엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068865526
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
마닳 몇권부터 0
푸는게 좋을까요 수능이 얼마 안남아서 가장 최근인 1권만 하려하는데..
-
하나도 안 넣기로
-
글 진짜 안읽히네 최악의 상황을 가장한 공부 on
-
화작 팁 5
고1 정시파이터 입니다. 9모 화작을 풀때 25분을 넘어버리는데 어떡하나요.?...
-
님들이라면 어디감 간호 장점 : 취업률 goat.. 인가경 장점 : 캠퍼스 라이프 캬..
-
의대는 수시모집만 하자?…"절차상 불가능" 선 그은 정부 10
[앵커] 이런 가운데 내년도 수시모집 첫날부터 의대에는 지원자가 몰렸습니다. 이렇게...
-
내신 2점대 중반이면 메디컬 교과 안넣느니만도 못하나요? 3
정시로 한의대 준비중인데 수시교과를 넣어볼까 하다가도 내신 컷보면 이걸 넣는게...
-
내신은 말았구요 중경외시 라인에서 반수해요 작년에 3합6 맞춰서 일주일 공부해서...
-
문제도 잘 풀리고 매일 이랬으면
-
수분감? 패파?
-
저녁ㅇㅈ 4
전이랑 김치찌개
-
ㅈㄱㄴ
-
본인이 내신 몇이면 상향으로 쓸것같음?
-
이런 미친 틀딱 새끼들 입시가 장난인줄 아나
-
개인적으로 외대 논술 ㅊㅊ해요 저도 8월 중순-말부터 시작했는데 외대는 글자수도...
-
원서접수 완 4
2고대 드가자
-
아수라 이감 1
현역이 아수라하고 이감 파이널 패키지 병행하기엔 양이 좀 많을까요? 아수라 볼륨이...
-
논리적인 지문들만 보면 머리가 아픈데 좀 모아서 풀고싶음
-
인문논술 관련고민 18
들어주실 분 있나여..진짜 모르게써요
-
그럴 가능성이 있으려나?
-
학습에 도움이 되었으면 합니다
-
Omnipresent??
-
헉벌써 35분 0
반기워
-
물론 지역인재고 1.수능 최저 맞춘 사람이 2배수 안에 안 들어갈 정도로 최저를 못...
-
님들은 존나 쉬웠음???
-
설맞이랑 비슷하거나 조금 더 어려운 N제 뭐가 있을까요?
-
고대 수학과 성대 전자전기 부산대 기공 경북대 기공 3월 1 5월 2 6평 낮2...
-
인천대 경영 vs 외대 글캠 global Technology&business 어디가 좋나요
-
싸울것같은데
-
헌급방이도 무조건 공군감 휴가 사람수준 태블릿 ㄹㅇ 삶의 질이 다르다 육군에 비해..
-
지금 고1이고 좀 놀아서 내신 전교20등쯤인데 어느정도 갈수 있을까요 (중복합격...
-
해결방안이 없을까요...?
-
최저 3합7까지는 어떻게 될거같은데 아예 쌩노베에요 수능끝나고 단과하루듣고...
-
수학 3 뜨려면 2
이번 9모에서 1~15 까지 2개 틀렸고요 (1개 찍맞) (10,15) 16~19는...
-
2년공부해서 이정도면 잘한편에 속할수있을까요 정시로요
-
오늘 10시에 열렸는데 열린지 6시간만에 57.2 : 1 ㅋㅋㅋ 그냥...
-
수리논술 0
모의고사 보통 2등급 나오고 미적분 선택자인데요. 수리논술 어디쓸지 너무...
-
전국연합 영어듣기평가란? 매년 2회, 전국 16개 시도 교육청 주관 하에 시행되는...
-
모의고사날 애들 절반 타노스당함 일단 1학년때 반마다 5~7명 자퇴 오토바이...
-
있으면 진짜 마음이 찢어졌다가 봉합수술하는 기분일듯요
-
수분감 소단원 하나풀고 오답하는데도 시간이 꽤 걸리길래(+뉴런이랑 병행하면 더...
-
경쟁률 눈물난다 차피 저 많은 사람들을 뚫고 합격할거같진 않은데 아몰라 일단 수능...
-
다 맞아서 기분이 좋습니다 (사설에 비해 상대적으로) 쉬운 기출이니까 일희일비하지...
-
슬프네요,,
-
ㅇㅇ
-
공끼얏호우 0
-
신소재 써도 될까요 아님 건사환으로 낮추어야할까요..
-
ㅇㅇ
-
N수 해서 어디 가야된다의 최소치는 없다고 본다. 일단 전년도보다 오르면...
-
미적분 질문 0
N이 3이상의 자연수일때 an이 두개가 나오는데 (둘다 값이 같음) 근데 극한값이 왜 다르죠?
슈크란