Convergence of the limit set
게시글 주소: https://orbi.kr/00068668056
Proposition. Let $\Gamma_i$ be a sequence of isomorphic quasi-Fuchisan groups which converge geometrically to a group $\Gamma_G$. (In modern terms, $\Gamma_i$ is an element of $AH(\pi_1(S))$ for some surface $S$) Suppose that there is a $\delta>0$ such that the limit set $\Lambda(\Gamma_i)$ is not contained in a disk of radius $\delta$ on $S^2$. Then $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology of $\hat{\Bbb C}$.
여기서 $\Gamma_i$들이 서로서로 isomorphic하다는 것을 빼면 반례가 존재하는데, Kleinian group의 residual finiteness에 의해서, 임의의 Kleinian group $\Gamma_0$가 있으면, $\Gamma_0>\Gamma_1>\Gamma_2\cdots$ 가 되는 sequence of finite indexed subgroup 이 존재하고, 이 sequence의 geometric limit은 trivial group이 된다.
만약 quasi-Fuchsian group들 $\Gamma_i$가 algebraically convergent 하면, limit group도 non-elementary하기 때문에, 가정인 $\Lambda(\Gamma_i)$가 어떤 $\delta$-disk in $S^2$에 들어가지 않는다는 가정을 만족한다. 따라서, algebrically convergent하는 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$들에 대해서, $\Gamma_i\to G$가 geometrically convergent 하다면, $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma)$ in Hausdorff topology가 된다.
Proof of proposition. 증명에 아주 crucial하게 적용되는 내용이 있는데 그걸 먼저 서술하겠다.
$$K_{\Gamma} = \{x\in\Bbb H^3\mid d(x,\gamma x)<K,\text{ for some nontrivial }\gamma\in\Gamma\}$$
여기서 $d$는 hyperbolic metric이라고 한다면, 어떤 constant $K$가 존재해서, 모든 quasi-Fuchsian groups isomorphic to $\Gamma$에 대해서, convex hull of the limit set $H_{\Gamma}$ (Nielsen convex region 이라고도 한다) 는 항상 $K_{\Gamma}$에 들어가 있다. 다시 말해서, convex core $H_{\Gamma}/\Gamma$는 embedded hyperbolic ball of radius $>K$를 갖지 않는다는 것. (In particular, 만약 주어진 sequence가 있을 때 (quasi-Fuchsian이 아니어도 됨), 그 sequence의 convex core의 injectivity radius에 uniform upper bound가 존재한다면, 우리는 이 증명을 그 sequence에 그대로 적용할 수 있다.)
$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 주어진 quasi-Fuchsian group과 isomorphic한 $\Gamma$를 적당히 conjugate을 해서, $H_{\Gamma}$가 $\Bbb H^3$의 origin을 포함하도록 설정한다. 그러면, 임의의 $x\in\Lambda(\Gamma)$에 대해서, 어떤 $y\in H_{\Gamma}$가 있어서, $d_E(x,y)<\epsilon$이 되도록 고를 수 있다. 여기서 $d_E$는 $\Bbb H^3\cup S^2$ 에서의 Euclidean metric을 의미한다. 그러면, $H_{\Gamma}\subset K_{\Gamma}$에 의해서, $\epsilon$을 필요하다면 더 작게 잡아서, 어떤 nontrivial element $\gamma\in\Gamma$가 존재해서, $d(y,\gamma y)<K$가 되고, 따라서 $d_E(x,\gamma y)<\epsilon$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그 이유는 Euclidean metric과 hyperbolic metric의 차이에 의해서 나타난다. 만약 $y$가 충분히 $S^2$에 가까이 가면, hyperbolic metric의 움직임은 Euclidean metric의 관점에서는 움직임이 거의 없기 때문. 더 중요한 것은, 우리는 저러한 $\gamma$의 norm을 그냥 Lie group norm $\mathrm{PSL}_2\Bbb C\subset\Bbb C^4$에서 주어진 $\epsilon$에 대해서 bound를 할 수 있다. 그 이유는, $y$에서 원점 $O$와의 hyperbolic distance는 bounded 되어 있고 origin이 $\gamma$에 의해서 움직이는 것은, $y$가 $\gamma$에 의해서 움직이는 것과 $y$와 $O$사이의 거리에 대한 연속 함수로 표현할 수 있기 때문이다. 원점 $O$가 움직이는 거리를 bound시키는 것은 $\gamma$의 norm을 bound 시키는데, 그 이유는 $O$의 isotropy subgroup은 compact이기 때문.
저러한 estimate은 처음 $K_\Gamma$의 성질만 썼기 때문에, 모든 $\Gamma$와 isomorphic한 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$ s.t. $O\in H_{\Gamma_i}$에 대해서 성립한다. $\Lambda_{\Gamma_i}$ 들이 $\delta$-disk 안에 포함되어있지 않는다는 가정에 의해서, 우리는 $O\in H_{\Gamma_i}$의 estimate의 가정을 만족시키기 위해 conjugate하는 element들의 norm이 uniformly bounded 되어 있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 주어진 $\Gamma_i$ sequence에 대해서, $O\in H_{\Gamma_i}$를 모든 $i$에 대해서 만족 시키면서, 위의 estimate이 $\Gamma_i$ 들에게 uniform하게 적용된다고 가정할 수 있다.
Fix된 $\epsilon>0$에 대해서, 만약 $x_j\in\Lambda(\Gamma_{i_j})$가 $x_j\to x$가 된다고 한다면, $x\in\Lambda(\Gamma)$를 보여야 한다. 이 경우에는 위의 uniform estimate에 의해서, $\{y_j\}\in H_{\Gamma_{i_j}}$, $\{\gamma_j\}\in\Gamma_{i_j}$가 존재해서 $d_E(x_j,y_j)<\epsilon, d_E(x_j,\gamma_jy_j)<\epsilon$ such that $\gamma_j$의 norm이 bounded 되는 것을 가정할 수 있다. $\gamma_j$들의 norm이 bounded 되어 있기 때문에, $\gamma_j$는 어떤 nontrivial element $\gamma$로 convergent 하는 subsequence를 잡을 수 있다. Geometric convergence의 정의에 의해서, $\gamma\in\Gamma$다. 만약 $y$가 $y_j$의 accumulation point라고 하면, $d_E(x,y)\leq\epsilon, d_E(x,\gamma y)\leq\epsilon$이 되고, $\epsilon$은 arbitrary했기 때문에 $\Gamma$는 $x$에서 discontinuous action을 주지 않는다. 따라서 $x\in\Lambda(\Gamma)$.
만약 $x\in\Lambda(\Gamma)$라면 우리는 $x$로 converge하는 sequence $\{x_i\}\in\Lambda(\Gamma_i)$를 찾아야 한다. Kleinian group의 element들의 fixed point들의 limit set에서의 density에 의해서, $\gamma_j\in\Gamma$가 존재해서, $\gamma_j$의 fixed point $x_j$가 $x$로 convergent 하게 할 수 있다. 근데 $\Gamma$는 $\Gamma_i$의 geometric limit이기 때문에 각각의 fixed $j$에 대해서, $\gamma_j$로 converge 하는 $\{\gamma_{j_i}\in\Gamma_i$가 존재한다. 각각의 fixed된 $j$에 대해서, $\gamma_{j_i}$의 fixed point $x_{j_i}$가 $x_j$와 떨어진 거리가 $\leq 1/j$ for all large $j>I_j$를 잡을 수 있다. $I_j>I_{j-1}$이 되도록 설정을 하면, $\{x_i\} = \{x_{j_i}\}$, $I_{j+1}\leq i\leq I_j$ 가 원하는 sequence가 된다. $\square$
Rmk. 가정에서의 $\delta$-disk 가정도 중요하지만 그 보다 주어진 sequence의 injectivity radius의 uniform upper bound가 더 중요하다. 그리고 증명에 나온 element들의 norm의 boundedness를 이용해서 uniform estimate을 이용하는 논증은 중요한 정리들을 증명하는데 꽤나 많이 나오는 논증법이다. (e.g. Mumford compactedness theorem)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
의대 입학 취소가 말이 돼냐?? 수험생 집단이 무서운줄 모르고. 17
근데 왜 수험생 집단이죠..? 의대 함격 취소되는 분들는 의대를 안, 못간 수험생...
-
만약에 올해 의대 아예 안 뽑거나 1500명만 뽑으면 4
내년에 다시 3000으로 돌아가나여?? 아님 내년부턴 정상 4500?
-
결국 기본이 중요하고 그 것을 바탕으로 문제 풀이를 전개해 나가야한다.문풀을 안하면...
-
제가 느끼기에 미적은 28빼고 쉬웠는데, 공통은 ㄹㅇ골고루 묵직하지 않았나여.....
-
허버허버!!
-
3 2 2 1 1 화작 기하 경제 사문
-
과기대정도면 2
건동홍~광명상가 사이정도 되나요? 과기대가 최근에 만들어져서 라인 이름에 안들어가는거로 아는데
-
자유아닐까
-
(선착순) 빈칸 맨날 틀리는 사람? 강원우T 매시브 교재연구개발팀이 작정하고 만든 [CONSTELAR 모의고사] 무료 배포 152
안녕하세요, 강원우 연구실입니다. 지난번 온라인에는 아주 오랜만에! 고퀄리티 자료와...
-
심심한데 4
어디 귀여운 오르비언 없나
-
아...
-
조퇴했음 6
감기인지 코로나인지 ㅈㄴ 많아서 소리 신경쓰이는데 마스크도 안 써서 나도 걸릴까 봐 그냥 조퇴 결정
-
이거
-
확실한 1등급 만들고 싶은데 혹시 인강이나 문제집 추천해주실거 있나요 현재 대성패스만 있습니다
-
교육부 ‘증원 의대’ 평가 강화하려는 의평원 제동…"보완 지침" 예고도 1
[이데일리 신하영 기자] 한국의학교육평가원(의평원)이 정원 증원된 의대 30곳에...
-
반수러 비문학 읽는 속도 개느려짐 와 어느 정도 걸려야 폼 좀 찾으려나
-
3달 쓰다가 5만원에 팔았는데 너무 싸게 판건가요 괜찮게 판거가튼데..
-
알파테크닉 3
어느 정도 실력은 돼야 안 나가떨어지고 잘 따라갈 수 있을까요 수강 후기 보니까 3...
-
극한 직관 10
(-1,1)을 지나는 직선 l이 OP를 밑변으로 하는 직각삼각형 넓이를...
-
그냥 그랬구나 하면 안되나
-
ㅈㄱㄴ
-
야바이... 생각보다 챙겨야 할것도 많고 돌발상황도 꽤 있고, 생각외로...
-
3월에 복귀한다는 뉴스 뜨니까 온갖 기싸움 조롱으로 가득했는데 나같아도 복귀 안함...
-
분량 어느정도인가요? 매일 진행해도 다른과목에 지장 안갈정도인가요,
-
진짜 문학 ㅈ됨 1
문학화작 왜이리 틀리지… 예전엔 비문학만 하면 막 점수 잘나올거 같았는데 문학이 ㄹㅇ 발목잡음;;
-
영어 반영비율 2
정시 반영비율 학교마다 다르겠지만 2랑 3이랑 비슷한가요?
-
하반기 모집 거부한 전공의들 "복귀하느니 대기업·제약사 간다" 5
유화책으로 제시한 '수련 특례'에 "아무 도움 안돼…의료 질만 하락" 의대증원...
-
한동안 오르비 끊었다가 다시 들어와봤는데 의평원으로 도배가 돼있어서 좀 찾아봤더니...
-
1회차 빼고는 그냥 다 50 50 50 50임
-
재종 조교하는데 컨설턴트 쌤이 인원 늘린 지방의 인증이나 모집 인원 갑자기 확...
-
인기과 넣어서 인생역전 ㅆㄱㄴ한거아님..?
-
강남 자사고 다니는 1학년이고 내신은 4.6정돈이고 아버지가 소방공무원으로...
-
뭐부터 푸는 게 좋을까요??
-
처음에 1학년 때 뭐 고교학점제니 뭐니 하길래 그냥 진로분야랑 맞아보이는 과목...
-
피코님 5
https://www.youtube.com/@%EC%86%8C%EB%93%9C_THO...
-
사설급 (킬캠,강대급) 으로 하나 넣으면 어떻게될까 궁금하다
-
괜찮은 앱이나 프로그램 사이트 있나요? 수능때까지 진행할거 요렇게 만들고싶음
-
무지성 계산을 하자니 시간도 없고 머리깨지겠고 전류 방향을 찍자니 생명이 된...
-
21번은 오히려 6월 9월이 수능때보다 어려운 경우가 많음 4
반박안받음
-
지2와 함께라면 당신도 표점 80점으로 낭낭하게 관악 입성!
-
숫자는 좀 더럽지만 쉬운문제라고 봐도 되죠? 평가원 21번들보단?
-
분해 했다가 다시 조립한다고 생각하면서 문장 접었다 펼쳤다 하면 재밌음.
-
작년 킬캠이랑 히카좀 풀고 왔는데 올해 강x 가 훨씬 어려운 거 같은디 나만 그런가
-
어삼쉬사는 그래도 문제난이도에 따라 맞고 틀리고 하는데 0
준킬러부턴 답 안 보임 걍 자살각
-
다들 어떤식으루 하고계신가요?
-
어케됨? 다 잡혀감?
-
투과목 오시면 해결됩니다 ~ (근데 ㄹㅇ 지금 째는 흑우 없제)
-
지구황들 컴온 3
수렴형 경계에서 베니오프대가 있는 곳에는 해구가 있다고 하잖아요? 그럼 역으로...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.