[학습자료] [필독] 복소수 문제 어둠의 스킬 <드 무아브르 정리>에 대해 araboja.
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우선 이건 복소평면이야.
별건 아니고 x축이 실수부분, y축이 허수부분으로 좌표(즉 하나의 복소수 z)를 표현하는 방법이야.
내신 때 하는지 기억이 나지 않지만.."복소수의 크기"는
일 때
로 정의했었어. 원점과의 거리! 그럼 복소평면에 크기가 1인 복소수 z들을 다 이으면 단위원이 되겠네? (헉)
짜잔 그러면 여기서 삼각함수를 슬쩍 떠올려볼까? 단위원 위의 모든 점은
로 표현되었던 것처럼, 크기가 1인 복소수 z를
로 나타내는 데 성공했어. (세타를 편각이라고 함)
이걸 극좌표라는 걸로 나타내면
이게 무슨 뜻이냐면 z는 크기가 1이고 편각이 세타라는 거야.
오!ㅋㅋ
그렇다면 여기서 한 가지 계산을 해보겠다. 단위복소수 두 개를 가져오자.
그리고 곱해봐.
then, 우리는 삼각함수의 덧셈공식을 잠시 떠올려 볼 수 있어.
로 정의한 다음에 말이야.
어라..?그런데 a b c d는 모두 삼각함수 아니었나...?
그렇다면..
자자, 우리는 상당히 중요한 결론을 얻은 거야.
편각이 알파인 복소수와 편각이 베타인 복소수를 곱했더니 편각이 (알파+베타)인 복소수를 얻게 되었어.
그러면 편각이 세타인 복소수를 n제곱하면..
-드 무아브르 정리(옯들짝)
어 그런데 단위원은 꽤나 폭력적인 친구야. 2파이만큼 돌리면 다시 원상복귀되잖아? 그럼..
기 습 예 제
일 때,
를 구해볼까??
....뭘 고민하는거야?
이므로..
겠지!!!!!!!
이제 국민 복소수 오메가를 볼까?
다시 보니 이 복소수는 막 나온 게 아니었어! 바로
편각이 2파이/3 이고 크기가 1인 존나 예쁜 복소수였던 거야!
따라서..우리는 무지성 암기가 아니라...
이므로..
임을 이해하게 된 거지.
여기서 잠깐,
Q. z의 크기가 1이 아니면 어케 함??
A. 아니 너 시발 빡대가리냐??
(예제)
일 때, z의 9제곱은
이겠지. 이처럼 크기가 1이 아닐 때는 억지로 1로 만든 다음 상수 계산을 하면 됨. 편리하지??
자 이제 마무리 할 겸..2023학년도 11월 고1 모의고사(서울시교육청) 기출문제를 하나 가져와볼게.
우선 조립제법을 열심히 쓰면, 1로 나누어떨어지고 오메가는
의 두 근 중 하나네. 즉
혹은
(젠장..아무거나 골랐는데 또 재미없게 45도야..)
따라서 일반성을 잃지 않고
(고1수학 복소수 문제에서 특정을 안해줄 때는 아무거나 고르면 돼! 차피 똑같게 나옴. 찜찜하면 검산하면 되고)
라고 하면, 문제에서 주어진 n제곱 안의 식은 1-i 즉 z라고 하면
이 나오네. 그럼 이걸 16제곱 하면..편각은0도고..크기는16제곱이니까..2의8제곱 즉 256이 되겠지.
따라서 답은 16이야. 쉽지?
자 그러면 오늘은 드 무아브르 정리를 알아봤고 고1모평 기출을 통해 쓰임새도 확인해 보았어. 다들 7ㅐ추 부탁해!
(번외) 아직 끝나지 않았다!!
-오일러 공식
다들 수학에서 가장 아름다운 식이라고 불리는 오일러의 식
을 들어봤을 거야. 근데 이건 사실 오일러 공식
에 파이를 대입한 것에 불과해. 당연히 세타는 라디안이고.
그래서 오일러 공식에 세타와 n세타를 대입하면 드 무아브르 정리가 성립단다는 걸 알아볼 수 있어.
그럼 20000
0 XDK (+2,000)
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1,000
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허수축(너네)
ㅋㅋㅋㅋㅋ
하 ㅅㅂ
이해못함ㅅㅂ
너무 빨리 읽은거아니노
사실중간부터뭔소린지못알아처먹어서쭉내림
눈나 일단 좋아요는 눌렀어요..근데 뭔소린지 모르겠어
게이야 정독해
오일러 공식에 바로 n을 대입해서 드 무아브르 정리가 성립한다고 말하는 것은 엄밀히 말하면 복소수에서의 지수법칙을 증명한 후에 해야 합니다.
ㅋㅋㅋ맞아요 그래서 번외임
사실 뭐 오일러 공식 증명 자체도 고등 미적분으로는 살짝 애매하긴 해서...
뭐가 어찌 됐든 이런 거 알아 두면 좋긴 하죠
저희 학교는 거기에 극형식까지 고1 때 언급은 했었는데 다른 곳은 모르겠네요
오일러공식에 넣고 확인하려면 오일러공식을 증명해야 하긴 하죠 머ㅋㅋㅋ
지수함수/삼각함수 미분법이 복소수 범위에서도 실함수와 같다는 것만 증명하면 되긴 하는데...
개념 자체를 새로 도입해야 하는 느낌이 있긴 하네요
로그함수 다가성 같은 것도 처음 보면 헷갈릴 만하고
그건 솔직히 파트2로 작성해야 하고 좋아요도 더 안나올듯요ㅋㅋ
제발 복소수 25수능때 안나오게 해주세요....
이거 이해하면 날먹
우리가 수능 때 배운거에 복소수를 대입만 할줄알면 이해 ㄱㄴ할수도?
올해 수특 미적분 step3에 i 보이던데 수능 출제 암시 아닐지...
그거보고 썼어용ㅋㅋ
드..아 무르겠다
엄
이거 근데 꽤 편리할때가 많아요 고1때는 특히..
맞아용
저도 고1때 학원쌤이 알려줬었는데 이해는 제대로 못해도 어떻게 하는지 원리만 알아가지고 날먹 꽤 했습니더..
복분자소주 쉬바ㅋㅋㅋ
뭣
고1때 저런거 세특으로 했는데 추억이 걍 싹도네
근데 25수능에선 추억을 재탕하지 않았으면...
아따 추억이농
ㅋ ㅑ
고1 11월 저거 2달전에 현장에서 풀었던건데 지금보니 오ㅒ 안풀리지ㅋㅋㅋㅋ
재밌는 칼럼 써주셔서 감사합니다!
캬 역시 복소평면 ㅋㅋ
이걸로 평가원은 허수를 못 내는 걸로
드 무아브르 정리 쓰면 되는 문제를 ㅋㅋ
교육과정 외
내신때 배우던 기억이..암튼 이렇게 복소수 나오면은 사실 삼도극이랑 다를게없지않나ㅋㅋ
뭐라는거야 아
슨상님을 믿어라
이거 추억이다
고1 수행으로 발표했었는데 ㅋㅋ
y축이라서 울었어
ㄱㅁ;;
이거 쓰면 미적분에서 적분빠르게 가능한거 아닌가요?
오일러 공식 말씀?
네네 마지막에 나온 저 공식이용해서 허수부 또는 실수부 통해서(?) 구하능거요
맞아용 그렇게도 이용해요
과외샘이 대학에서 배우는 스킬이라고 알려주셨던 기억이 나네요..
고1 내신하면서 블라나 절대등급 풀 때 야무지게 사용함
뭉탱이로 있다가..
고1끝났는데 이제 알았네...
고23모에쓰셈ㅋㅋ
좀 러프하게 말하면 정n각형 작도가능성도 이걸로 증명합니다.
이거도 들어봤네요 ㅋㅋ
나와라… 오일러공식!
고급수학 1 - 복소수와 복소평면.. 좋은 칼럼 개추!
실제로 이번에 고1꺼 풀면서
저거로 시간 세이브해서 끝나고 애들한테 자랑했는데 ㅋㅋㅋㅋ
이걸로 내신때 개꿀빨긴 함 ㅋㅋㅋ 오랜만이네
오일러 공식, 드 무아브르 정리와 함께 하는 고등학교 '1학년' 수학(상) 내신 대비 ㄷㄷ
개꿀잼
본인 현장에서 저렇게 품
복소평면 성애자라 추천준다
저거 반각 찾을 때 인위적으로 삼각형 빗변을 아랫변에 연장시켜서 기하적으로 구할 수도 있는데 맛도리임
안물
ㅠㅠ