러셀의 역설 제 마음대로 해결해봄
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만약 모든 "원소"라는 개념이 "집합"이고
a가 b의 원소라는 개념이 a가 b의 부분집합이라는 개념이라면
즉, 원소라는 개념을 아예 제거해버리면
(u ⊂ X)<->(u ⊂ u)
(X ⊂ X)<->(X ⊂ X)
이렇게됨
애초에 현대수학은 모든것을 집합이라고 하는데
원소역시 집합아닐까요?
그러니까 제말은 집합을 원소로 쓰는게 아니고
원소자체가 부분집합이라는 말임
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그럼 부분집합이란 개념을 어떻게 정의할 것인데요?
그냥 평범한 부분집합을 말하는거에요
그러니까요 그 평범한 '부분집합'이라는 것이 대체 뭐냐는 거죠
A={ }, B={ }, A⊂B={ { } }
그냥 동그라미B 안에 동그라미 A를 그려넣는걸 저렇게 적은거임
결국 B 안에 A가 '속해' 있다는 나타내는 개념이란 것은 현재 사용되는 부분집합과 일치하네요?
네 동그라미B안에 동그라미A를 그려서 A가 B의 부분집합이라고 하는거라고생각함
그럼 그 '속해 있다'를 어떻게 정확하게 기술할 것인지요?
그림으로 그리면 동그라미B안에 동그라미 A가 있는거에여
저는 처음부터 집합과 원소라는 다른이름으로 불리는 개념이 존재한다는게 탐탁치 않았습니다 하나로 다 나타내고 싶어요
탐탁치 않으면 하시면 됩니다. 다만 가능할지, 그리고 모순이 없을지는 님 역량이고요
그건 제가 5등급이어서 불가능함
일단 공부부터 하세요. 창의성을 발휘하고, 주류 이론을 배격하고 싶거든, 일단 앞서간 수많은 천재들의 업적부터 제대로 차근차근 배우세요.
보통집합에선 동그라미를 집합으로, 점을 원소로 하는데 이 점이 전부 동그라미가 된다는거에여ㅛ
그래봤자 해결되지 않습니다. 결국 무엇인가에 무엇이 '속해'있다는 개념 자체는 사라지지 않으니까요
제가 속해있다는 개념을 없애려고 한건아닌데요
추상적인 집합들은 서로의 포함 관계가 어떻게 되는지 모르는 경우가 많습니다. 그런 경우에는 동그라미를 그리는 것이 의미가 없겠죠.
덧붙여서 '그림'이라는 도구는 전혀 논리적이지도, 수학적이지도 않습니다. 그림을 어떻게 그릴 지는 그리는 사람의 마음이니까요. 벤 다이어그램을 통한 증명이 실제 학부 이상 수학에서는 쓰이지 않는 이유이기도 해요
그림이 왜 논리적이지 않죠?
그림으로 그리는 과정에서 실제 수학적 성질이 왜곡되는 경우가 많기 때문이죠
그리고 그냥A⊂B라고 하고⊂만 쓰면 되는거 아닌가여
저는 처음부터 집합과 원소라는 다른이름으로 불리는 개념이 존재한다는게 탐탁치 않았습니다 하나로 다 나타내고 싶어요
그리고 그냥A⊂B라고 하고⊂만 쓰면 되는거 아닌가여
수학과 논리에서는 '그냥'이라는 것이 없습니다
저는 단지 원소개념을 부분집합개념으로 바꾸자는 주장만했는데 그게 왜 안된다는건지 이해가안됨
이미 부분집합의 정의 자체에 원소 개념이 들어가있기 때문이죠.
그럼 원소개념을 안쓰고 정의하면 되지않나요
어떻게요? 아까 말했듯이 님이 정의 내린 것 자체에 이미 원소라는 개념이 들어가 있는 겁니다. 단순히 '그림'을 그려서 판단하는 것은 전혀 논리적이지 않아요. 고등수준의 예시를 들자면, 미분가능함수의 집합은 연속함수의 부분집합이죠? 이걸 어떻게 그림을 그려서 판단하시게요?
아무리 말씀하셔도 저는 러셀의 역설이 원소개념에 의해 일어난다고 보고있고 그걸 해결하기위한 수학자들의 노력이 군더더기가 많은 땜빵이라는 느낌을 지울수없습니다
제가 수학5등급이라 아는건 없지만 동그라미안에 동그라미를 그려넣는게 왜 논리적이지 않다는거죠
다시 말해서, 동그라미 안에 동그라미를 그려 넣는 것은 이미 어느 한쪽이 부분집합이란 것을 '전제'로 가능한 것입니다. 즉, 어느 한 쪽의 포함 관계를 이미 아는 상황에서는 가능할 수도 있으나(이마저도 abstract 한 공간으로 가면 집합 사이의 거리나 집합 자체의 '모양'을 왜곡하기 때문에 문제가 됩니다) 아무런 정보도 없는 두 집합을 다루는 상황에서 '원소' 개념 없이 두 집합의 포함관계를 기술할 수 있을까요?
원소가 곧 부분집합이기 때문에 어떤 집합의 부분집합들이 뭐냐에 따라 포함관계를 기술할수있지않나요
그렇다면 당신은 그냥 원소라는 개념의 이름을 부분집합으로 바꿨을 뿐, 기존의 틀에서 전혀 벗어나지 않은 겁니다. 원소라는 개념을 element이라 부를지, 아니면 elggga같이 이상하게 부를지는 글쓴이 마음이지만, 그렇다고 해서 러셀의 역설이 해결된다던지와 같은 일은 발생하지 않아요. (물론 당신이 원소를 부분집합으로 바꿔 부른다면 기존의 부분집합이란 개념에 해당하는 명칭은 다른 것으로 바꿔야겠죠)
본문글을 읽어보셨나요? 원소개념을 부분집합개념으로 바꾸면 역설이 해소됨
그러니까 이미 당신이 만들어낸 부분집합이란 개념 자체가 원소라는 개념을 내포하고 있다는거에요
저는
(u ⊂ X)<->(u ⊂ u)
(X ⊂ X)<->(X ⊂ X)
이렇기 때문에 원소를 부분집합으로 바꾸어야한다고 생각합니다
일단 정리합시다. 당신이 말한 부분집합 개념의 정의를 좀 명확하게 써주실 수 있나요?
A가 B의 부분집합이다 := ~~~
a가 b의 원소라면, 이것을 a가 b의 부분집합이다라고 하는거죠
아니 그러면 해결이 안된다고요.... 원소라는 개념을 도입하는 순간 이미 러셀의 역설은 생기는거에요.
원소라는 개념을 부분집합으로 바꾼다구요
그러니까요. 전혀 해결이 안됩니다. 기호만 바꾼거지 전혀 해결이 안되는겁니다.
예를 들어서 당신이 만든 부분집합이란 개념을 사용하여 집합 X을 다음과 같이 정의합니다 .
X={u : u is not subset of u}
이러면 역설에서 발생하는 문제는 똑같이 발생해요. 결국 본질적으로 기존 수학에서 사용하던 원소라는 개념과 님이 말하는 부분집합이라는 개념이 의미하는 바가 똑같아서 문제가 생기는거죠
아니 모든집합은 자기자신의 부분집합 아니에요?
님이 부분집합의 개념을 새로 정의했기 때문에 그렇지 않겠죠?
왜요?
님이 정의한 부분집합의 정의대로라면, A가 B의 부분집합이라는 것은 A가 B의 원소라는 것이죠. 그런데 님이 정의한 부분집합의 개념대로면 A가 A의 원소가 되지 않을 수 있기 때문에 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이란 것은 성립하지 않습니다. 다시말해, 님 스스로가 기존의 수학에서 정의한 부분집합과 님이 정의한 부분집합의 개념을 혼용해서 쓰고 있어요.
결국, 집합과 그 안에 속해있는 어떤 대상이라는 개념을 유지하는 한, 역설은 똑같이 발생합니다.
아니 원소를 부분집합으로 처리한다는데 왜 역으로 쓰세여?
원래 definition 이라는 것은 if and only if 가 성립해야 하는 조건입니다. 당연히 역방향도 성립해야 하는 것이고요
아니오 저는 원소개념을 버릴건데여
그러니까 원소 개념을 버린다고 하고서는 정작 기존의 원소라는 개념을 똑같이 쓰시고 계십니다. 한번 원소라는 개념을 쓰지 않고서 님이 생각하는 부분집합의 정의를 내려보시라니까요?
그냥 동그라미안에 동그라미 그리고 또 동그라미안에 동그라미그리고 그런거밖에 생각이안나요
네 그게 안된다는겁니다. 그리고 애초에 집합이라는 object가 '원소'라는 개념 없이 성립할 수 없는 것이니까 안되겠죠?
저는 처음부터 집합과 원소라는 다른이름으로 불리는 개념이 존재한다는게 탐탁치 않았습니다 하나로 다 나타내고 싶어요
그럼 왜 동그라미안에 동그라미를 그리는게 가능하죠?
? 가능하다는건 님이 한 말이잖아요. 그리고 불가능할건 없어요. 다만 수학적이거나 논리적이진 않다는거죠
공집합은 없나요
일단 현대 수학에서 사용하는 공리계에선 있죠