[약팔이 칼럼] 이차함수 공통접선 얘기나온김에
게시글 주소: https://orbi.kr/00068688491
작성자는 수학과가 아닙니다
증명에 야매가 많으니 거르실 분들은 걸러주세요
단, 확실한 오류가 아닌 하에 태클 걸지 마시길 바랍니다
글: https://orbi.kr/00068687892
모든 포물선->이차함수는 닮음입니다
y=x²와 y=4x²이 x좌표 2배 축소관계일 뿐만 아니라
아예 도형 통째로 1/4배 줄인 거기도 해요
이의 이해는 대충 이런 방향성으로 가시면 될것같습니다
1.
미적분 선택자분들은
이계도함수가 존재하는 함수 f(x)에 대해
f''(a)=0을 만족하는 점 (a, f(a))가
f(x)의 변곡점임을 알 수 있으실 텐데,
이계도함수라는 게 도함수의 도함수니까
변곡점의 언어 구성을 차용하면
대충 굽는 정도를 나타내는 느낌이거든요
이차함수는 이계도함수가 상수니
모든 이차함수의 굽는 정도가 비례하므로
닮음이라고 생각하셔도 괜찮지않을까싶습니다
2.
기하 선택자분들은
초점과 포물선 위 점 길이 n배로 늘려보시면서
비교적 간단하게 확인가능하실겁니다
닮음을 확인할 때
정점을 기준으로
거리비가 모두 비례하는 도형을 찾으면 닮음이니
초점을 고정으로 판단하시면
거의 대놓고 나오지않을까싶습니다
3.
물2 선택자분들도
던질 때 각도를 고정하고 힘 세기만 조절해보시면
역시 확인가능하실것같습니다
4.
못 믿으시겠으면 just 이차함수로
깡계산하셔도 됩니다
화두가 된 공통접선 얘기로 돌아가보면,
최고차항의 계수가 2와 -1인 이차함수의
공통접선 유무를 따져야 하는데,
모든 이차함수는 닮음이므로,
각 함수 위의, 서로 대응하는 모든 점들 사이의 거리를
1:2로 내분하는 점이 존재할 겁니다
닮음이니까,
내분점을 지나고 둘 중 하나의 함수에 접하면
당연히 다른 쪽도 접할 겁니다
이차함수 외부 점에서 그을 수 있는 접선 개수는 2개니까,
두 함수끼리 접하지 않는 이상 항상 2개가 나옵니다
+)
굳이 닮음 안 쓰셔도
제가 저기 댓글에 제시드린 내용 이용하면
특수케이스로 x축에 접하는 상황에서
접선 하나 더 그리신 다음
두개 동시에 접하는
이차함수 계산하셔서 확인하시면 됩니다
차피 저기에다 직선 더해주면(차함수)
일반적인 경우가 되니 상관은 없습니다
물론 저 접선 교점 기준으로
2:1 확대/축소된 쪽으로 찾으셔도 됩니다
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증명에식쓰기싫어서척추회전..
별개로 기하 기출 중에
221128은 저거 쓸 껀덕지가 있드라구요
근데 그것도 아마
담백하게 푸는게 제일 빠를것같긴합니다
어느 질문글인지 잘 안 보이네용
https://orbi.kr/00068687892
증명하라면 그냥 미지수 여러개 들고 와서 깡계산할 거 같은데....역시 미적, 기하 선택자들은 이런 식으로 이해가 가능하군여
깡계산하지말고 y=x², y=(1/2)x² 두시고
원점에서 그은 직선과 이차함수 교점 사이의
거리비율=좌표비율 확인해보셔도됩니다
1, 1/2인 경우 말고 임의의 실수 a,b로 정해서 일반성을 가지고 성립한다는 쪽으로 증명해야겠구나라고 생각해서...글쿤요
사실 그렇게 해도 직선 y=mx에 대해
원점세팅하면 교점 ax=m, bx=m 해서
m/a, m/b 나올거라 바로될것같긴합니다
물2 선택자분들도 던질 때 각도를 고정하고 힘 세기만 조절해보시면 역시 확인가능하실것같습니다.<<< 물2선택했지만멸치라 힘이 약해서 힘조절이 안되서 광광울었어...
이게실험인가..갑종배당이자소득세(-x) 닮음.
이건대칭..