미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
그들이 가이드 없이 커뮤니티 안에서 시간을 보냈을지라도 그들은 일반적으로 중요한...
-
뽑긴 할까???
-
미적28 29는 기하보다 횔씬쉽고 계산도 없었네 흠..
-
도망친 곳에 낙원은 없다 하지만 과탐은 지옥인거 인정한다
-
언매 확통 정법 사문 영어
-
내꿈은 락스타
-
수능 수학 만점으로! 수 모의고사 무료 체험 이벤트⭐ [ 9/28(토) ] 0
안녕하세요 메가스터디학원입니다. 오는 9월 28일 토요일 수 모의고사 무료체험이...
-
그때까지 국어 뭐 해야할까..
-
지금 잇올 등록 0
해도 괜찮겠죠 ㅠㅠㅠ
-
국어 6모때 백분위 96이고 9모때 97점이면 뭐해야함? 4
수능때도 이렇게 나올지 모르겠어서 불안해서 물어봄
-
암묵지를 명시지화 하는 힘 ㄷㄷ
-
미적사탐이고 만약 저렇게 나오면 서울대 문과 가능한가요? 의대급 점수 나와야되나요
-
우리 고양이 귀엽죠? 이름은 나비에요 나비! 고양아 인사해! 오뿌이 오빠...
-
역시나 바로 호아곡 때려버리네 ㅁㅊ 8덮에도 있었고 덕분에 3따리인 본인 공통...
-
각각 거의 10초 차이로 세번 무단지각 하게됏는데 어쪄죠 지각한거 싸인하라해서...
-
ㄷㄷㄷ
-
오늘까지 접수인데 접수 안하고 군산으로 혼 드라이브 옴
-
사탐의 한계 2
1컷 50나오면 2등급이 걍 종이쪼가리가 됨 ㅋㅋㅋㅋㅋ 입시에서 타격이 너무 큼
-
9모후 논술 0
원래는 정시로 갈려했으나 9모43532가 나와서 수리논술도 생각중입니다 목표는...
-
본인 반 수시러 왈 지금까지 푼 시험 중에서 가장 고난도라던데
-
9평 총평이나 리뷰 보고싶은데 괜찮은 분 있을까요?
-
과학이랑 한국사는 어릴때 관련 도서 읽는건 좋아했어도 늘 공부할땐 성적이 잘...
-
정법 고수가 되려면 11
고소를 하면 되는걸까?
-
오란다다
-
뭐가 더 어렵나요? 지금 지인선 10회차 푸는중이에요
-
4분의 삼은 시험지에다가 이거계산이 너무 많은데 미분하고 대입하고 빼고 시험장에서 개빡센유형ㅋㅋ
-
수능장가면 어떤 과목이든 죄다 사설틱하게 느껴지더라
-
1. 다행히 어제 글 좋아요가 많아서 무사히?! 인강전체 1주일간 오픈이...
-
22,23수능 만년 2등급 백분위 91이고 1등급 단 한번도 없음 올해 6모도...
-
죽어라 공부하면 불가능한 일은 아닐텐데 뭔가 열심히 공부하는 게 몸에 배여있지가...
-
'앞으로 남은 십년을 더 살든지 죽든지' 이건 그냥 다음 행 강조하는 거니까 아무...
-
잇올 상담 0
잇올 등록하려고 상담할때 성적 다 까나욮ㅍ??
-
망했다
-
ㅈㄱㄴ
-
현역 고3이고 9모때 영어90점으로 빈칸2개, 순서1개, 단어1개 틀렸습니다 이러면...
-
9모 세사 2
43 떠서 딱 2등급 인데 접을까.. 어케 생각하심
-
개씹허수입니다… 두번째줄 파란글씨부터 왜 저렇게 나오는지 이해를 못하겠어요...
-
혹시 아시는 분 계실까요? 9평으로 업데이트 돼서 그런가 확인할 수 없네요
-
원래도 멍청하지만 귀마개 끼면 더 멍청해지는느낌.. 답답한거 같은느낌
-
분명 첫 문단에 "블록을 블록체인에 연결할지 여부는 모든 노드들이 참여하는 승인...
-
수특 비문학 2
수특 비문학 주제복합 풀어보고 있는데 저만 어렵게 느끼는건가요?
-
내년수능보는데 둘중 뭐를 더 추천하시나요?? 한지가 더 세지보다 어렵긴한데 세지는...
-
평가원 기출 그냥 그대로 실제 모의고사 용지 사이즈로 파는거없음? 영어기출...
-
[속보]복지부 “2026년 의대 정원 논의 가능…대화 문 열려 있어” 3
정부가 2026학년도 의대 정원에 대해 의료계와 논의가 가능하다고 재차 강조했다....
-
최저러라 탐구 투자 할 시간 많긴한데 겁나긴한다 이게 맞겠지...? 참고로 과탐4떳음..
-
정석 1
수학의 정석 기본편 한번만 보고 실력편만 n회독 해도 되나요?둘다 계속 n회독을...
-
여권용 증명사진 2장, 신분증, 응시료(결제방법은 응시처문의) 준비해서 서둘러 접수하십쇼
-
??: 각하!! 이번에 영어 1등급비율이 22%랍니다 4
이건 5.5%인데?
-
아주대병원 투입 군의관 3명 모두 '근무 불가' 의사…업무 중단 2
어제 마취과 1명·오늘 응급실 2명 투입됐지만 출근했다 돌아가 (수원=연합뉴스)...
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/005.png)
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=