다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
너머행복함 16
작년에 45367이었거단 평균 5~6정도? 올해는 국민대 공대까지는 뚫릴거같음...
-
텔그 70% 1
백퍼 떨어질테지만 이 정도면 써볼만 할까요???
-
국어 화작 1틀 89점이면 2등급 무조건 뜨겠죠? 3등급뜨는그런미친경우는없겠죠?...
-
나를 깎고 잘라서 스스로 작아지는 것뿐.
-
07들에게 힘의 차이를 보여주고 말겠어
-
비싼 거 사야 하나요??? 차이가 유의미한가용??? 제 돈으로 살 거라 11만원...
-
나 진짜 수학 작수가 훨 쉽다고 느꼈고 올해가 훨씬 어려웠다고 생각했음 14번부터...
-
국어 2 나오면 중약 최저 충족인데… ㅈㅂㅠㅠ 하 독서론 3번만 안 틀렸어도..
-
제목 그대로 33244가 나왔읍니다... 원점수로 화작83 미적 69 영어2 물33...
-
연애해보고싶다
-
앞으로 수학을 안봐도 된다는것....공부하는데 기분 드러운과목 원탑임...다들...
-
기숙에 있을때는 나오고 싶어 죽겠었는데 막상 다 끝나니까 좀 허함
-
누가 잘못을 해서 그것에 대해 정확하게 잘못을 짚어주면 6
그저 그것에 대한 반발심 때문에 일을 그르치거나 괜히 심술이 난 경우를 많이 봄...
-
이제 이건 거의 이론아님?
-
지금까지 공부 아예안하다가 올초부터 한건데 이정도면 잘 한거 아닌가
-
갑자기 사이드에 앉은 분이 간질로 쓰러지고 응급에에 실려감…;; 중간에 종쳐서...
-
일단 대학 가긴 해야하는데 진짜 너무 미련이 남아서 삼반수 하려고 하거든요 솔직히...
-
-
제곧내
-
미적이랑확통표점차 작년도그렇고올해도그럴꺼같은데 확통컷96진짜나오면 평가원은욕좀먹어야됨
-
미적 3 3
미적3틀 69점 3등급 될까요 ,,?
-
재수해서 지거국 정도 성적 받았다는 게 믿기지가 않아요 사라지고 싶어요 노력이 아무...
-
작년에 50프로 하나도 못넘긴 성대 박살낸거 기분 째지네요 + 연고대 경영
-
찍을수있을까요구르트
-
작수 만점자 952명 올해 수능 1컷이 만점이라면 만점자 약 1900명 흠터레스팅...
-
저 현역때 오르비에선 수능이 절대선처럼 여겨지곤 했었는데, 우연적 요소들을 인정하는...
-
물리 1
1컷 47은.... 극상위권한텐 쉬웠나보네요 ㅠ 시간이 어케 남지 ㄷㄷ
-
공부량이 너무 많음...
-
미적분 진짜 못해먹겠는데
-
명상가중에 되는 곳 있을까요...0
-
옆옆옆자리 에 꽂혀있는데ㅜㅈㄴ 탐나네요
-
이번주는 단거 잘 안먹었는데
-
해설보고 이해가 되니까 재밌네
-
작년에 배신당했던 그 ㅈ같은 기억이 다시 살아남. 93받고 아싸 1등급이다 존나...
-
서강대 기계공학과랑 성균관대 공학계열 논술 신청했습니다! 응시 하는게 좋을지 그냥...
-
그냥... 0
수능 끝났는데 가채점 하면 할수록 스스로에게 화가 나네요.. 수능으로 서울대...
-
명상가중에 되는 곳 있을까요
-
변표나오면 4
많이 바뀌려나 흐음
-
본인 듣기때 많이 푸는 편인데 그 와중에도 올해 수능에서 빈,순,삽 빼고 다 품....
-
지금은 의미없다 0
(N수생이)
-
하 종로 이투스 빼고는 다 124가 컷인데 너무 불안하다
-
진짜 어른이 된 거라고 생각함..ㅎ
-
지1 아직 꿀과목임? 10
07 물1 여론 보고 물1지1 에서 물2지1으로 바꾸려는데 물2지2까지는 오바겠지?...
-
-
ㅜㅜ
-
가형 틀딱은 들어라 19
이제 애들보는 수능판에서 그만 분탕치고 명예롭게 은퇴해라...
-
아니 고속아 1
연두색이라매 연두색이라매 왜 텔그는 주황색이야???
-
고등미적분학 얼마나 해야되나요? 그냥 개념+쎈 정도 하고 갈까요? 통통 선택이라
-
지구는 통계 다 똑같이 나와서 논외라 쳐도 화학 물리 생명 전부 다 2컷은 통계...
-
지금 고2가 올해 수능 수학 미적으로 97분 재고 풀어서 공통 다 맞고 미적에서만...
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다