미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
무기한 잠수 5
-
앞으론 안해야겟다....
-
뭐지 3
드라마보던백수 흥미로운일이생겼다 음 뭘까
-
다들 어케하심
-
냥대 낮공 많이 힘들까요ㅜㅋㅋ 중앙공대 갈 삘이 크게 오네요,, 수학을 너무 못봐서...
-
갑자기 2주뒤에 학원 들어가라면 나보고 어떡하라고 그동안 약속이니 여행이니 예산도...
-
땡기는게 없어서 기프티콘 짬처리함
-
문과 1학년 학점 꼬라지하곤 시~~팔 군대다녀와서 정신 차리고올게요
-
이것만으로도 ㄹㅇ 기분 개좋아짐
-
할 만 한가요 현역(작년) 6평부터 올해 수능까지 올 9평 백분위 98 빼면 계속...
-
만약 문자 온다면 그 합격자 발표 즉시 오나요 문자가
-
전필 시험이 다 끝난 지금 본인은 사실상의 종강을 선언하는 바이다.
-
압수수색.해야.한다. 민주주의.훼손시키는.부정채점.하야하라. 물리학1.채점결과.공정하게.보도하라.!
-
보법이다름뇨
-
알 수 있는방법은 없나요 비교해보고싶은데
-
다들 무슨 문자 이야기 하시길래
-
예문 : 아직까지는 그 사실을 아무도 모르고 있다. 위 예문에서 ‘아무’는 문장에서...
-
서울대...제발 붙었으면 좋겠어요 떨어지면 80%확률로 납친데
-
작년에도 대충 5:1 경쟁률이던거같은데
-
크게후회할까요 나중에..?? 도저히 복학할 자신이 없음 ㅠ
-
1컷 48까지는 그러려니 해도 2컷 45는 진짜 정신 나갔음? 지금 생각해도 도저히 믿을 수가 없네
-
차라리 다떨궈줘
-
국어 잘해지는법: 키커지는법 -후천적노력이 존재하기도하는데 한계뚜렷함 -어렸을때...
-
궁금해요
-
법페니즘 0
자신이 이용해먹을땐 법은 신성하며 고결한것이지만 자신의 이해와 어긋날때는 법이란...
-
사탐공대는 더많아지는 것 같던데..
-
아 사망
-
뭔가 느낌이 옴 ㅇㅇㅇ
-
제곧내 냥대 한양대 조발 조기발표
-
받아보신분.... 쪽지나 댓글로 연락주세요오...
-
그냥 대충 숨만 쉬면서 식물상태로 임기 마칠걸로 예상했는데 충분히 가능성 높은...
-
다들 국어를 혐오해 힝힝
-
이건 어데감? 3
경북대 전자 이화여대 전자공
-
기상! 5
-
의대수시 쓰신 분들 뭐뭐 쓰셨나요? 자신의 현재 상황을 알려주세요!
-
그냥 원서비 아낄까
-
벌써부터 고뽕이 차오르네요 원래 아카라카나 입실렌티 영상에도 딱히 흥미 없는...
-
냥대 문자 언제 와 11
어쩌피 합격일텐데 빨리 보내달라고오
-
부산의논 8
내일발표네요 ... 기대가 안된다고말은하지만 은근 기대되네요
-
성대는 온다고 들었는데 한양대는 모르겠네요
-
안녕하세요 오늘은 사탐런 가이드 칼럼에 이어 생윤을 시작하려는 분들을 위해 생윤...
-
마인드셋임. 수능판을 벗어나 다른 걸 열심히 해보려고 해도 "이 노오력을 수능에...
-
To 경희대 2
논술 조발 안 해도 괜찮다 붙여만 다오
-
어케보는지도 모르겠음 나는
-
-
+1 시작 언제할거임 17
올해 1월1일에 바로 시작 해버려서 다음수능 준비는 2월쯤에 하려고 했는데 자꾸...
-
다 잠겨있는데 어디서 알아내는거예요..ㅜㅜ
-
크아악
-
ㅇㅇ..
-
그렇죠...법이 논리적으로 작동했으면 조국딸도 들어갔어야지.... 2
법은 감성을 논리적으로 변호하기 위한 도구에 가까운듯
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=