Convergence of the limit set
게시글 주소: https://orbi.kr/00068668056
Proposition. Let $\Gamma_i$ be a sequence of isomorphic quasi-Fuchisan groups which converge geometrically to a group $\Gamma_G$. (In modern terms, $\Gamma_i$ is an element of $AH(\pi_1(S))$ for some surface $S$) Suppose that there is a $\delta>0$ such that the limit set $\Lambda(\Gamma_i)$ is not contained in a disk of radius $\delta$ on $S^2$. Then $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology of $\hat{\Bbb C}$.
여기서 $\Gamma_i$들이 서로서로 isomorphic하다는 것을 빼면 반례가 존재하는데, Kleinian group의 residual finiteness에 의해서, 임의의 Kleinian group $\Gamma_0$가 있으면, $\Gamma_0>\Gamma_1>\Gamma_2\cdots$ 가 되는 sequence of finite indexed subgroup 이 존재하고, 이 sequence의 geometric limit은 trivial group이 된다.
만약 quasi-Fuchsian group들 $\Gamma_i$가 algebraically convergent 하면, limit group도 non-elementary하기 때문에, 가정인 $\Lambda(\Gamma_i)$가 어떤 $\delta$-disk in $S^2$에 들어가지 않는다는 가정을 만족한다. 따라서, algebrically convergent하는 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$들에 대해서, $\Gamma_i\to G$가 geometrically convergent 하다면, $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma)$ in Hausdorff topology가 된다.
Proof of proposition. 증명에 아주 crucial하게 적용되는 내용이 있는데 그걸 먼저 서술하겠다.
$$K_{\Gamma} = \{x\in\Bbb H^3\mid d(x,\gamma x)<K,\text{ for some nontrivial }\gamma\in\Gamma\}$$
여기서 $d$는 hyperbolic metric이라고 한다면, 어떤 constant $K$가 존재해서, 모든 quasi-Fuchsian groups isomorphic to $\Gamma$에 대해서, convex hull of the limit set $H_{\Gamma}$ (Nielsen convex region 이라고도 한다) 는 항상 $K_{\Gamma}$에 들어가 있다. 다시 말해서, convex core $H_{\Gamma}/\Gamma$는 embedded hyperbolic ball of radius $>K$를 갖지 않는다는 것. (In particular, 만약 주어진 sequence가 있을 때 (quasi-Fuchsian이 아니어도 됨), 그 sequence의 convex core의 injectivity radius에 uniform upper bound가 존재한다면, 우리는 이 증명을 그 sequence에 그대로 적용할 수 있다.)
$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 주어진 quasi-Fuchsian group과 isomorphic한 $\Gamma$를 적당히 conjugate을 해서, $H_{\Gamma}$가 $\Bbb H^3$의 origin을 포함하도록 설정한다. 그러면, 임의의 $x\in\Lambda(\Gamma)$에 대해서, 어떤 $y\in H_{\Gamma}$가 있어서, $d_E(x,y)<\epsilon$이 되도록 고를 수 있다. 여기서 $d_E$는 $\Bbb H^3\cup S^2$ 에서의 Euclidean metric을 의미한다. 그러면, $H_{\Gamma}\subset K_{\Gamma}$에 의해서, $\epsilon$을 필요하다면 더 작게 잡아서, 어떤 nontrivial element $\gamma\in\Gamma$가 존재해서, $d(y,\gamma y)<K$가 되고, 따라서 $d_E(x,\gamma y)<\epsilon$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그 이유는 Euclidean metric과 hyperbolic metric의 차이에 의해서 나타난다. 만약 $y$가 충분히 $S^2$에 가까이 가면, hyperbolic metric의 움직임은 Euclidean metric의 관점에서는 움직임이 거의 없기 때문. 더 중요한 것은, 우리는 저러한 $\gamma$의 norm을 그냥 Lie group norm $\mathrm{PSL}_2\Bbb C\subset\Bbb C^4$에서 주어진 $\epsilon$에 대해서 bound를 할 수 있다. 그 이유는, $y$에서 원점 $O$와의 hyperbolic distance는 bounded 되어 있고 origin이 $\gamma$에 의해서 움직이는 것은, $y$가 $\gamma$에 의해서 움직이는 것과 $y$와 $O$사이의 거리에 대한 연속 함수로 표현할 수 있기 때문이다. 원점 $O$가 움직이는 거리를 bound시키는 것은 $\gamma$의 norm을 bound 시키는데, 그 이유는 $O$의 isotropy subgroup은 compact이기 때문.
저러한 estimate은 처음 $K_\Gamma$의 성질만 썼기 때문에, 모든 $\Gamma$와 isomorphic한 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$ s.t. $O\in H_{\Gamma_i}$에 대해서 성립한다. $\Lambda_{\Gamma_i}$ 들이 $\delta$-disk 안에 포함되어있지 않는다는 가정에 의해서, 우리는 $O\in H_{\Gamma_i}$의 estimate의 가정을 만족시키기 위해 conjugate하는 element들의 norm이 uniformly bounded 되어 있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 주어진 $\Gamma_i$ sequence에 대해서, $O\in H_{\Gamma_i}$를 모든 $i$에 대해서 만족 시키면서, 위의 estimate이 $\Gamma_i$ 들에게 uniform하게 적용된다고 가정할 수 있다.
Fix된 $\epsilon>0$에 대해서, 만약 $x_j\in\Lambda(\Gamma_{i_j})$가 $x_j\to x$가 된다고 한다면, $x\in\Lambda(\Gamma)$를 보여야 한다. 이 경우에는 위의 uniform estimate에 의해서, $\{y_j\}\in H_{\Gamma_{i_j}}$, $\{\gamma_j\}\in\Gamma_{i_j}$가 존재해서 $d_E(x_j,y_j)<\epsilon, d_E(x_j,\gamma_jy_j)<\epsilon$ such that $\gamma_j$의 norm이 bounded 되는 것을 가정할 수 있다. $\gamma_j$들의 norm이 bounded 되어 있기 때문에, $\gamma_j$는 어떤 nontrivial element $\gamma$로 convergent 하는 subsequence를 잡을 수 있다. Geometric convergence의 정의에 의해서, $\gamma\in\Gamma$다. 만약 $y$가 $y_j$의 accumulation point라고 하면, $d_E(x,y)\leq\epsilon, d_E(x,\gamma y)\leq\epsilon$이 되고, $\epsilon$은 arbitrary했기 때문에 $\Gamma$는 $x$에서 discontinuous action을 주지 않는다. 따라서 $x\in\Lambda(\Gamma)$.
만약 $x\in\Lambda(\Gamma)$라면 우리는 $x$로 converge하는 sequence $\{x_i\}\in\Lambda(\Gamma_i)$를 찾아야 한다. Kleinian group의 element들의 fixed point들의 limit set에서의 density에 의해서, $\gamma_j\in\Gamma$가 존재해서, $\gamma_j$의 fixed point $x_j$가 $x$로 convergent 하게 할 수 있다. 근데 $\Gamma$는 $\Gamma_i$의 geometric limit이기 때문에 각각의 fixed $j$에 대해서, $\gamma_j$로 converge 하는 $\{\gamma_{j_i}\in\Gamma_i$가 존재한다. 각각의 fixed된 $j$에 대해서, $\gamma_{j_i}$의 fixed point $x_{j_i}$가 $x_j$와 떨어진 거리가 $\leq 1/j$ for all large $j>I_j$를 잡을 수 있다. $I_j>I_{j-1}$이 되도록 설정을 하면, $\{x_i\} = \{x_{j_i}\}$, $I_{j+1}\leq i\leq I_j$ 가 원하는 sequence가 된다. $\square$
Rmk. 가정에서의 $\delta$-disk 가정도 중요하지만 그 보다 주어진 sequence의 injectivity radius의 uniform upper bound가 더 중요하다. 그리고 증명에 나온 element들의 norm의 boundedness를 이용해서 uniform estimate을 이용하는 논증은 중요한 정리들을 증명하는데 꽤나 많이 나오는 논증법이다. (e.g. Mumford compactedness theorem)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
똥싸는중 6
으어 시원하노
-
언미영물지 22년 9평에서 22년 수능에서 국수백분위 100 100 찍고 카의...
-
오르비 친구들 지금 올림픽중인건 알죠??
-
고수가될래
-
100일 안에 되려나
-
어디쯤가요?
-
과목 옆에는 작수랑 목표등급입니다 월은 대강 구분해놓으려고 써놨어요 어떤가요 실수분들 조언좀 ㅊㅊ
-
https://youtu.be/VhC1NPQyivA?si=GmCqwlZPj-AVRnX...
-
근데 나이도 있어서 회광반조 아니냐는 말은 계속 나올거고 그때마다 증명을...
-
반수한다고 조교 그만두고 다시 학원 다니게 됬는데 패션도 바뀌고 피곤해서 힘들어...
-
남적도 해류는 북반구에서 나타난다. (O / X)
-
답지를 안보고 풀어내고 싶어서 한문제에 한시간씩 걸리는데 고쳐야 할까요.. 진도가...
-
러브딜리버리라는 게임 같은데 금욜날 봐야겠군요
-
미친기분 완성편 끝났는데 교사경 포함해서 115문제라 뭔가 부족한 느낌이 드는데...
-
드릴은 거의 다해가는데 24드릴 수1 드릴드 수2 미적 드릴 3 4 드릴드 이 정도...
-
기다리는중
-
얼버퇴!! 0
너무 덥네요..
-
담원에게 지지는 않을거지? 진짜 너무 아쉽네......
-
궁금하네
-
ㅈㄱㄴ
-
칰성빈 음~ 7
너무마음에드는데 어쩌지
-
의평ㅋㅋ 2
원
-
뭐했다고
-
달러화의 평가절하, 타국 화폐(이 말은 금은 불포함?)의 평가 절상 이 모두...
-
큰일이네요
-
개념형 문제 2개, 함정형/실험적 문제 2개, 준킬러 1개, 킬러 1개로 구성된...
-
만드는건 재밌는데 꼭 재밌게 만든 문제는 해설이 길어진단말이야..
-
Day에 모르는 문제 1, 2개 정도인데 이상하게 푸는 문제가 많음... 깔끔하게...
-
가형기출분석일기 4
점심먹고 국어 계속 조지다가 80분정도 17수능 18 6평 9평킬러분석을 하고 왔다...
-
의대 합격하고 0
입학 취소되면 고소해서 사수 재종비 1년치 보상받아서 시대인재를 가고 싶다
-
수강평 이것저것 찾아보는데 이게 사람이 100번 잘하다가 1번 못하면 나쁜놈 되듯,...
-
시냅스 띰 하나 푸는데 3시간 반을 태웠네 순서쌍구하는거에서 정신 나가버렸음
-
제가 어렵고 안풀리는 문제를 포기못하고 계속 끈질기게 여러 방법 시도하는 경향이...
-
다녀보신분이나 다니시는분 ,, 이번주에 들어가는데 질문 몇개만 받아주세욤 ㅠㅡㅠ
-
안녕하세요:) 저는 올해 스물셋인 인문계열(언매 확통 사탐2) 수험생입니다. 올...
-
수험생 좋아하면 5
저는 학원 조교고 그분은 N수생이고요.. 동갑이고요... 너무 맘에 드는데요......
-
난 왜이러지..
-
전공의 수련 안 하면 개원 못 한다?…'개원면허제' 도입 검토(종합) 7
상급종합병원은 '중환자 중심' 개편…"향후 10년, 의료개혁 마지막 '골든타임'"...
-
약 먹을 각오하고 갔는데 저는 바르는 거로 충분하대요 굿 ㅋㅋ
-
딮기딮기야...
-
회사생활, 학교생활, 취업, 진로등 다 괜찮습니다~ ㅎㅎ
-
50만 변별문제
-
이 문제에서 ㄴ 번에 1/4 등호가 성립하는 이유가 이해가 안 되는데 도와주십쇼.....
-
문학 언매만 제발...
-
감점 0
200만점에 190이면 큰타격인가요?
-
배는 고픈데 2
장염때문에 하루반 굶음 배고프다..
-
흠
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.