Geometry of being Amenable

Let $M_1$ be a complete Riemannian manifold with Riemannian covering $M_2\to M_1$ such that $M_1$ has a finite topological type, i.e., homotopy equivalent to a union of finitely many CW complexes. (manifold with finitely generated fundamental group for example.)

Theorem. If $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ is amenable, then $\lambda_0(M_2) = \lambda_0(M_1)$.

Group이 amenable하다는 것은, 여러가지로 정의할 수 있는데, 이렇게 기하학적인 상황을 상정한다면, 가장 좋은 정의는 다음과 같다: In other words, there exists finite exhaustion subset $E_i$ of $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ such that

$${\#(\partial E_i)\over \#(E_i)}\to 0,\quad\text{as }i\to \infty.$$

여기서 $\partial (E_i) = \{g\in E_i\mid g_j\cdot g\notin E_i\text{ for some }j\}$ 으로, $E_i$의 "boundary"에 해당된다. (Cayley graph에서는 진짜 boundary가 된다.)

Theorem을 증명하기 전에 여기서 $\lambda_0$는 Riemannian manifold위에 laplace-beltrami operator $\Delta$의 bottom eigenvalue에 해당된다. 이러한 $\lambda_0$ 값이 다음의 값과 같다고 알려져 있다:

$$\lambda_0(M) = \inf_f{\int_M\parallel df\parallel^2\over\int_M\parallel f\parallel^2}$$

여기서 $f$는 compactly supported smooth function on $M$을 말한다.

이제 이 두 사실을 이용해서 다음을 증명한다:

Proof. 일단 $M_1$의 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 finite sided fundamental domain $F$를 고른다. 그리고 $g_1,\ldots,g_k$를 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 generator들로 잡는데, 두개의 $F$의 copy들이 $\partial F$에서 겹치도록 $M_1$에서 나타나면 $g_i$의 원소들 중 하나가 하나의 $F$에서 다른 하나의 $F$로 옮기는 성질을 갖도록 한다. (이렇게 설명하니까 괜히 복잡한데, 쉽게 hyperbolic manifold의 세팅에서는 $F$는 Dirichlet domain들에 해당되고, $g_i$들은 그 domain을 형성할 때 사용되는 generator라고 생각하면 편하다.)

이제, $M_1$의 compactly supported smooth function $f$를 잡고, $\mathrm{supp}(f)$를 $F$로 lift를 시키자. 그리고 $\epsilon>0$을 충분히 작게 잡아서, 모든 $x\in\mathrm{supp}(f)$의 $\epsilon$-ball은 최대 $\partial F$의 component를 한번만 만나도록 한다. 그러면 이러한 가정에 의해서, 만약 $F_i = \bigcup_{g\in E_i}gF$ 라고 한다면,

$$x_i^\epsilon = \begin{cases} 1 & \text{if }\mathrm{dist}(x,\partial F_i)>\epsilon,\\ {1\over\epsilon}\mathrm{dist}(x,\partial F_i) & \text{o.w.} \end{cases}$$

는 잘 정의된 smooth function이 된다. 이제 $f$를 $M_2$로 lift를 하면, $f_i = x_i^\epsilon\cdot f$는 $M_2$의 compactly supported smooth function이 된다. 이제

$${\int_{M_2}\parallel df_i\parallel^2\over\int_{M_2}\parallel f_i\parallel^2}$$

를 계산하는데, 값을 구해보면, 만약 $A_i = \#(E_i), B_i = \#(\partial E_i),C_i = A_i - B_i = \#(E_i-\partial E_i)$라고 한다면, 분모는 $\geq C_i\int_{M_1}|f|^2$이고, 분자는 Schwartz inequality에 의해서

$$\leq{1\over\epsilon^2} B_i\int_{M_1}|f|^2+C_i\int_{M_1}\parallel df\parallel^2+{1\over\epsilon}B_i\left(\int_{M_1}|f|^2\right)^{1/2}\left(\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\right)^{1/2}$$

가 된다. 따라서 계산하려는 식은 다음의 값으로 bound가 된다:

$$\leq {\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon}\left({\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}\right)^{1/2}$$

가 된다. $E_i$의 성질에 의해서, $B_i/C_i\to 0$가 되고, 따라서 첫번째 텀 말고는 전부 죽는다. 따라서 $i\to\infty$로 해서 $E_i$가 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$가 되도록 하면, $f_i$는 $f$로 수렴하고, 따라서

$$\lambda_0(M_2)\leq\lambda_0(M_1)$$

이 성립한다. $\geq$는 항상 성립한다고 알려져 있으므로* $\lambda_0(M_1) = \lambda_0(M_2)$가 된다. $\square$

*는 임의의 complete Riemannian manifold의 $\lambda_0$를 positive $\lambda_0$-harmonic function으로 represent될 수 있고, 임의의 positive $\lambda$-harmonic function은 항상 $\lambda_0\geq\lambda$가 된다는 성질로부터 나온다.