위험 이자율을 기반으로 한다.
- 선물 계약은 거래소를 통해 거래 상대방 위험을 완화한 금융 상품이다.
- 선물 계약의 표준화는 시장 유동성을 제고하고 가격 발견 과정을 촉진하여 시장 효율성을 높이는 데 기여한다.
- 극심한 시장 변동성은 거래자가 감당하기 어려운 대규모 증거금 납부 요구를 유발하여 시장 안정성을 위협하고 투자자 신뢰를 저해할 수 있다.
- 거래소는 시장의 완전성과 공정성을 위해 급격한 가격 변동 시 거래 중단, 증거금 요건 조정, 거래 취소 등의 시장 개입을 통해 시장 안정성을 확보하고 투자자를 보호해야 한다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

- "무차익 원칙(principle of no arbitrage)"은 금융 시장에서 동일한 자산에 대해 무위험 이익을 얻을 수 있는 기회가 존재하지 않아야 한다는 원칙으로, 이는 선도 가격 책정의 기본 전제가 되며 시장의 효율성을 나타낸다.

- "연속 복리(continuous compounding)"는 이자가 무한히 자주 계산되어 원금에 가산되는 극한 개념으로, 금융 모델에서 ( e^{rT} ) 형태의 지수 함수로 표현되며 시간에 따른 이자의 최대 누적 효과를 나타낸다.

- "거래 상대방 위험(counterparty risk)"은 금융 계약에서 상대방이 의무를 이행하지 못할 위험을 의미하며, 선물 계약의 일일 정산 시스템과 증거금 계좌 운영은 이러한 위험을 관리하기 위한 메커니즘이다.

(연습문제 3)

옵션 가격 결정은 이항모델(binomial model)을 통해 이루어질 수 있으며, 이는 각 이산적 시간 구간에서 기초자산(underlying asset)이 상승 또는 하락이라는 두 가지 결과만을 가정함으로써 가치평가 과정을 단순화한다. 이 모델의 핵심 구성요소는 현재 가격이 알려진 기초자산, 미리 정해진 행사가격(strike price)으로 자산을 매매할 수 있는 권리를 부여하는 금융파생상품인 옵션(option), 그리고 알려진 무위험이자율(risk-free rate)로 이자가 복리되는 무위험 은행계좌이다. 이항모델의 핵심은 기초자산과 옵션을 결합하여 포트폴리오(portfolio)의 가치를 자산의 미래 가격변동과 무관하게 동일하게 만들어주는 무위험 또는 헤지된 포트폴리오를 구성하는 데 있다. 이 비율은 델타(Δ)로 표시되며, 옵션 가치의 변화량을 기초자산 가격의 변화량으로 나눈 값으로 계산되는 헤지비율(hedge ratio)을 나타낸다. 예를 들어, 현재 가격이 20파운드인 자산이 다음 기간에 22파운드로 상승하거나 18파운드로 하락할 수 있고, 행사가격이 21파운드인 옵션이 있다고 가정해보자. 자산 가격이 상승하면 옵션의 수익은 1파운드가 되며, 가격이 하락하면 수익은 0이 된다. 이때 Δ를 (22Δ − 1) = 18Δ로 설정하여 풀면 Δ는 0.25가 되며, 이는 옵션 매도자가 자산의 4분의 1을 보유함으로써 옵션 매도로 인한 위험을 상쇄할 수 있음을 의미한다. 옵션 매도자는 자산 0.25단위를 매수하고 옵션 1개를 공매도하여 자산 가격 변동에 영향을 받지 않는 무위험 포트폴리오를 구성할 수 있다. 이러한 접근법의 중요한 통찰은 옵션의 현재 가치가 자산 가격의 상승 또는 하락 실제 확률에 의존하지 않는다는 것이다. 대신 이는 모든 투자자가 위험에 무관심하며(위험중립성, risk neutrality), 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 위험중립적 가치평가(risk-neutral valuation)에 의존한다. 위험중립성 하에서는 미래 기대수익이 위험프리미엄을 고려하지 않고 무위험이자율로 할인되므로 계산이 단순화된다. 이는 실제 확률이 아닌 자산의 기대수익률을 무위험이자율과 일치시키는 조정된 확률인 위험중립적 확률(risk-neutral probabilities)로 초점이 이동함을 의미한다. 블랙-숄즈(Black-Scholes)의 획기적인 연구는 옵션 가격이 미래 가격 변동의 실제 확률을 알지 않고도 결정될 수 있음을 보여주었으며, 이는 그들에게 노벨상을 안겨주었다. 이항모델을 다기간으로 확장하면 각 노드가 특정 시점의 가능한 가격을 나타내고 자산 가격이 일정한 비율로 상승하거나 하락할 수 있는 이항트리(binomial tree)를 구성하게 된다. 기간이 증가함에 따라 자산 가격의 이항분포는 중심극한정리(Central Limit Theorem)에 따라 정규분포로 수렴하게 되는데, 이는 독립적인 확률변수의 합이 원래 분포와 무관하게 정규분포를 따른다는 원리이다. 이러한 다기간 이항모델은 자산의 잠재적 가격 경로를 보다 정확하게 표현하고 동적 헤지 전략에 대한 프레임워크를 제공한다. 투자자는 각 시점에서 헤지비율을 조정하여 포트폴리오를 지속적으로 재조정하고 무위험 상태를 유지할 수 있다. 이 모델은 또한 효율적 시장에서는 무위험 이익의 가능성이 없어야 한다는 무차익거래(no-arbitrage) 원칙의 중요성을 강조하며, 이 원칙은 파생상품의 공정가치 결정에 근본적이다. 전반적으로 이항모델은 옵션 가격 책정을 위한 금융수학의 기초 도구로서 직관적이면서도 수학적으로 견고한 이산시간 프레임워크를 제공한다. 이는 복잡한 금융상품이 주관적 확률 추정에 의존하지 않고 복제 및 헤지 전략을 통해 이해되고 평가될 수 있음을 보여준다. 이러한 접근법은 옵션 가격 책정을 단순화할 뿐만 아니라 금융시장에서 위험과 수익의 관계에 대한 이해를 심화시킨다.

<틀린 선택지>
- 이항모델에서는 기초자산의 가격이 다수의 결과를 가질 수 있으며, 이는 복잡한 가치 평가를 필요로 한다.
- 이항모델은 자산 가격이 무제한으로 상승할 수 있다고 가정하여 헤지 전략의 유연성을 높인다.
- 델타(Δ)는 옵션 가격의 변화량을 시간을 기준으로 계산하는 비율을 의미한다.
- 리스크 중립적 확률은 실제 확률보다 자산의 기대수익률을 높게 평가한다.
- 다기간 이항모델은 중심극한정리에 따라 이항분포가 지수분포로 수렴함을 보여준다.

<힌트>
- 이항모델은 기초자산의 가격 변동을 상승 또는 하락 두 가지 결과로 단순화하기 때문에, 다수의 결과를 가지지 않는다.
- 이항모델에서는 자산 가격이 상승 또는 하락 두 가지 경우만을 고려하며, 무제한 상승은 포함되지 않는다.
- 델타는 옵션 가치의 변화량을 기초자산 가격의 변화량으로 나눈 비율로, 시간을 기준으로 계산되지 않는다.
- 리스크 중립적 확률은 자산의 기대수익률을 무위험이자율과 일치시켜 실제 확률에 의존하지 않는다.
- 중심극한정리에 따르면 이항분포는 정규분포로 수렴하지만 지수분포는 해당되지 않는다.

<틀린 선택지>
- 이항모델에서는 기초자산의 가격이 상승하거나 하락할 확률이 각각 50%로 고정되어 있으며, 이는 위험중립적 확률과 동일하게 취급된다.
- 옵션의 델타(Δ)는 기초자산 가격의 변화에 대한 옵션 가치의 변화율을 나타내며, 항상 0과 1 사이의 값을 가지므로 완전한 헤지가 불가능하다.
- 블랙-숄즈 모델은 이항모델의 한계를 극복하기 위해 개발되었으며, 연속시간에서의 옵션 가격 결정에 실제 확률 분포를 사용한다는 점에서 우수성을 인정받았다.
- 무차익거래 원칙에 따르면, 효율적 시장에서는 항상 무위험 이익의 기회가 존재해야 하며, 이는 옵션의 공정가치를 결정하는 데 중요한 역할을 한다.
- 다기간 이항모델에서 기간이 증가함에 따라 자산 가격의 분포는 항상 로그정규분포로 수렴하며, 이는 중심극한정리와 무관하게 성립한다.
<힌트>
- 이항모델에서 상승 및 하락 확률은 고정되어 있지 않으며, 위험중립적 확률은 실제 확률과 다르다.
- 델타(Δ)는 0과 1 사이의 값을 가질 수 있지만, 반드시 그 범위 내에 있어야 하는 것은 아니며, 완전한 헤지가 가능하다.
- 블랙-숄즈 모델은 실제 확률 분포가 아닌 위험중립적 가치평가에 기반한다.
- 무차익거래 원칙은 무위험 이익의 기회가 없어야 함을 의미한다.
- 자산 가격의 분포는 정규분포로 수렴하며, 이는 중심극한정리와 관련이 있다.

<틀린 선택지>
- 옵션 가격 결정을 위한 이항모델에서 기초자산의 가격 변동은 무작위적으로 발생하는 것이 아니라, 미리 정해진 상승률과 하락률에 따라 결정된다.
- 이항모델에서 옵션 매도자는 델타값에 따라 기초자산을 매수하거나 매도함으로써 무위험 포트폴리오를 구성할 수 있으며, 이는 옵션의 현재 가치가 미래 자산 가격의 상승 또는 하락 확률에 의존함을 의미한다.
- 위험중립적 가치평가는 투자자들이 위험을 감수하지 않고 무위험이자율로만 투자를 결정한다는 가정 하에 이루어지기 때문에, 실제 시장 상황과는 거리가 있다.
- 중심극한정리에 따르면, 이항모델에서 기간이 증가함에 따라 자산의 미래 가격 분포는 정규분포에 수렴하며, 이는 옵션의 만기 시점에서 자산 가격이 특정 값으로 수렴할 확률을 계산할 수 있음을 의미한다.
- 무차익거래 원칙은 투자자들이 시장의 비효율성을 이용하여 위험 없이 수익을 창출할 수 없다는 것을 의미하며, 이는 이항모델에서 옵션의 가격이 유일하게 결정될 수 있는 이론적 근거를 제공한다.

<힌트>
- 이항모델은 기초자산의 가격 변동을 미리 정해진 상승률이나 하락률에 따라 결정하는 것이 아니라, 각 시간 구간에서 상승 또는 하락이라는 두 가지 가능한 결과만을 가정하여 옵션 가격을 결정한다.
- 이항모델에서 옵션 매도자는 델타값에 따라 기초자산을 매수하거나 매도함으로써 무위험 포트폴리오를 구성할 수 있지만, 이는 옵션의 현재 가치가 미래 자산 가격의 상승 또는 하락 확률에 의존하지 않음을 의미한다. 옵션의 가치는 미래 자산 가격의 상승 또는 하락 확률이 아니라, 위험중립적 확률에 의해 결정된다.
- 위험중립적 가치평가는 투자자들이 위험을 감수하지 않고 무위험이자율로만 투자를 결정한다는 가정 하에 이루어지는 것이 아니라, 모든 투자자가 위험에 무관심하며 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 위험중립적 가치평가에 의존한다.
- 중심극한정리에 따르면, 이항모델에서 기간이 증가함에 따라 자산의 미래 가격 분포는 정규분포에 수렴하지만, 이는 옵션의 만기 시점에서 자산 가격이 특정 값으로 수렴할 확률을 계산할 수 있음을 의미하는 것이 아니라, 자산 가격의 분포가 정규분포에 가까워짐을 의미한다.
- 무차익거래 원칙은 투자자들이 시장의 비효율성을 이용하여 위험 없이 수익을 창출할 수 없다는 것을 의미하지만, 이는 이항모델에서 옵션의 가격이 유일하게 결정될 수 있는 이론적 근거를 제공하는 것이 아니라, 효율적 시장에서는 무위험 이익의 가능성이 없어야 한다는 원칙을 강조하는 것이다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

- "헤지비율(Δ)"은 옵션 가치의 변화량을 기초자산 가격의 변화량으로 나눈 값으로, 옵션 매도자가 기초자산을 얼마나 보유해야 위험을 상쇄할 수 있는지를 나타내는 지표이다. 예를 들어, Δ가 0.25라면 옵션 매도자는 기초자산의 4분의 1을 보유함으로써 옵션 매도로 인한 위험을 상쇄할 수 있다.

- "위험중립적 가치평가"는 모든 투자자가 위험에 무관심하며 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 방법으로, 옵션의 현재 가치가 자산 가격의 상승 또는 하락 실제 확률에 의존하지 않고 위험중립적 확률을 사용하여 계산될 수 있음을 설명한다.

- "이항트리"는 다기간 이항모델에서 각 노드가 특정 시점의 가능한 가격을 나타내고 자산 가격이 일정한 비율로 상승하거나 하락할 수 있는 구조로, 자산의 잠재적 가격 경로를 표현하고 동적 헤지 전략에 대한 프레임을 제공하며, 기간이 증가함에 따라 중심극한정리에 의해 정규분포로 수렴하는 특성을 가진다.

(연습문제 4)

블랙-숄즈 공식(Black-Scholes formula)은 옵션 가격 결정(options pricing)에 있어 획기적인 진보를 대변하며, 이항 모델의 연속시간 확장으로 간주된다. 옵션(option)은 투자자들이 위험을 관리할 수 있게 하는 금융 파생상품으로, 미리 정해진 가격에 자산을 매매할 수 있는 권리를 부여한다. 이 공식은 주가가 로그정규분포(log-normal distribution)를 따른다는 핵심 가정에 기반하는데, 이는 주가의 로그값이 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 범위를 가질 수 있음을 인식한 결과다. 이러한 수학적 조정을 통해 금융 시장의 실제 역학과 부합하는 가격 변동 모델링이 가능해졌다. 공식의 도출 과정에는 고도의 확률 미분 방정식이 적용되었으며, 특히 물리학에서 차용한 파인만-캑 공식(Feynman-Kac formula)이 중요한 역할을 했다. 블랙과 숄즈는 모델에 내재된 복잡한 방정식을 해결하기 위해 경제학의 경계를 넘어 물리학자들과의 학제간 협력을 추구했다. 이 공식의 복잡성에도 불구하고, 현재 금융계에서는 광범위하게 사용되고 있으며, 트레이더들은 종종 그 기저의 수학적 복잡성을 완전히 파악하지 못한 채로 금융 계산기에 공식을 입력하곤 한다. 블랙-숄즈 모델의 실용적 가치는 이론적 금융을 넘어 다양한 산업 분야에서의 위험 헤지(risk hedging)를 가능케 한다. 예컨대, 항공사들은 연료 비용 안정화를 위해 옵션을 활용하고, 농부들은 작물 가격 변동에 대비해 위험을 헤지함으로써, 위험 부담 능력이 부족한 주체로부터 더 나은 관리 능력을 갖춘 주체로 위험을 이전시킨다. 이러한 메커니즘은 보험의 기본 원리와 유사하게 경제적 안정성을 제공하고 사회 후생에 기여한다. 그러나 이 모델은 수익률의 정규분포를 전제로 하는 반면, 실제 금융 수익률은 흔히 "두터운 꼬리(fat tails)" 현상을 보여 극단적 시장 사건이 모델의 예측보다 더 빈번히 발생함을 시사한다. 이러한 가정의 한계는 블랙-숄즈 모델 설계자들이 운영하던 헤지 펀드인 롱텀 캐피탈 매니지먼트(Long-Term Capital Management)의 붕괴를 통해 여실히 드러났는데, 이는 모델이 고려하지 못한 시장 변칙성으로 인해 실패했다. 블랙-숄즈 공식 이전에는 옵션 가격이 기본 경제 원리에 근거한 상한과 하한을 설정하는 경계 조건(boundary conditions)을 통해 책정되었으며, 이는 정확한 계산 없이 이루어졌다. 이러한 역사적 맥락은 금융 상품의 진화와 위험 관리 도구의 증대되는 정교함을 부각시킨다. 그럼에도 불구하고 금융계에서 "공짜 점심은 없다(no free lunch)"는 원칙은 여전히 유효한데, 이는 시장을 지속적으로 능가하려는 시도가 예측 불가능한 변수와 인간 행동으로 인해 종종 좌절되기 때문이다. 금융 모델의 한계를 인식하는 것은 매우 중요하다. 이러한 모델들이 유용한 프레임워크를 제공하긴 하지만, 현실 세계의 복잡성을 고려하지 않은 채 맹목적으로 의존할 경우 심각한 결과를 초래할 수 있다. 블랙-숄즈 공식은 금융 혁신의 최고점을 상징함과 동시에 시장 현실에 대응한 지속적인 검증과 적응의 필요성을 대변한다.

<틀린 선택지>
- 블랙-숄즈 공식은 옵션 가격을 결정할 때 주가가 정규분포를 따른다는 가정에 기초하며, 이는 주가의 움직임이 제한된 범위 내에서 발생한다고 본다.
- 블랙과 숄즈는 이 직관적인 모델을 개발하기 위해 전적으로 경제학자들과 협력했으며, 물리학자들의 도움을 받지 않았다.
- 블랙-숄즈 모델은 수익률의 이항 분포를 전제로 하며, 이는 금융 시장의 극단적 사건을 정확하게 예측할 수 있도록 한다.
- 롱텀 캐피탈 매니지먼트의 성공은 블랙-숄즈 모델이 실제 시장 상황을 완벽하게 반영했음을 입증한다.
- 블랙-숄즈 공식은 옵션 가격을 책정할 때 과거의 경계 조건을 사용하여 미래의 가격 변동을 예측한다.

<힌트>
- 지문에서는 주가가 로그정규분포를 따른다고 명시되어 있으며, 주가가 음의 무한대에서 양의 무한대까지 변할 수 있다고 했다. 하지만 선택지에서는 주가의 움직임이 제한된 범위 내에서 발생한다고 잘못 표현했다.
- 지문에서는 블랙과 숄즈가 물리학자들과도 학제간 협력을 했다고 명시되어 있다. 선택지에서는 물리학자들의 도움을 받지 않았다고 잘못 기술했다.
- 지문은 블랙-숄즈 모델이 수익률의 정규분포를 전제로 한다고 했으며, 이항 분포에 대해 언급하지 않았다. 또한 극단적 사건 예측과는 반대이다.
- 롱텀 캐피탈 매니지먼트는 모델의 한계를 보여주는 사례로 언급되었지, 성공을 입증한 것이 아니다.
- 지문에 따르면 블랙-숄즈 공식은 기본 경제 원리에 기초했던 과거의 경계 조건과는 달리 정확한 계산을 도입했다고 한다. 선택지에서는 이를 반대로 설명했다.

<틀린 선택지>
- 블랙-숄즈 공식은 주가의 정규분포를 가정하며, 이는 주가의 로그값이 양의 무한대에서만 존재할 수 있음을 의미한다. 이러한 수학적 조정으로 인해 금융 시장의 실제 역학과 부합하는 가격 변동 모델링이 가능해졌다.
- 블랙-숄즈 모델의 실용적 가치는 이론적 금융에만 국한되어 있으며, 다른 산업 분야에서의 위험 헤지 적용은 제한적이다. 예를 들어, 항공사나 농부들은 이 모델을 활용한 옵션 거래를 통해 위험을 증폭시키는 경향이 있다.
- 블랙-숄즈 공식 이전의 옵션 가격 책정 방식은 정확한 수학적 계산에 기반을 두었으며, 이는 현재의 방식보다 더 정교하고 신뢰할 수 있는 결과를 제공했다. 이러한 역사적 맥락은 금융 상품의 퇴보와 위험 관리 도구의 단순화를 강조한다.
- 블랙-숄즈 모델은 수익률의 정규분포를 전제로 하며, 이는 실제 금융 시장에서 관찰되는 "두터운 꼬리" 현상과 완벽하게 일치한다. 이러한 정확한 가정으로 인해 모델은 극단적 시장 사건을 예측하는 데 탁월한 성능을 보인다.
- 금융계에서 "공짜 점심은 없다"는 원칙은 블랙-숄즈 모델의 도입으로 완전히 폐기되었다. 이 모델을 통해 투자자들은 시장을 지속적으로 능가할 수 있게 되었고, 예측 불가능한 변수와 인간 행동의 영향은 더 이상 중요하지 않게 되었다.
<힌트>
- 지문에 따르면, 블랙-숄즈 공식은 주가가 로그정규분포를 따른다고 가정하며, 주가의 로그값이 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 범위를 가질 수 있다고 명시되어 있다.
- 지문은 블랙-숄즈 모델의 실용적 가치가 이론적 금융을 넘어 다양한 산업 분야에서의 위험 헤지를 가능케 한다고 설명하며, 항공사와 농부들의 예시를 들어 위험 관리에 도움이 된다고 언급한다.
- 지문에 따르면, 블랙-숄즈 공식 이전에는 옵션 가격이 경계 조건을 통해 책정되었으며, 이는 정확한 계산 없이 이루어졌다고 명시되어 있다.
- 지문은 실제 금융 수익률이 "두터운 꼬리" 현상을 보이며, 이는 극단적 시장 사건이 모델의 예측보다 더 빈번히 발생함을 시사한다고 설명한다.
- 지문에서는 "공짜 점심은 없다"는 원칙이 여전히 유효하며, 시장을 지속적으로 능가하려는 시도가 예측 불가능한 변수와 인간 행동으로 인해 종종 좌절된다고 명시하고 있다.

<틀린 선택지>
- 블랙-숄즈 공식은 옵션 가격 결정에 있어 혁신적인 발전을 이루었지만, 주가가 로그정규분포를 따른다는 가정을 하지 않고, 주가의 로그값이 특정 범위 내에 존재한다고 가정한다.
- 블랙-숄즈 모델은 금융 시장의 모든 위험을 완벽하게 헤지할 수 있도록 설계되었으며, 실제로 롱텀 캐피탈 매니지먼트의 성공적인 운용을 통해 이를 증명하였다.
- 옵션 가격 결정에 관한 과거의 접근 방식은 블랙-숄즈 공식과 달리 정확한 계산을 통해 옵션의 상한과 하한을 정확하게 설정할 수 있었다.
- 블랙-숄즈 공식은 금융 분야에서만 활용되며, 항공사의 연료 비용 안정화나 농부들의 작물 가격 변동에 대한 위험 헤지에는 적용될 수 없다.
- 블랙-숄즈 공식은 금융 시장의 모든 상황에 완벽하게 적용되는 보편적인 공식으로, 시장의 예측 불가능성과 인간 행동의 영향을 받지 않는다.

<힌트>
- 블랙-숄즈 공식은 주가가 로그정규분포를 따른다는 가정을 하고 있으며, 이는 주가의 로그값이 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 범위를 가질 수 있음을 의미한다.
- 블랙-숄즈 모델은 시장의 모든 위험을 완벽하게 헤지할 수 없으며, 롱텀 캐피탈 매니지먼트의 붕괴는 이를 증명하는 사례다.
- 과거의 옵션 가격 결정 방식은 정확한 계산 없이 경계 조건을 통해 책정되었으며, 이는 블랙-숄즈 공식 이전의 한계점으로 지적된다.
- 블랙-숄즈 모델은 금융 분야뿐만 아니라 다양한 산업 분야에서 위험 헤지에 활용되며, 항공사와 농부의 사례는 이를 보여주는 대표적인 예시다.
- 블랙-숄즈 공식을 포함한 모든 금융 모델은 현실 세계의 복잡성을 완벽하게 반영할 수 없으며, 시장의 예측 불가능성과 인간 행동은 모델의 한계로 작용한다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

- "로그정규분포"는 주가 변동을 모델링하는 데 사용되는 확률 분포로, 주가의 로그값이 정규분포를 따르며 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 범위를 가질 수 있다고 가정한다.

- "파인만-캑 공식"은 물리학에서 차용된 고급 수학적 도구로, 블랙-숄즈 모델의 복잡한 확률 미분 방정식을 해결하는 데 중요한 역할을 했으며, 이는 금융 모델링에서 학제간 협력의 중요성을 보여준다.

- "두터운 꼬리 현상"은 실제 금융 수익률 분포에서 나타나는 특성으로, 극단적 시장 사건이 정규분포 가정보다 더 빈번히 발생함을 의미하며, 이는 블랙-숄즈 모델의 한계를 드러내는 중요한 개념이다.

오늘은 여기까지입니다. 읽어주셔서 감사합니다.