so that no component of $R(\gamma_i)$ is a torus which is compressible. Then there exists trasnversely oriented foliations $\mathcal{F}_0$ and $\mathcal{F}_1$ of $M$ such that the following conditions hold:

(1) $\mathcal{F}_0$ and $\mathcal{F}_1$ are tangent to $R(\gamma)$.

(2) $\mathcal{F}_0$ and $\mathcal{F}_1$ are transverse to $\gamma$.

(3) If $H_2(M,\gamma)\neq 0$, then every leaf of $\mathcal{F}_0$ and $\mathcal{F}_1$ nontrivially intersects a transverse closed curve or a transverse arc with endpoints in $R(\gamma)$. However, if $\partial M = R_+(\gamma)$ or $=R_-(\gamma)$, then this holds only for interior leaves.

(4) There are no 2-dimensional Reeb components of $\mathcal{F}_i|\gamma$ for $i = 0,1$.

(5) $\mathcal{F}_1$ is $C^\infty$ except possibly along toral components of $R(\gamma)$ (if $\partial M\neq\emptyset$) or on $S_1$ (if $\partial M = \emptyset$).

(6) $\mathcal{F}_0$ is of finite depth.

* (5) 같은 regularity 조건 때문에 증명이 상당히 까다로운 지점들이 있고, foliation을 만들때 좀 더 많은 작업이 필요하게 됨. 하지만 foliation이 어떻게 만들어지는지 그 자체만 볼 것이면 그닥 중요한 지점은 아님.

* 가정에 들어있는 'no component of $R(\gamma_i)$ is a torus which is compressible'은 2-dimensional Reeb foliation의 부재를 염두해두고 넣어놓은 조건 (같음).

statement 자체가 상당히 복잡하고 많기 때문에 필요한 lemma들이 상당히 많은데, 일단 이런 것들은 가장 마지막에 appendix에 모두 적어놓고, foliation $\mathcal{F}_0$과 $\mathcal{F}_1$이 어떻게 만들어지는지에 집중하고, 만들어진 foliation들이 (1) - (6) 까지의 성질을 왜 만족시키는지 알아보는 것으로 함.

Proof. 일단 시작점은 주어진 hierarchy를 좀 더 세분화를 해서 각각의 단계에서 주어진 sutured manifold가 좀 더 쉬운 모양으로 되게 바꿔줌 (Lemma 1). 이러한 바꿔주는 과정은 임의의 모든 sutured manifold에서 행할 수 있음. 구체적으로는,

$$(M.\gamma) = (M_0,\gamma_0)\xrightarrow{S_1}(M_1,\gamma_1)\xrightarrow{S_2}(M_2,\gamma_2)\xrightarrow{S_3}\cdots\xrightarrow{S_n}(M_n,\gamma_n)$$

이렇게 주어진 hierarchy가 다음과 같은 성질을 만족하도록 "세분화"를 함: 만약 $V$가 $R(\gamma_{i-1})$의 component라고 하면, (1) $S_i\cap V$는 set of paralle nonseparating oriented simple closed curves or arcs 이거나 (2) $\partial V\neq\emptyset$ 이고 $S_i\cap V$는 set of oriented properly embedded arcs s.t. $|\lambda\cap S_i| = |\langle \lambda, S_i\rangle|$ for each component $\lambda$ of $\partial V$. 여기서 $\langle,\rangle$은 algebraic intersection number를 뜻함. (근데 이후 증명에서 이러한 algebraic intersection number의 성질들은 쓰이지 않기 때문에 그냥 $S_i$와 $V$가 topological하게 "잘" intersect를 한다는 성질만 만족하면 밑의 construction들이 모두 성립함.)

세분화 된 hierarchy를 다음과 같이 쓰도록 함:

$$(M.\gamma) = (M_0,\gamma_0)\xrightarrow{T_1}(M_1,\gamma_1)\xrightarrow{T_2}(M_2,\gamma_2)\xrightarrow{T_3}\cdots\xrightarrow{T_n}(M_k,\gamma_k)$$

이러한 성질을 만족시키는 상태에서, foliation을 가장 마지막 단계 $(M_k,\gamma_k)$의 상태에서 뒤로 만들어감 (reverse induction). Hierarchy의 정의에 의해서 $(M_k,\gamma_k) = (S\times I,\partial S\times I)$ for some surface $S$ 형태의 product structure를 갖고 있고, 각각의 $\mathcal{F}_0$과 $\mathcal{F}_1$를 모두 product foliation을 줌. 이제 induction 메인 파트에 해당되는 부분은

$$(M_{i-1},\gamma_{i-1})\xrightarrow{T_i}(M_i,\gamma_i)$$

부분으로, 이미 $(M_i,\gamma_i)$에는 foliation $\mathcal{F}^i_0,\mathcal{F}^i_1$ 들이 다음과 같은 induction hypothesis를 만족하는 상태로 주어져 있고, 목적은 $(M_{i-1},\gamma_{i-1})$에 $\mathcal{F}^{i-1}_0$과 $\mathcal{F}^{i-1}_1$ foliation들을 만드는 것.

-Induction hypothesis-

(1) Folations $\mathcal{F}^i_0, \mathcal{F}^i_1$은 $(M_{i-1},\gamma_{i-1})$에 만들어져 있고, 메인 정리들 (1),(2),(4)를 만족시킴.

(2) $\mathcal{F}^i_0$ and $\mathcal{F}^i_1$ satisfy (3) if $\partial M_j\neq R_+(\gamma_j)$ nor $R_-(\gamma_j)$ for $j\geq i$. 따라서, 만약 $\cup_{j=i+1}^k T_j$ 가 torus를 포함하지 않고, $\partial M_i\neq R_{\pm}(\gamma_i)$ 라고 한다면, (3)이 성립. (만약 torus가 포함되어 있으면, 그거 자체가 manifold의 boundary가 될 수 있기 때문에)

(3) $\mathcal{F}_1^\infty$ is $C^\infty$ except possibly along toral components of $\cup_{j=i+1}^k T_j\cup R(\gamma_i)$.

(4) If $\delta$ is a curve on a nontoral component of $R(\gamma_i)$ and if $f:[0,a)\to [0,b)$ is a representative of the germ of the holonomy map around $\delta$ for the foliation $\mathcal{F}_1^i$, then

$${d^nf\over dt^n}(0) = \begin{cases} 1, & i = 1\\ 0, & i>1 \end{cases}.$$

(5) $\mathcal{F}_0^i$ is of finite depth, if for all $j\geq i$, $V\cap T_{j-1}$ is a union of parallel oriented simple closed curves for each component $V$ of $R(\gamma_j)$ with $T_{j-1}\cap\partial V\neq\emptyset$.

(6) $\mathcal{F}^i_0$ and $\mathcal{F}^i_1$ has no Reeb components.

hypothesis에서 (4)는 추후에 case 3에서 regularity를 위해서 사용되기 때문에 넣은 가정. 나머지 가정들은 다 납득이 될 것으로 보임.

이제 $\mathcal{F}_0^{i-1}$와 $\mathcal{F}_1^{i-1}$를 $\mathcal{F}_0^i$와 $\mathcal{F}_1^i$로 부터 각각 만들텐데, "큰 철학"에 해당되는 것은, $M_{i-1}$가 manifold로서는 $M_i$으로 부터 $T_i^+$와 $T_i^-$를 붙여서 만드는 것에 해당되는 것이고, $M_i$에는 이미 foliation이 주어져있기 때문에, naive하게 그냥 붙인 manifold $Q$에 foliation이 induce함. 문제는 당연히 이음새에 있고, depth와 regularity를 위해서 "smoothly extending" 하는 과정이 필요함.

간결성을 위해서 boundary component $\partial T_i$가 하나만 있다고 가정하고, 만약 여러개가 있다면 각각의 component에 적용하는 방식으로 생각함.

아까 sutured hierarchy에 각각의 단계에서 "좋은" 성질을 갖도록 했기 때문에, 이음새에 해당되는 $\partial T_i\cap R(\gamma_{i})$ component에 해당되는 것들은 3가지 케이스로 문제를 나눌 수 있음:

Case 1 - $\partial T_i$ is contained in a union of toral structures: $\partial T_i\subset T(\gamma_{i-1})$.

Case 2 - $\partial T_i$ is contained in a component of $R(\gamma_{i})$.

Case 3 - $\partial T_i\cap\gamma_{i-1}$ is nonempty, and $\partial T_i$ is connected.

Case 1

이 경우에는 간단한데, 왜냐면 $M_{i-1}$의 suture와 $\partial T_i$와 intersection이 없기 때문에, $Q$가 $M_{i-1}$이 되고, induced foliation on $Q$가 그대로 $\mathcal{F}_0^{i-1}$, $\mathcal{F}_1^{i-1}$이 된다. 핵심은 $\partial T_i$가 suture를 건드리지 않았기 때문에 밑에 case 2,3과 같이 suture를 $\gamma_{i-1}$에 맞게 이음새에 extra foliation을 만들고 extend를 해야하는 복잡한 상황이 연출되지 않는다.

Case 2

지금부터 복잡해지기 시작하는데, (5), (6) 조건들 때문에 (나머지 조건들은 $\mathcal{F}_i$들이 공통적으로 공유를 함), $\mathcal{F}_0^{i-1}$과 $\mathcal{F}_1^{i-1}$를 따로따로 construct를 한다.

- Construction of $\mathcal{F}_0^{i-1}$ -

편의를 위해 먼저 그림을 그려놓고 시작. 위에 그림은 Gabai의 원래 논문에서 가져온 것. 먼저 $T_i^+\subset R_+(\gamma_i)$, $T_i^-\subset R_-(\gamma_i)$를 붙여서 manifold $Q$를 만들게 되면, $M_{i-1}$와는 topological하게는 같지만, sutured structure가 다른 것이 나온다. 위의 그림에서는 $T_i^+$의 둘레에 있는 annulus가 $R(\gamma_i)$에 해당되는 annular component가 됨. 그리고 $V$를 $T_i^-$를 포함하는 component라고 한다면, $V$는 topological하게는 그냥 $Q$와 같지만 annular component가 없는 상태가 됨. 위의 그림과 같은 상황에서는 다음과 같은 것:

반복하지만 문제가 되는 것은 저 annular component, 앞에서는 이음새라고 말한 부분 때문에 모든 복잡한 일들이 벌어지는 것인데, Q는 다음 그림과 같이 생겼음:

보이는 것과 같이 저 "exposed" 되어있는 annulus $A$를 원래 manifold $M_{i-1}$의 foliation으로 만들기 위해서는 소위 "spiralling trick"을 써야 함.

$V$는 modified 된 hierarchy의 성질에 의해서 closed surface이고, $\partial T_i$는 homologically essential in $V$임. 따라서 $0\neq [\partial T_i]\in H_1(V)$가 되기 때문에, $\partial T_i$에 해당되는 $\Bbb Z$-cover $\tilde{V}$ of $V$를 만들 수 있음. $\tilde{V}$는 소위 infinite ladder 라고 불리는 infinite type surface가 됨. $\partial T_i$ 또한 $\gamma$로 $\tilde{V}$에 lift가 되고, $\tilde{V}$를 두개의 component $V^{\pm}$으로 나눔. $\mathcal{F}_0^i$를 $\mathcal{F}_0^{i-1}$로 extend를 하는 것은, holonomy representation of $\mathcal{F}_0^i|A$

$$\rho_{\partial}:\pi_1(\partial V^+)\to \mathrm{Homeo}^+(I)$$

을 holonomy representation

$$\rho_V:\pi_1(V^+)\to\mathrm{Homeo}^+(I)$$

로 extend를 하는 것으로 볼 수 있음. 이러한 extending 하는 과정은 $V^+$의 각각의 fundamental domain에 하나씩 extend하면 됨. $V^+$를 fundamental domain에 해당되는 "block"들 $V_j$ for $j\geq 0$로 나타낸다면, $V_j$는 $V - T_i^-$와 homeomorphic함. $V_0$ 부터 inductive하게 만들자면, 일단 $\rho_\partial|\gamma$에 해당되는 holonomy를 $f\in\mathrm{Homeo}^+(I)$라고 하자. 그리고 $\rho_V:\pi_1(V_0)\to\langle f\rangle$를 any homomorphism which extends $\rho_\partial$라고 하자. $\gamma$ 가 $V_0$에서 homologically essential하기 때문에 extension 자체는 항상 존재함. 비슷하게, $\pi_1(V_j)$에 $\rho_V$를 $V_{j-1}$에 이미 정의된 boundary component에서의 값과 compatible하게 정의한다. 그러면 $\rho_V$는 $\pi_1(V^+)$에 전부 정의가 되고, 포인트는 $\rho_V(\pi_1(V^+)) = \langle f\rangle$이 된다. 참고로 이렇게 만든 이유는, $\mathcal{F}_0^{i-1}$를 $\mathcal{F}_0^i$의 finite depth foliation으로 만들기 위해서인데, 모든 $p\in I$에 대해서, the orbit of $p$ under $\rho_V(\pi_1(V^+))$는 orbit under $\rho_{\partial V}(\pi_1(\partial V^+))$와 같게 만들면, 추후에 describe할 "sprialling trick"에 의해서 만들어지는 foliation의 leaf들이 $V$를 limit으로 spiral하게 된다. (taking the closure of a leaf commutes with the operation of extending the leaf from $\mathcal{F}_0^i$ to $\mathcal{F}_0^{i-1}$).

$\rho_V$가 $\pi_1(V^+)$에 만들어진 상태에서, representation $\pi_1(V_0)\to\mathrm{Homeo}^+(I)$는 foliated $I$ bundle $B_0$ over $V-T_i^-$를 결정하고, 이 bundle은 two foliated boundary annuli가 있음. 한쪽 annulus는 $A$와 glued up 할 수 있고, 다른 annulus는 이전의 $A$와 마찬가지로 exposed되어 있게 됨. Inductive하게, representation $\pi_1(V_1)\to\mathrm{Homeo}^+(I)$는 foliated $I$ bundle $B_1$ over $V-T_i^-$ with two foliaed boundary annuli를 결정함. 하나의 boundary는 $B_0$의 exposed annulus에 붙이고 비슷한 식으로 다른 fundamental domain에 대해서도 진행할 수 있음. 이러한 "spiralling" process는 위의 $\rho_V$의 construction에 의해서 $V$로 spiralling하는 형태를 갖게 됨. (한가지, $V$를 마치 제일 "껍데기" 에 있는 상태라고 생각하는 것이 spiralling을 한다는 의미에 더 부합함.) 이렇게 만들어진 foliation이 $\mathcal{F}_0^{i-1}$에 해당됨. (1) - (6)의 조건들을 모두 만족한다는 것을 쉽게 체크할 수 있음.

- Construction of $\mathcal{F}_1^{i-1}$ -

위와 같이, $T_i^+$와 $T_i^-$를 붙여서 manifold $Q$를 만들고 시작함. 그리고 $\mathcal{F}^1$를 $Q$에 induced되는 foliation이라고 하자. 리마인드 하자면, 상황 자체는 위에 $\mathcal{F}_0^{i-1}$를 construct할 때와 같다. 한가지 더 리마인드 하자면, $\mathcal{F}_0^{i-1}$에서는 finite depth가 포인트 였다면, 이번 $\mathcal{F}_1^{i-1}$에서는 regularity가 포인트다.

$f$를 the holonomy of $\mathcal{F}^1$ along the transverse annulus $A$로 정의. $f$와 $V$의 성질에 따라서, $\mathcal{F}_1^{i-1}$의 construction이 달라지기 때문에 여러가지 케이스로 나눠서 진행:

(1) $f\equiv 1$ 인 경우. 이 경우에는 위에서 $\mathcal{F}_0^{i-1}$를 만들 때 했던 작업을 $\mathcal{F}^1$에 그대로 하면, 원하는 조건들을 모두 만족하는 $\mathcal{F}_1^{i-1}$를 만들 수 있음. (id이기 때문에 smoothness가 방해되는 요인이 없음)

(2) $f\neq 1$, $V$는 torus인 경우. 이 경우에는 전에도 말했듯이, (Kopell's lemma에 의해서) $C^0$ regularity만 갖을 수 있고, 그 이상의 smoothness는 일반적으로 보장할 수 없음. 이 경우에도 앞과 같이 $\mathcal{F}_0^{i-1}$의 construction을 그대로 따라서 $\mathcal{F}_1^{i-1}$을 만들면 됨.

(3) $f\neq 1$, $V$는 genus $g$ surface인 경우. 이 경우, 소위 "pushing the holonomy to the boundary" trick을 이용해서 (1) 케이스로 reduce할 수 있음. $Q_1$을 $\partial Q$에다가 $\pi_1(V)$의 generator에 해당되는 loop들을 고른 뒤에, 그 위에 band를 붙인다. 그림으로 보면 다음과 같은 상황. g = 1인 케이스:

붙은 band들을 $B_1,C_1$이라고 하자. 그리고 holonomy가 $b_1, c_1$인 foliation을 주게 되면 ($b_1,c_1$은 뒤에 무엇인지 설명할 예정), 새로 생긴 transversal annulus의 holonomy는 $fc_1b_1c_1^{-1}b_1^{-1} = f[c_1,b_1]$가 된다. (여기서 $fg$는 클래식하게 $g\circ f$를 뜻한다) 이렇게 얻은 foliation을 $\mathcal{F}^2$라고 하자. "비슷한 식으로 transversal annulus에서의 holonomy가 $f[c_1,b_1]\cdots [c_n,b_n]$인 foliation $\mathcal{F}^{n+1}$을 $Q_n$에 construct를 하자".* 여기서 $b_i,c_i$들은 특별히 선정된 diffeomorphism들인데, 한가지 알려진 사실은:

If $f:I\to I$ is a $C^\infty$ diffeomorphism satisfying

$${d^nf\over dt^n}(\alpha) = \begin{cases] 1, & n = 1, \\ 0, & n>1, \end{cases}$$ for $\alpha\in\{0,1\}$, then there exists $C^\infty$ diffeomorphisms $c_i,b_i:I\to I$, $i = 1,\ldots, n$, satisfying the above conditions so that

$$f[c_1,b_1]\cdots[c_n,b_n] = 1.$$

현재의 경우에는 결과적으로 만들어진 holonomy가 identity가 되고, 다시 (1) 케이스로 reduce된다.

*여기서 "비슷한 식으로..." 한 부분은 논문에서는 자세한 설명이 없고, 내가 찾아봤을 때 아무곳에서도 제대로 설명한 곳이 없는데, 저 비슷한 식으로가 대체 어떻게 되는 것인지 잘 모르겠다. 사실 저자인 Gabai에게 한번 이메일을 보내봤는데, 과연 대답을 해 줄 것인지는 의문. 만약 어떤 식으로든 convincing이 되면 수정해서 올리겠음.

Case 3

이 경우에도 역시나 앞선 경우와 비슷하게 진행하지만, extra complication이 있기 때문에 조금 더 신경을 써야하고, 가장 복잡한 케이스라고 할 수 있음. 하지만 철학 자체는 비슷함. $T_i^+$와 $T_i^-$를 붙여서 $Q$를 만들고, 이음새에 해당되는 부분들에 foliation들을 추가하여 잘 smoothen하는 과정을 진행함. 오히려 이 경우에는 이음새가 더 명확히 보이기 때문에 진행방식이 Case 2보다 더 straightforward하다.

앞선 경우와 마찬가지로 $T_i^+$와 $T_i^-$를 붙여서 $Q$를 만드는데, 그 전에, 이음새 부분들이 겹치지 않게, 다시 말해서 상황을 덜 복잡하게 만들기 위해서, 다음과 같은 deformation을 진행한다: 가정에 의해서 $\partial T_i$와 $\gamma_{i-1}$는 nonempty intersection을 갖기 때문에, $\partial T_i^+$ (resp. $\partial T_i^-$)는 union of arcs contained in $\partial\gamma_i$ and of arcs which are properly embedded in $R_+(\gamma_i)$ (resp. $R_-(\gamma_i)$). 그림은 다음과 같다:

이러한 상황에서 $M_i$에 $\partial\gamma_i$를 쭉 늘리는 diffeomorphism을 적용하여 다음과 같은 deformation을 진행한다:

이렇게 해놓고 $T_i^+$와 $T_i^-$를 붙여서 manifold $Q$를 얻으면, 다음과 같은 그림으로 만들어진다. 이음새 부분에 해당되는 것은 세로선들로, 해결해야하는 파트다.

리마인드 하자면, 이음새 부분은 $\gamma_i$에 속하는, $T_i$를 잘라내는 과정에서 만들어진 $\gamma_{i-1}$에 없던 새로운 suture에 해당된다. 우리가 타겟으로 하는 것은 이러한 새로운 suture가 없는, $(M_{i-1},\gamma_{i-1})$이기 때문에, 최종적으로 원하는 foliation structure는 다음과 같다:

이제 주어진 $\mathcal{F}_0^i$과 $\mathcal{F}_1^i$ 으로부터 $Q$에 induced 되는 foliation을 $\mathcal{F}_0'$, $\mathcal{F}_1'$라고 각각 명한다. 목표는, $N(R(\gamma_{i-1}))$에 적절한 foliations $\mathcal{F}_0''$, $\mathcal{F}_1''$를 정의해서, $\mathcal{F}_0'$과 $\mathcal{F}_1'$에 coherent하게 붙여질 수 있도록 하는 것. 붙인 foliation이 원했던 $\mathcal{F}_0^{i-1}$과 $\mathcal{F}_1^{i-1}$가 될 것이다. 이 목표는, 각각의 component $V$ of $R(\gamma_{i-1})$에 각각 foliation $\mathcal{F}_0''(V)$와 $\mathcal{F}_1''(V)$를 정의하고 나중에 취합해서 이룰 수 있다.

$V$를 $R(\gamma_{i-1})$의 component such that $\partial T_i\cap V\neq\emptyset$ 이라고 하자. 그리고 $P = N(V)\cap Q$라고 정의하자. 위에서 묘사한 상황과는 좀 다르지만, 논문에서는 다음과 같은 상황을 상정함:

$V$ 부분에 해당되는 것은 pair of pants이다. 그러면, $P\cong V\times I$이고 겉에 표면에 해당되는 것은 다음과 같은 형태를 띄고 있다:

$$V\times\{1\} = J\cup(\mu_1\times I)\cup\cdots\cup(\mu_n\times I)$$

where $J$ is tangent to $\mathcal{F}_\alpha'$ for $\alpha 0,1$ and for all $m =1,2,\ldots,n$ and $\alpha = 0,1$, (i) $\mu_n\times\{0\}$ is properly embedded in both $V\times\{1\}$ and in the leaf $L$ of $\mathcal{F}_\alpha'$ which contains $J$, (ii) $\mu_m\times\{1\}\subset\partial L$ is embedded in $V\times\{1\}$, and (iii) $\mathcal{F}_\alpha' | (\mu_m\times I)$ has the product foliation.

저 $\mu_m\times I$에 해당되는 것이 resolve해야하는 이음새에 해당됨. resolve하는 방법은 대충 말해서 양쪽에 탑을 쌓고 잘 이어주는 것.

탑 $J' = J - N(\cup_{m=1}^n(\mu_m\times\{0\}))$ 이라고 하고, $Q_1$을 $Q$에다가 $J'\times I$를 $J'\times\{0\}$를 따라서 붙이는 것으로 함.

$$Q_1 = Q\bigcup_{J'\times\{0\}}(J'\times I).$$

그러면, $Q_1$은 대충 $(M_{i-1},\gamma_{i-1})$에다가 $\beta_m\times I^\circ\times I^\circ$를 도려낸 것으로 이해할 수 있고, $\beta_m\times I\{0\}\subset L$ 그리고 $\beta_m\times\{0\}\times\{0\}$는 $\mu_m\times\{0\}$ for $m =1,2,\ldots ,n$으로 볼 수 있다.

$Q_1$은 저런식으로 생겼을 것이고, 상황을 좀 더 도식화해서 그려보자면 다음과 같다:

이제 이걸 어떻게 잘 gluing하냐는 것인데, 밑에 그림과 같이 행하면 된다: $J'\times I$과 $\beta_m\times I\times I$에 모두 product foliation을 준다. $\mathcal{F}_1''(V)$의 경우에는 임의의 smooth gluing of $\beta_m\times I\times I$ into $Q_1$이 모두 원하는 regularity를 만족하는 foliation을 주게 되고, $\mathcal{F}_0''(V)$의 경우에는 finite depth 가정 때문에 extra care가 필요하다. $J'\times I$를 $J'\times[1,\infty]$로 보고, $\beta_m\times I\times I$를 $\beta_m\times I\times[0,\infty]$로 보자. 그러면 위에 그림과 같이 $\beta_m\times\{0\}\times[0,\infty]$를 $Q_1$으로 by identifying $\beta_m\times\{0\}\times[0,1]$ with $\mu_m\times[0,1]$ 그리고 $\beta_m\times\{0\}\times[1,\infty]$ with $(\mu_m\times\{1\})\times[1,\infty]$ via a map which is the identity on the $[1,\infty]$ coordinate. 이제, $\alpha_m = \mu_m\times\{1\}\subset J'$, $\alpha'_m = (N(\mu_m\times\{0\})\cap J')-\alpha_m$ 이라고 하면 glue $\beta_m\times\{1\}\times[0,\infty]$ into $Q_1$ by identifying $\beta_m\times\{1\}\times[0,\infty]$ with $\alpha'_m\times[1,\infty]$ via a map $f$ for which $f:x\mapsto x+1$ on the second factor. 복잡하게 써놨지만 위에 그림이 정확히 벌어지고 있는 현상을 묘사하고 있다. 이렇게 만들어진 foliation을 $\mathcal{F}''_0(V)$로 한다. 자명하게 depth +1 조건은 만족한다.

이렇게 각각의 component $V$에 만들어진 foliation들을 모두 모아놓으면 원했던 성질들을 모두 만족하는 foliation $\mathcal{F}_0^{i-1}$과 $\mathcal{F}_1^{i-1}$를 얻게 됨. 밑에 사진은 이음새를 모두 $\mathcal{F}_0''(V)$나 $\mathcal{F}_1''(V)$로 메꾼 것.

이것으로 증명의 메인 파트에 해당되는 foliation $\mathcal{F}_0^{i-1}$과 $\mathcal{F}_1^{i-1}$를 construct를 했고, inductive하게 $\mathcal{F}_0$과 $\mathcal{F}_1$을 만들었음. 이렇게 만들어진 foliation은 위에서 말한 inductive hypothesis를 만족시키는 foliation들로 구성됨. 다시 리마인드 하자면:

(1) Folations $\mathcal{F}^i_0, \mathcal{F}^i_1$은 $(M_{i-1},\gamma_{i-1})$에 만들어져 있고, 메인 정리들 (1),(2),(4)를 만족시킴.

(3) $\mathcal{F}_1^\infty$ is $C^\infty$ except possibly along toral components of $\cup_{j=i+1}^k T_j\cup R(\gamma_i)$.

$${d^nf\over dt^n}(0) = \begin{cases} 1, & i = 1\\ 0, & i>1 \end{cases}.$$

(6) $\mathcal{F}^i_0$ and $\mathcal{F}^i_1$ has no Reeb components.

(4)를 제외한 나머지 성질들은 main theorem에서 서술한 foliation들의 성질을 말하고 있음. (1),(2),(4)는 주어진 임의의 sutured manifold hierarchy로부터 나온 것이고, 나머지 (3),(5),(6)은 특정 가정들을 만족 시켜야 성립함. 이를 위해서는 주어진 hierarchy가 더 좋은 것으로 바꿀 수 있다는 것을 verify를 하면 됨.

한가지 $\mathcal{F}_0$과 $\mathcal{F}_1$의 construction에서 알 수 있는 것은, 각각의 $\mathcal{F}_0^i$, $\mathcal{F}_1^i$들이 모두 taut foliation이기 때문에, 결과적으로 만들어진 foliation들도 taut이라는 것. 그러면 Lemma 4에 의해서, $(M,\gamma)$가 taut sutured 3-manifold이거나 아니면 $M = S^2\times S^1$ 혹은 $S^2\times I$ with $\mathcal{F}$ the product foliation임. 따라서 $(M,\gamma)$는 taut sutured 3-manifold이고, $R_+(\gamma),R_-(\gamma)$는 모두 norm minimzing surfaces in $H_2(M,\gamma)$에 해당됨. (물론, 각각의 step에 나오는 $R_+(\gamma_{i})$와 $R_-(\gamma_i)$ 모두 norm minimizing surfaces in $H_2(M_i,\gamma_i)$에 해당된다.) 한가지 관찰해야 하는 것은, 만약 $M$ 이 closed라고 한다면, decomposition $(M,\emptyset)\xrightarrow{S}(M_1,\gamma_1)$가 taut decomposition을 만드는 것과 if and only if로 $S$가 norm-minimzing 하는 것 (tautness의 정의에 의해서). 따라서, Lemma 2, Lemma 3을 각각 $H_2(M,\gamma) =0$인 경우 $(M_1,\gamma_1)$에, $H_2(M,\gamma)\neq 0$인 경우 $(M,\gamma)$에 적용하면, 새로운 더 좋은 성질들을 만족하는 hierarchy를 찾을 수 있다: (1) No decomposing surface $S_i$ is a torus unless $\partial M = \emptyset$, $H_2(M)$ is generated by tori, and $i =1$; (2) if $V$ is a component of $R(\gamma_{i-1})$, then $V\cap S_i$ consists of $k(\geq 0)$ parallel oriented nonseparating simple closed curves. 포인트는 (1)로 torus의 부재를 말하고 있고 (2)는 기존의 hierarchy에서 만들어지는 foliation의 construction을 그대로 사용할 수 있다는 것. 이렇게 새로운 hierarhcy를 이용하게 되면, 자연스럽게 torus에 의해서 제약이 걸려있던 (3),(5),(6) 성질들을 만들어지는 foliation들이 전부 만족한다. 이렇게 증명은 완료.

Appendix

Lemma 1. Let $(M,\gamma)\xrightarrow{S}(M',\gamma')$ be a sutured manifold decomposition. Then there exists a refinement of sutured manifold decomposition

$$(M,\gamma)\xrightarrow{S_1}(M_1,\gamma_1)\xrightarrow{S_2}(M_2,\gamma_2)\to\cdots\xrightarrow{S_n}(M_n,\gamma_n)\xrightarrow{S_{n+1}}(M',\gamma')$$

so that if $V$ is a component of $R(\gamma_{i-1})$, then either (i) $S_i\cap V$ is a set of parallel nonseparating oriented simple closed curves or arcs, or (ii) $\partial V\neq\emptyset$ and $S_i\cap V$ is a set of oriented properly embedded arcs such that $|\lambda\cap S_i| = |\langle \lambda,S_i\rangle|$ for each component $\lambda$ of $\partial V$.

Lemma 2. Provided that $M$ is not a rational homology sphere containing no essential tori, every connected taut sutured manifold $(M,\gamma)$has a sutured manifold hierarchy

$$(M,\gamma) =(M_0,\gamma_0)\xrightarrow{S_1}(M_1,\gamma_1)\xrightarrow{S_2}(M_2,\gamma_2)\to\cdots\xrightarrow{S_n}(M_n,\gamma_n)$$

satisfying (i) $S_i\cap\partial M_{i-1}\neq\emptyset$ if $\partial M_{i-1}\neq\emptyset$, and (ii) for every component $V$ of $R(\gamma_i)$, $S_{i+1}\cap V$ is a union of $k\geq 0$ parallel oriented nonseparating simple closed curves or arcs.

Lemma 3. Let $(M,\gamma)$ be a taut sutured manifold such that $H_2(M,\partial M)\neq 0$. Then there exists a decomposition

$$(M,\gamma)\xrightarrow{S}(M',\gamma')$$

such that $(M',\gamma')$ is taut, $S$ is connected, and $0\neq[\partial S]\in H_1(\partial M)$ if $\partial M\neq\emptyset$. Furthermore, for a component $V$ of $R(\gamma)$, $S\cap V$ is a union of $k\geq 0$ parallel oriented nonseparating simple curved curves if $V$ is nonplanar or arcs if $V$ is planar.

Lemma 4. Let $M$ be oriented. If $(M,\gamma)$ has a taut foliation $\mathcal{F}$, then either (i) $(M,\gamma)$ is taut or (ii) $M = S^2\times S^1$ or $S^2\times I$ with $\mathcal{F}$ the product foliation on $M$.

Remark on the regularity on toral component (Kopell's lemma).

main statement의 (5)에 해당되는 toral component에서의 regularity issue에 대해서 말해보기로 함. 여기서 만들 foliation은 $T = S^1\times S^1$ 이라고 했을 때, $T\times I$에다가 $C^2$ 이상의 regularity를 갖지 못하는 foliation을 만들기로 함. 일단 construction의 중추에 해당되는 Kopell's lemma에 대해서 진술하자:

Kopell's lemma. Let $f\in\mathrm{Diff}^2_+[0,1]$ and $h\in\mathrm{Homeo}_+[0,1]$. Suppose $f$ and $h$ commute and $f$ is a contraction to $0$. If $h|[0,1)$ is a $C^2$ diffeomorphism of $[0,1)$ onto itself and fixes some point $x\in (0,1)$ then $h\equiv 1$.

자 이제 foliation을 만들기 전에 foliation의 monodromy에 사용된 함수들을 정의하자. 일단 $f:[0,1]\to [0,1]$를 $C^\infty$ diffeomorphism such that $f|[0,1)$ is a contraction mapping to $0$. 이제 $t_0\in (0,1)$을 고르고, $t_k = f^k(t_0)$ for $k\in\Bbb Z$를 $f$-action에 대한 $t_0$의 orbit들이라고 하자. $h_0:[t_1,t_0]\to [t_1,t_0]$를 $C^\infty$ diffeomorphism such that (i) a contraction on $[t_1,t_0)$ to $t_1$, (ii) $C^\infty$-tangent to the identity at $t_1$ and $t_0$. 이제 $h_k = f^k\circ h_0\circ f^{-k}$ 라고 정의하고, $h:[0,1]\to [0,1]$가 $h(0) = 0, h(1) =1$, $h|[t_{k+1},t_k] = h$ 라고 정의하면, $h(t_k) = t_k$ for each $k$ 이고, $h\circ f = f\circ h$, 그리고 $h|(0,1)$은 $C^\infty$ diffeomorphism이 된다. 그러면 이제 Kopell's lemma에 의해서, $h$는 $C^2$ diffeomorphism이 될 수가 없음.

이제 $T\times I$에다가 monodromy representation $\rho:\pi_1(T)\to\mathrm{Homeo}_+[0,1]$ such that 각각의 canonical generator들이 $f,h$로 mapping이 되게 정의를 함. 편의상 $h$가 meridian으로 하는 것이 상상하기 좋음. 그러면 만들어지는 foliation은 각각의 fiber $I$에 transversal 하게 intersect를 하고, 두개의 boundary tori $T_0$, $T_1$들은 unique한 compact leaf들에 해당됨. 그리고 $\{t_k\}$를 하나씩 치고 가면서 양방향으로 $T_0,T_1$으로 spiralling하는 cylindrical leaf $L$이 하나 존재하고, 그 사이에는 $\Bbb R^2$와 homeomorphism한 leaf들이 $L$쪽으로 spiralling하는 것들로 채워져 있는 모양을 하게 된다. 위에 말한 $h$의 regularity 때문에 이러한 foliation은 $C^r$ for $r\geq 2$ regularity를 갖을 수 없음.