다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
꿀직업이네
-
방에 쳐박햐서 하루종일 피파4조지기
-
심찬우의 에이어 5
아니 나 재수 시작해서 6월까지 고민하고 머리뜯으면서 찬우쌤 방법으로 계속해서...
-
그리고 모든 것에 대해 how를 묻는 것도 좋은 습관임 물론 댓글이 많은 글에 있는...
-
인터넷이나 유튜브 보고 철학적인 사고 깊게 하지 마세요 대학와서 그냥 교양으로...
-
수학 실모 추천 1
난이도가 높은 실모 말고 적당한 실모 추천좀 해주세요
-
ㅇㅇ?
-
그 "어떤것이 좋다"에서 "어떤것"을 현실로 끄집어 내는건 힘듬 왜힘들까?...
-
이감 막 몰아서 엄청 풀면서 이감 등급으로 5에서 2였나 1까지 올리고 감 잔뜩...
-
안녕하세요. 처음 가입하고 글 써보게됩니다. 여기가 어떤 느낌의 커뮤니티인지는 잘...
-
타지리 3
-
반갑습니다. 국어 강사 유대종입니다. 최근 수능의 경향성은 좀 더 문학 판단에서...
-
저 계속 1컷아니면 1컷에서 한문제 더 맞추는데 이거 수능기준...
-
연논 꿀팁 모음 28
연고대 3회합격자 연상논술 김태규샘입니다. (연심리, 연경영, 고경제) 올해는 제가...
-
그냥 심란해서 올려봅니다.. 다들 수능 화이팅하세요
-
역시 미국 0
한국이었으면 공산국가니 뭐니 난리났을텐데 ㅋㅋ
-
과탐 만큼 개념 기출 후에 실모 벅벅해서 효율이 가장 좋은 과목이 없는듯 수학은...
-
모든사람은 어떤 음악을 들으면 좋다 별로다 이렇게 느끼는게 있을거 아님 그말은...
-
초등학교~중1 지필고사 부활
-
이게 간당간당한 2등급이라니
-
수능 국어공부를 5년동안 해왔는데 처음 시작했을 시기와 비교했을 때 똑같이...
-
1. 공통점을 찾는것 대상간의 비교를 통해 함 2. 공통점을 가진것을 찾는것 한...
-
전 내일 조교로 갑니당
-
십일워 쎈 0
지금 차영진 쌤 십일워 듣고잇는 고2인데 쎈이랑 같이 병행하고 있는데 이거 잘하고...
-
연대 논술 하루 전에 시상식에서 박수치다가 저…저요? 하면서 얼떨떨하게 일어나는 그 짤처럼 됨
-
{A,B,C} 라는 대상1과 {C,D,E} 라는 대상2가 있을때 두대상의 공통점인...
-
아예 공부를 안 한 건 아니고 했는데 지금 등급이 부진하게 뜨고 있습니다 물론 제...
-
사문 풀이 시간 4
도표 시간 빼면 나머지 개념 몇분안에 풀어야 하나요????
-
수2 극한 로피탈 21
0분의0꼴 이니까 로피탈을 사용가능해서...
-
국어 문학 0
실모돌리기 전에 루틴으로 연계작품 풀고싶은데 괜찮은거 뭐가 있을까욤
-
현대시에서 사물 0
사물의 속성을 표출한다 하는 선지 보다가.. 사물은 인간 말고 모든것에 해당되는 건가용??
-
내신 ㅈ된 고2 0
시험이 끝났는데도 즐겁지 않아요
-
문학2틀 언어2틀 91점 꽃을 위한 서시는 사설에 왜이리 많이 나올까 작품성이 좋나
-
진짜 생각보다 너무 퀄도 좋고 어려워서 놀랐어요 93점 독서 6, 13 -5 문학...
-
수능 국어공부를 5년동안 해왔는데 처음 시작했을 시기와 비교했을 때 똑같이...
-
벌써 클났네
-
모교랑 거리가 좀 있어서 받으러 가려면 시간 좀 써야되는데 꼭 가서 받아야지만 확인...
-
ㅇㅇ 내 말이 아니고 무슨 유명한 교육자 겸 철학자 책에서 봣는데 이게 맞음
-
ㄴㅇㅅㄴㅇㅅ
-
우리 오빠는 대학생이 되었다 에서 우리 오빠는 : 주어 대학생이 : 보어 되었다 :...
-
들어보시분 계신가여??
-
23~27 난이도
-
시대인재북스에서 책 샀는데 며칠째 배송 준비중이라서 취소하고 바로 환불받음. 근데...
-
1. 기출+EBS+심화개념(잘잘잘) 복습 2. 파이널 실모 12회분 1과 2만 계속...
-
수능 국어공부를 5년동안 해왔는데 처음 시작했을 시기와 비교했을 때 똑같이...
-
내가 ㄹㅇ 그림그리는게 수학 올리는것보다 빠르지않을까
-
수중 운송수단 디자인해야되는데 잠수함 말고 어떤 종류가 있으려나요
-
인줄 알았지만 개같이 언매 4점 까이며 87점 2등급 ㅅㅂ (1컷89) 아니시발 왜요 크아악
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다