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설물리블링크 [993175] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2024-03-27 22:58:13
조회수 3,331

여러 차원에 대한 편미분

게시글 주소: https://orbi.kr/00067702266

어떤 함수 f가 있다고 칩시다.

f는 이렇게 생겼어요


이 녀석의 기울기? 를 어떻게 구할 수 있을까요?

먼저, x 방향의 기울기를 구해 봅시다.

그런데 이건 y 방향의 기울기에 대한 정보는 담지 않고 있어요

그래서 y에 대해서도 편미분 해 줍시다.


그런데, (1,1) 방향으로는요? (1,3)방향으로는?

이렇게 곡면에는 무수히 많은 방향이 있기 때문에 다른 방식의 정의가 필요합니다.

먼저 우리가 구한 두 편미분으로 벡터를 만들어 보죠.


이녀석과 (1,0)을 내적하면 x 방향의 기울기, 

(0,1)을 내적하면 y 방향의 기울기가 나오게 됩니다.

눈치 채셨나요? 이 녀석과 어떤 방향을 나타내는 단위 벡터를 내적하면

그 점에서 그 방향으로의 기울기를 얻게 됩니다. 즉,  이녀석이 함수의 기울기에 대한 정보를 담고 있는 것이죠. 예를 들어 1,0에서 (1,1)방향으로 얼마나 가파른지를 구해보면


이므로, 기울기가 4인 것을 알 수 있습니다. 이렇게 각 변수에 대해 편미분 한걸 벡터로 만들어 놓은 것을 그래디언트라고 하며

아래와 같이 씁니다.


이때, 이 그래디언트는 항상, 가장 가파르게 증가하는 방향을

가리킵니다. 만약 그래디언트가 0이라면? 실제로 우리가 쓰는 도함수와 비슷하게 f가 극대이거나 극소일 수 있어요.

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