수학 22번이 가끔 막힌다면? (Feat. 5모 22번)

Team BLANK 공통 + 미적분 교재링크: https://atom.ac/books/12412/

수학 모의고사를 풀다 가끔 22번이 막히시나요?

이번에는 5월 모의고사 22번을 통해, 22번 킬러를 공략하는 방법을 알려드리려고 합니다.

이번에는 이전의 칼럼들과 다르게, 구조도를 사용해보았습니다.

이제부터, 이 문제의 발문을 쪼개고 결합해서 단서와 방향성을 잡고,

답을 도출하는 과정까지 구조도로 보여드리겠습니다.

여기서 얻어가실 수 있는 결론은, 22년도 이후 22번 킬러문항의 풀이과정에는 공통된 순서가 있다는 것입니다.

STEP 1. 단서 분석

STEP 2. 핵심 사고 파악

STEP 3. 케이스 구분 / 결론 도출

STEP 4. 마지막 계산

대부분의 킬러문제는 이 4가지의 고비를 거쳐 답이 도출됩니다.

그렇다면, 각 스텝 별 핵심 변별 요소는 무엇일까요?

STEP 1. 단서 분석

- 발문 해석

- 발문 결합

- 상황 파악

발문을 해석하고, 결합하고, 이를 통해 상황을 파악해야 합니다.

위 문제의 경우,

(가)-1 발문을 통해 g(x)가 (+)(-)로 왔다갔다할 수 있음을,

(가)-2 발문을 통해 g(x)가 f(x)의 감소구간이 접어올려진 형태임을 발견하고,

(여기서, 미분의 정의와 ‘접어올려진 형태’와 관련된 기출을 풀어본 경험이 도움이 됩니다.)

이 두 조건을 결합하여

감소구간에서 (-),

증가구간에서 (+)임을 잡아내는 것이 핵심입니다.

이후, (나)를 통해 g(x)h(x) 불연속이 되서는 안된다는 것을 알았습니다.

그런데, 지금까지 파악한 (가)를 보면,

증감 구간이 바뀌는 극점에서 g(x)가 불연속이 될 수 있습니다.

그렇다면, 이를 ‘문제 상황’으로 정의해야하고,

이 극점들을 지금부터 ‘불연속 의심점’으로 부르겠습니다.

‘서로 다른 세 극값을 갖는’이라는 조건을 살펴보면,

해결해야할 문제는 총 3개로 보입니다.

당연하게도 어떻게 해야 이 ‘문제 상황’을

1. 사전에 방지하거나

2. 해결할 수 있을지

파악해야만 합니다.

1. 사전에 방지한다는 것은, 애초에 불연속 의심점에서 g(x)가 불연속이 안되도록 하는 것이고,

2. 해결한다는 것은, 이미 g(x)가 불연속임이 확정된 상황에서 h(x)가 연속이 되도록 구제해준다는 것입니다.

먼저 사전에 방지할 수 있는 방법을 살펴보면,

극점에서 f(x)가 0이 되는 것 뿐입니다.

그리고,  f(x)가 0이 되는 극점이 최대한 많았으면 좋겠지만,

안타깝게도 발문에 ‘서로 다른 세 극값’라는 조건이 있습니다.

즉, 문제 상황을 사전에 방지할 수 있는 ‘면죄부’는 오직 한 번 밖에 쓸 수 없다는 것입니다.

그렇다면 나머지 두 극점은 곧 ‘g(x)의 불연속점’이고,
h(x)가 나서서 이를 해결해줘야겠죠.

여기까지가 STEP1: 단서 분석입니다.

이 구간을 뚫는 방법은,

1. 그동안의 기출/문제 푼 경험을 총동원하여 발문을 해석하고,

2. 두 개 이상의 발문을 능동적으로 결합하여,

3. 종합적인 문제의 상황을 파악하는 것

입니다.

이 구간을 뚫어냈다면, 다음은 STEP2: 핵심 사고 파악입니다.

파악한 단서들을 기반으로, 문제풀이의 핵심이 되는 사고가 무엇인지 파악하는 것이죠.

STEP 2. 핵심 사고 파악

- 해결 방법(혹은 조건 충족 요소) 분석

- 열쇠(변별력 요소) 찾기

여기서는 어떻게 해야 이 ‘문제 상황’이 해결될지, (혹은 조건이 충족될지)

이 문제의 ‘변별 포인트’가 무엇일지 파악해야합니다.

그리고, 이 과정들을 통해 자연스럽게 문제에서 요구하는 ‘사고 방법’에 익숙해져야 합니다.

위 문제를 다시 이어가보면,

이제 h(x)가 어떻게 나서서 이 ‘문제 상황’을 해결해줄지 고민해야합니다.

기출을 충분히 풀어봤다면, 누구나 반사적으로

“당연히 h(x)가 0이 되어야지!”

를 떠올리실 수 있을 겁니다.

그런데, 과연 그게 다일까요?

22번은 나름 공인된 ‘킬러 문항’입니다.

그 말은, 어딘가 ‘변별력 요소’가 있을 확률이 높다는 것입니다.

그리고, 종종 그 ‘변별력 요소’에는 기존 기출과는 약간 다른 사고법이 포함되어있습니다.

이 문제의 경우, g(x)가 f(x)의 (+)(-) 여부만 바꿀 수 있다는 점에 착안하여,

(부호 딸깍밖에 못하는 스위치라고 생각하면 쉽습니다.)

h(x)도 이에 맞춰 ‘부호만 딸깍’해서 바뀌면,

그 지점에서 h(x)g(x) 연속이 된다는 해결방안을 도출하는 것이 이 문제의 핵심 ‘변별력 요소’입니다.

여기까지 완료했다면,

이제 문제의 핵심은 다 파악한 것이나 마찬가지입니다.

이제부터는 정해진 방향성을 토대로 풀이를 전개하면 됩니다.

STEP 3. 케이스 구분 / 결론 도출

- 케이스 나누기

- 발문 / 직관 / 논리로 케이스 거르기

- 결론 도출

이제 익숙해진 ‘사고 방법’을 토대로,

케이스를 구분하고,

1. 남아있는(혹은 일부분만 사용한) 발문

2. 경험을 토대로 세워진 직관

3. 당연한 수학적 논리

를 총동원하여 불가능한 케이스를 걷어내야합니다.

사실 위 문제에서는, STEP 3가 큰 변별력을 갖고있지 않습니다.

케이스가 나뉘기는 하지만, 케이스 간 그럴듯함(가능성)의 차이가 매우 커서, 웬만하면 직관을 통해 걸러낼 수 있기 때문입니다.

다만, STEP 2에서 파악한 방향성을 토대로, 다음과 같은 과정을 진행해야합니다.

1. 약간의 직관을 동원해서 오직 구간의 경계(x=a)에서만 h(x)의 ‘부호만 딸깍’ 바뀌는 것이 가능함을 파악하기

2. 4x+2와 -2x-3이 구간의 경계(x=a)에서 ‘부호가 다르고 절댓값이 같도록’ 만들어주는 a의 값 구하기

(둘을 더했을 때 0이 나오면 됩니다.)

3. 구한 a를 토대로(또는 직관적으로) 왼쪽구간에서 x=-1/2이 h(x)의 불연속 해결 지점임을 파악하기

여기까지 했다면, f(x)의 두 극점의 x좌표를 구했을 것이고,

이를 통해 나머지 극점의 x좌표를 미지수로 두고

f’(x)의 식을 세울 수 있을 것입니다.

STEP 4. 마지막 계산

- 남은 발문(찌꺼기) 사용

- 결론 도출

이제 마지막 계산 단계입니다.

사실 이 단계에서는 제가 해줄 말이 없습니다.

(저도 굉장히 계산실수를 자주 하기 때문입니다…)

미지수로 된 식을 세우고, 남은 발문(찌꺼기라고 생각하면 됩니다.)을 통해

계산실수 없이 답을 도출하면 됩니다.

기출문제집을 직접 출판하고 검수해보면서,

22년도 이후 유독 대부분의 킬러문제들이 이러한 사고과정을 거친다는 것을 알게 되었습니다.

그래서 언젠가는 한번 이러한 과정을 정리해봐야겠다고 생각했는데,

이번 5모 22번이 그 계기가 되어준 것 같네요..ㅎㅎ

다들 앞으로 있을 6월 모의고사 잘 보셨으면 좋겠습니다..!

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

추가적으로,

저희가 출판을 처음 진행하다보니 해설 검수/검토 체계가 미숙한 부분이 있었습니다. 계획상 최종검토 단계까지 마무리되었음에도 남아있는 오류가 많아, 제가 직접 급하게 마지막 검토를 진행하였습니다.

그런데 이번 5모를 풀어보니, 저도 굉장히 계산실수가 많은 타입이더라구요..

그래서 출판 이후에도 정정사항이 조금 있을 것 같습니다.

혹시 교재 구매 후 오류를 발견하신다면

i@cheolm.in 또는 gmsa9696@gmail.com으로 연락주시면 정말 감사드리겠습니다..!

(보답으로 소정의 선물을 드리겠습니다!)

Team BLANK 올림