조건부 확률과 곱사건은 어떻게 구별하죠?
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어떨 때 곱사건을 쓰고 어떨 때는 조건부확률을 쓰는데 구별하는 방법이 뭘까요?
이문제는 왜 곱사건인가요?
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저건 그냥 공 한개를 꺼내는 표본공간을 준것
공을 꺼내는 표본공간 안에 검은 공을 뽑는 사건도 들어가 있는 거 아닌가요?
저거 답 몇번
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긍까 그냥 b 주머니를 택할 확률이 1/2
b주머니에서 겈은공은 하나 뽑을 확롤이 1/3
곱한거임
3
ㄱ검은공을 뽑는 사건이 때가 아니잖
표본공간을 줌 -> 그 표본공간의 부분집합을 조건으로 표본공간 축소-> 사건을 줌
이게 조건부활률
~때가 시행을 의미하는 경우를 구분을 하셔야해요.
예를들어, 나에게 평범한 육면체 주사위가 하나가 있다. 이 주사위를 던졌을 때, 3이 나올 확률은?
이라는 문제 상황이 있다고 하면 주사위 하나를 던지는 "시행"을 했다는 걸 의미하지 조건부 확률을 의미하진 않겠죠?
임의로 택하여 공 1개를 꺼낼 때 에 a에서 1개 뽑는 사건도 표본 공간 안에 있는데 이것은 계산할 때 왜 포함이 안 되는 건가요?
맞아요! 표본공간에 있죠.
확률을 경우의 수 / 경우의 수 로 푸는 경우에
확률 = 해당하는 사건의 경우의 수 / 표본공간의 경우의 수 (정확히는 집합의 원소의 수)
로 정의하는거니까요.
저는 공을 1개뽑는 경우는 a에서도 뽑을 수 있고, b에서도 뽑을 수 있다고 생각했는데 이 전체가 분모에 들어가지 않는 이유는 뭔가요
아니에요, 분모에 다 들어갑니다!
다만 이 문제에서, [주머니 A, B를 택하는 경우]와 [공을 택하는 경우]가 하나의 근원사건으로 묶어서 표현될 수 없는 경우여서 문제가 생겨요.
예를들어 동전을 2번 던지는 사건에서 일어날 수 있는 경우들은 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)가 있어요. 이 때 각각의 (앞, 앞), (앞 뒤) 등등 의 한 순서쌍을 근원사건이라고 하고, 표본공간은 근원사건의 합집합으로 정의되어요.
단!! 이 때 근원사건은 모두 일어나는 확률이 동등해야해요.
그렇지 않으면 확률이 잘못계산되기 때문이에요.
(검은공이 1개, 흰공이 9개 들어있는 주머니에서 공을 1개 꺼냈을 때 일어날 수 있는 경우를 {검은공}, {흰공} 이렇게 2가지 밖에 없다고 보게 되면
전체 경우 n({검은공, 흰공}) = 2 가 되니, 검은공이 나올 확률도 1/2, 흰공이 나올 확률도 1/2으로 말이 안 되는 상황이 일어나게 되겠죠. 이런 상황에서 근원사건의 확률이 동등하다는 것을 보장해주기 위해서 흰공의 9개가 서로 다른 것으로 보고 이름을 흰공1, 흰공2, ... 흰공9 이렇게 주게 되는 거에요.)
물어보신 문제의 상황에서는 마치 근원사건이 다음인 것처럼 생각될 수 있어요.
(A, 검은공1), (A, 검은공2), ... , (A, 흰공2), (B, 검은공1), (B, 검은공2), (B, 검은공3), (B, 흰공1), ... (B, 흰공6)
하지만 이렇게 근원사건들을 생각하면, A에서 검은공2를 꺼내는 확률은 1/2 * 1/6 (특정공) 이 되고, B에서 흰공3을 꺼내는 확률은 1/2 * 1/9 (특정공) 이 되기 때문에 근원사건의 확률이 달라지는 상황이 된다는 걸 알 수 있어요.
그래서 이런 경우에는 사건 X와 사건 Y가 연이어서 일어난다고 생각하고, 곱의 법칙을 사용하게 되는 것이에요.
따라서 주머니를 고르는 사건, 공을 꺼내는 사건을 각각 바라보아 확률을 구하고, 이것이 동시에 일어난다고 생각해서 곱의 법칙을 이용해서 확률을 구해야 하는 상황인 것이에요.
주머니 B가 골라지는 사건의 경우, 주머니를 고르는 모든 근원 사건은 {A}, {B}이므로 표본공간은 근원사건의 합집합인 {A, B}로 나타내지게 되고, 주머니 B가 골라지는 사건은 {A} 이므로
P(주머니 B가 골라지는 사건) = n({B}) / n({A,B}) = 1/2 가 되는 것이에요.
이제 주머니 B 안에서 공을 꺼내게 되면 각 공을 꺼내는 확률이 동등해지니, 이 때의 근원사건이 {검은공B1}, {검은공B2}, {검은공B3}, {흰공B1}, {흰공B2}, ... {흰공B6} 이므로 표본공간은 근원사건의 합집합인 {검은공B1, 검은공B2, ... 흰공B6} 로 나타내지게 되고, 주머니 B 안에서 검은공이 나오는 사건은 {검은공B1, 검은공B2, 검은공B3} 이므로
P(주머니 B에서 검은공을 꺼내는 사건) = n({검은공B1, 검은공B2, 검은공B3}) / n({검은공B1, 검은공B2, ... 흰공B6}) = 3/9 = 1/3 이 되겠죠.
그래서 문제에 주어진 상황인 P(주머니 B가 골라져서, 그 주머니 B에서 검은공을 꺼내는 사건) = P(주머니 B가 골라지는 사건) * P(주머니 B에서 검은공을 꺼내는 사건) = 1/2 * 1/3 = 1/6 이 되는 것이에요.
감사합니다
아직 곱사건이랑 조건부확률을 구분하는게 서툴러서ㅠㅠ???