parallel
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사실 모든 closed oriented 3-manifold가 parallelizable하다는 것은 올해 초에 지인을 통해 알게 됐음. 그 자체로도 흥미로운 사실이지만 사실 나에게는 application이 더 기대되는 결과였음, 다시 말해서 statement 자체는 모티베이션이 없었음. 어느날 임의의 oriented closed 3-manifold M은 항상 S^3의 branched covering이라는 것을 알게 됐는데, 이거 자체로도 나는 모티베이션이 될 정도로 놀라운 사실이었는데 더 놀라웠던 것은 이걸 이용해서 저 parallelizability를 증명하는데 사용할 수 있다는 사실이었음:
먼저 branched covering theorem에 대해서 더 자세히 진술을 하자면:
Thm) Let M be a closed, connected, orientable 3-manifold. Then there is a 3-fold branched covering p: M -> S^3, branched along a simple closed curve in M that bounds an embedded disk whose image under p is a knot in S^3.
Main thm) Every closed oriented 3-manifold is parallelizable, i.e., tangent bundle is trivial.
Why) 주어진 manifold를 M이라고 하고 위에 branched covering theorem으로 부터 나오는 covering map을 p: M -> S^3라고 하면, branching simple closed curve를 bound하는 3-ball D^3가 M를 찾을 수 있음. 그러면 D^3의 complement에서는 p는 그냥 3-fold covering이 됨. S^3는 parallelizable하기 때문에, S^3의 trivialization 하나를 fix한 다음 3-frame을 p로 pullback을 할 수 있음. Pullback된 3-frame은 D^3의 boundary각 점마다 SO(3)의 element를 associate할 수 있음 (이유는 Steifel manifold V_2(R^3) = SO(3)이기 때문). \pi_2(SO(3)) = 0이고, TM|_{D^3}은 trivial하기 때문에 D^3로 3-frame이 D^3까지 extend가 됨.
이러한 oriented closed 3-manifold M 의 parallelizability 때문에, 2-plane field on M의 homotopy class와 homotopy class of map M -> S^2와 일대일 대응이 존재하게 되고 이걸로 2-plane field의 homotopy class를 classify할 수 있음.
branched covering theorem을 말해서 그런데, hyperbolic 3-manifold에서도 Thurston과 Canary의 covering theorem이 있고, 아주아주 중요함. statement 자체도 놀랍고 application들도 무궁무진하기 때문에 다음에는 Canary의 covering theorem에 대해서 자세히 써보겠음 (근데 사실 예전에 한번 가볍게 언급한 적이 있긴 함).
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