Efficiency of Pleated Surfaces

이전에 Thurston의 double limit theorem을 한번 언급한 적이 있는데, 그 증명에 대해서는 언급하지 않았음. 정리를 증명하는데 더 중요한 정리들이 여럿 쓰이는데 그 중에 몇가지 언급 하기로...

일단 double limit theorem의 진술은 다음과 같음:

제일 언급을 하고 싶었던 정리는 "Efficiency of Pleated Surfaces" 라는 것인데, 어떤 closed surface S에서의 임의의 measured geodesic lamination \mu가 있고, S가 어떤 hyperbolic 3-manifold N에 어떤 pleated surface로 들어가 있을 때, \mu의 pleated surface에서의 길이와 N에서의 길이를 비교하는 내용. formal하게 적자면:

여기서 a(\lambda,\mu)는 alternating number라고 하는 것인데, lamination \lambda의 leaf들이 \mu를 기준으로 asymptotical하게 몇번 바뀌는지 개수를 세는 것. 밑에 그림에서 점 찍어 놓은 개수에 해당됨. 각각의 intersection을 boundary intersection이라고 부름:

alternating number의 성질은 고정된 maximal finite lamination \lambda에 대해서, a(\lambda,\mu)는 finite value를 갖고, \mu에 대한 함수로서 연속 함수가 됨.

왜 efficiency of pleated surfaces가 참이지 보자면, 첫번째 부등식은 자명하기 때문에 두번째 부등식의 증명에 초점을 맞추면 됨. 그러기 위해선 먼저 관찰 해야할 것은, weighted multi-curve들은 ML space에서 dense하게 있고, length function과 a의 연속성 때문에 measured lamination으로 부등식은 확장이 됨. 또한 부등식이 \mu에 대해서 homogeneous하기 때문에 \mu를 simple closed curve인 경우에만 증명하면 끝남. \mu를 S에서의 simple closed geodesic이라고 하자 (S는 pleated surface와 identify함). 먼저 \mu를 polygonal curve로 homotope을 할 건데, 만약 \mu가 \lambda의 leaf였다면 두번째 부등식은 자명하게 참이 되기 때문에 leaf가 아니었다고 가정. 또한 만약 \mu의 길이가 S에서 \epsilon보다 작았다면 또한 inequality가 참이 되도록 C를 잡을 수 있기 때문에 \mu의 길이가 \epsilon보다 크다고 가정.

이렇게 세팅을 해놓고 나면 일단 a(\lambda,\mu) > 0이 되는데, \mu를 기준으로 S를 쭉 따라갈 때, \lambda들이 계속 스쳐지나가게 되는데, boundary intersection들은 \mu를 a(\lambda,\mu)개의 chain으로 partition을 한다고 볼 수 있음. 이제 \mu의 얇은 regular nbd를 잡고 그 부분만 그려놓으면 대략 밑에 그림과 같은 상황이 그려지게 되는데, 만들어진 partition을 이용해서 \lambda의 leaf들과 leaf들 사이의 "jump"들을 이용해서 S에서 \mu를 geodesic polygonal path로 homotope을 시킴. 밑에 그림에서 굵은 선이 polygonal path에 해당:

이렇게 homotope을 시켜놓은 path를 m이라고 한다면, m은 S에서 \mu의 length를 a(\lambda,\mu)의 constant배 만큼 차이가 나게 됨. 또한 jump들이 S의 thin part에서는 일어나지 않게 homotope을 더 할 수 있는데, 대충 말하면 thin part에서 지그재그 되어있는 부분을 좀 밀어서 thick part에서 지그재그가 나오도록 하는 것. 이렇게 만들어진 polygonal path를 n이라고 함. n의 N에서의 모습은 polygonal은 아니지만, jump부분들을 전부 N에서의 geodesic들로 바꿔주게 되면 N에서의 polygonal path p가 만들어지고, p의 N에서의 길이는 \mu와 비교 했을 때, a(\lambda,\mu)의 constant배 만큼 차이가 남. 또한 변의 개수는 n과 마찬가지로 2a(\lambda,\mu) 만큼 있음.

이제 만약 \mu'를 \mu의 N에서의 geodesic representation이라고 하자. 그러면 \mu'와 p를 이어주는 pleated annulus를 만들 수 있는데, 대충 말해서 p와 \mu'를 boundary component로 갖는 annulus를 가져온 다음에 p의 변들을 변으로 갖고 mu'위에서의 한 점을 꼭짓점으로 갖는 삼각형들을 만든 다음에 spinning을 해서 만든 것으로 보면 됨. 그러면 대략 밑에 그림과 같은 상황이 됨:

그러면 Gauss-Bonnet과 uniform injectivity theorem등을 이용해서 p의 변들의 길이와 mu'의 길이를 비교를 할 수 있게 됨. 그렇게 하면 결론이 a(\lambda,\mu)의 상수배 정도의 오차로 p는 A에서 \mu'와 아주 가까이 움직이고 있다는 결론을 낼 수 있음. 따라서

를 결론낼 수 있음.

갑자기 귀찮아져서 뒤에 (중요한 argument임에도 불구하고) 대충 썼는데 그래도 uniform injectivity theorem은 그 자체로도 중요하기 때문에 state만 하고 끝냄:

임의의 smooth manifold N에 대해서 PN은 tangent line bundle을 의미함.

여기서 \lambda는 S의 pleated locus에 해당되는 lamination이고, P_f는

로 P_f(x)는 the direction of the pleated locus through f(x)에 해당됨. codomain은 projective unit tangent bundle of N_rho임. statement 자체는 여러 일반화가 있는데, 이 statement가 말하는 것은 만약 x랑 y가 X의 thick part에 있고 이 둘이 서로 어느정도 떨어져 있다면, f(x)와 f(y)를 통과하는 pleated loci는 서로 어느정도 평행하지 않은 상태에서 떨어져 있다는 말.