Convergence of the limit set

Proposition. Let $\Gamma_i$ be a sequence of isomorphic quasi-Fuchisan groups which converge geometrically to a group $\Gamma_G$. (In modern terms, $\Gamma_i$ is an element of $AH(\pi_1(S))$ for some surface $S$) Suppose that there is a $\delta>0$ such that the limit set $\Lambda(\Gamma_i)$ is not contained in a disk of radius $\delta$ on $S^2$. Then $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology of $\hat{\Bbb C}$.

여기서 $\Gamma_i$들이 서로서로 isomorphic하다는 것을 빼면 반례가 존재하는데, Kleinian group의 residual finiteness에 의해서, 임의의 Kleinian group $\Gamma_0$가 있으면, $\Gamma_0>\Gamma_1>\Gamma_2\cdots$ 가 되는 sequence of finite indexed subgroup 이 존재하고, 이 sequence의 geometric limit은 trivial group이 된다.

만약 quasi-Fuchsian group들 $\Gamma_i$가 algebraically convergent 하면, limit group도 non-elementary하기 때문에, 가정인 $\Lambda(\Gamma_i)$가 어떤 $\delta$-disk in $S^2$에 들어가지 않는다는 가정을 만족한다. 따라서, algebrically convergent하는 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$들에 대해서, $\Gamma_i\to G$가 geometrically convergent 하다면, $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma)$ in Hausdorff topology가 된다.

Proof of proposition. 증명에 아주 crucial하게 적용되는 내용이 있는데 그걸 먼저 서술하겠다.

$$K_{\Gamma} = \{x\in\Bbb H^3\mid d(x,\gamma x)<K,\text{ for some nontrivial }\gamma\in\Gamma\}$$

여기서 $d$는 hyperbolic metric이라고 한다면, 어떤 constant $K$가 존재해서, 모든 quasi-Fuchsian groups isomorphic to $\Gamma$에 대해서, convex hull of the limit set $H_{\Gamma}$ (Nielsen convex region 이라고도 한다) 는 항상 $K_{\Gamma}$에 들어가 있다. 다시 말해서, convex core $H_{\Gamma}/\Gamma$는 embedded hyperbolic ball of radius $>K$를 갖지 않는다는 것. (In particular, 만약 주어진 sequence가 있을 때 (quasi-Fuchsian이 아니어도 됨), 그 sequence의 convex core의 injectivity radius에 uniform upper bound가 존재한다면, 우리는 이 증명을 그 sequence에 그대로 적용할 수 있다.)

$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 주어진 quasi-Fuchsian group과 isomorphic한 $\Gamma$를 적당히 conjugate을 해서, $H_{\Gamma}$가 $\Bbb H^3$의 origin을 포함하도록 설정한다. 그러면, 임의의 $x\in\Lambda(\Gamma)$에 대해서, 어떤 $y\in H_{\Gamma}$가 있어서, $d_E(x,y)<\epsilon$이 되도록 고를 수 있다. 여기서 $d_E$는 $\Bbb H^3\cup S^2$ 에서의 Euclidean metric을 의미한다. 그러면, $H_{\Gamma}\subset K_{\Gamma}$에 의해서, $\epsilon$을 필요하다면 더 작게 잡아서, 어떤 nontrivial element $\gamma\in\Gamma$가 존재해서, $d(y,\gamma y)<K$가 되고, 따라서 $d_E(x,\gamma y)<\epsilon$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그 이유는 Euclidean metric과 hyperbolic metric의 차이에 의해서 나타난다. 만약 $y$가 충분히 $S^2$에 가까이 가면, hyperbolic metric의 움직임은 Euclidean metric의 관점에서는 움직임이 거의 없기 때문. 더 중요한 것은, 우리는 저러한 $\gamma$의 norm을 그냥 Lie group norm $\mathrm{PSL}_2\Bbb C\subset\Bbb C^4$에서 주어진 $\epsilon$에 대해서 bound를 할 수 있다. 그 이유는, $y$에서 원점 $O$와의 hyperbolic distance는 bounded 되어 있고 origin이 $\gamma$에 의해서 움직이는 것은, $y$가 $\gamma$에 의해서 움직이는 것과 $y$와 $O$사이의 거리에 대한 연속 함수로 표현할 수 있기 때문이다. 원점 $O$가 움직이는 거리를 bound시키는 것은 $\gamma$의 norm을 bound 시키는데, 그 이유는 $O$의 isotropy subgroup은 compact이기 때문.

저러한 estimate은 처음 $K_\Gamma$의 성질만 썼기 때문에, 모든 $\Gamma$와 isomorphic한 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$ s.t. $O\in H_{\Gamma_i}$에 대해서 성립한다. $\Lambda_{\Gamma_i}$ 들이 $\delta$-disk 안에 포함되어있지 않는다는 가정에 의해서, 우리는 $O\in H_{\Gamma_i}$의 estimate의 가정을 만족시키기 위해 conjugate하는 element들의 norm이 uniformly bounded 되어 있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 주어진 $\Gamma_i$ sequence에 대해서, $O\in H_{\Gamma_i}$를 모든 $i$에 대해서 만족 시키면서, 위의 estimate이 $\Gamma_i$ 들에게 uniform하게 적용된다고 가정할 수 있다.

Fix된 $\epsilon>0$에 대해서, 만약 $x_j\in\Lambda(\Gamma_{i_j})$가 $x_j\to x$가 된다고 한다면, $x\in\Lambda(\Gamma)$를 보여야 한다. 이 경우에는 위의 uniform estimate에 의해서, $\{y_j\}\in H_{\Gamma_{i_j}}$, $\{\gamma_j\}\in\Gamma_{i_j}$가 존재해서 $d_E(x_j,y_j)<\epsilon, d_E(x_j,\gamma_jy_j)<\epsilon$ such that $\gamma_j$의 norm이 bounded 되는 것을 가정할 수 있다. $\gamma_j$들의 norm이 bounded 되어 있기 때문에, $\gamma_j$는 어떤 nontrivial element $\gamma$로 convergent 하는 subsequence를 잡을 수 있다. Geometric convergence의 정의에 의해서, $\gamma\in\Gamma$다. 만약 $y$가 $y_j$의 accumulation point라고 하면, $d_E(x,y)\leq\epsilon, d_E(x,\gamma y)\leq\epsilon$이 되고, $\epsilon$은 arbitrary했기 때문에 $\Gamma$는 $x$에서 discontinuous action을 주지 않는다. 따라서 $x\in\Lambda(\Gamma)$.

만약 $x\in\Lambda(\Gamma)$라면 우리는 $x$로 converge하는 sequence $\{x_i\}\in\Lambda(\Gamma_i)$를 찾아야 한다. Kleinian group의 element들의 fixed point들의 limit set에서의 density에 의해서, $\gamma_j\in\Gamma$가 존재해서, $\gamma_j$의 fixed point $x_j$가 $x$로 convergent 하게 할 수 있다. 근데 $\Gamma$는 $\Gamma_i$의 geometric limit이기 때문에 각각의 fixed $j$에 대해서, $\gamma_j$로 converge 하는 $\{\gamma_{j_i}\in\Gamma_i$가 존재한다. 각각의 fixed된 $j$에 대해서, $\gamma_{j_i}$의 fixed point $x_{j_i}$가 $x_j$와 떨어진 거리가 $\leq 1/j$ for all large $j>I_j$를 잡을 수 있다. $I_j>I_{j-1}$이 되도록 설정을 하면, $\{x_i\} = \{x_{j_i}\}$, $I_{j+1}\leq i\leq I_j$ 가 원하는 sequence가 된다. $\square$

Rmk. 가정에서의 $\delta$-disk 가정도 중요하지만 그 보다 주어진 sequence의 injectivity radius의 uniform upper bound가 더 중요하다. 그리고 증명에 나온 element들의 norm의 boundedness를 이용해서 uniform estimate을 이용하는 논증은 중요한 정리들을 증명하는데 꽤나 많이 나오는 논증법이다. (e.g. Mumford compactedness theorem)