다항식, 다항방정식, 다항함수
게시글 주소: https://orbi.kr/00066861037
다항식입니다. 이런 식으로 생겼습니다.
독립변수 x의 값에 따라 하나의 값이 정해지는
종속변수 y에 대하여 y와 x의 관계를 우리는 함수라 합니다.
정확히는 독립변수 x와 x에 대한 종속변수 y에 대해
y를 x에 대한 함수라고 합니다.
쉽게 말해 x=1 대입했을 때 y값이 정해지면 함수라는 것입니다.
y=x+3은 함수입니다.
x에 뭐 하나 집어넣으면 y도 뭐 하나 나오기 때문입니다.
x^2+y^2=9는 함수가 아닙니다.
x=1 집어넣으면 y값이 2개가 존재하기 때문입니다.
평면 상에서 x^2+y^2=9의 그래프와
x=1의 그래프의 교점이 곧
x^2+y^2=9에 x=1을 대입하는 상황을
뜻합니다. y값은 2루트2 혹은 -2루트2가 됩니다.
(y에 대한 이차방정식의 해를 찾는 과정)
y=루트(9-x^2)은 함수입니다.
x에 뭐 하나 집어넣으면 y도 뭐 하나로 나옵니다.
예를 들어 x=1일 때 y=2루트2이고
x=-1일 때 y=2루트2이기 때문입니다.
보다 자세한 내용은 수학(하)에서 함수 공부할 때
살펴보는 것으로 합시다.
독립변수 x와 종속변수 y에 대해
y가 x에 대한 다항식으로 작성되면
y를 x에 대한 다항함수라고 합니다.
앞서 다항식의 예로 들었던 식들에 관한
다항함수의 그래프가 각각 다음과 같습니다.
이때 일차함수와 이차함수를
중학교와 고등학교 1학년 때 배우고
삼차함수와 사차함수를 고등학교 2학년 때 배웁니다.
일차함수, 이차함수는 '특성이 이러하다' 식으로 배우고
삼차함수, 사차함수는 '도함수'의 개념을 활용해
일차함수, 이차함수의 그래프로부터 그래프를 그립니다.
수학2에서 학습합니다.
이차함수는 보시다시피 빗살무늬토기의 단면처럼 생겼습니다.
최고차항인 이차항의 계수가 양수이면 빗살무늬토기이고
최고차항 계수가 음수이면 뒤집어진 빗살무늬토기입니다.
때로 이렇게 이차함수의 그래프가 x축과 만날 수 있습니다.
다시 말해
어떤 이차함수가 y값으로, 즉
함숫값으로 0을 지니는 때가 존재할 수 있습니다.
이것이 이차방정식입니다.
다시 말해 식을 정리했을 때
한 변에 어떤 문자에 관한 이차식,
다른 변에 0이 위치하도록 할 수 있다면
그 등식을 이차방정식이라고 합니다.
이 방정식을 만족시키는 x값을 찾는 것을
이차방정식의 해를 구한다고 하는데
주어진 이차식을 AB 꼴로 정리할 수 있다면
A=0 or B=0을 만족하는 x값을 찾는 방식,
인수분해를 통해 해를 구할 수 있습니다.
혹은 모든 이차식을 A^2+B 꼴로 변형할 수 있음을
활용할 수도 있습니다. 완전제곱식의 성질을 이용하는 것!
이제 양변에 루트를 씌워주면
경우에 따라 1가지 혹은 2가지 x값을
얻을 수 있습니다. 허수 단위를 도입하여
루트 안이 음수가 될 때도 이차방정식의 근을 논할 수 있습니다.
복소수 범위에서요! 하지만 보통은 실수 범위에서 논합니다.
이를 확장하여 n차 다항식에 대해
n차함수와 n차방정식 모두 논해볼 수 있습니다.
다항함수는 앞서 이야기했듯이 수학2에서 미분을 공부한 후
그래프를 그릴 수 있게 됩니다. 근데 이것은 연습 목적이고
실제로는 컴퓨터 프로그램에 수식 입력하시면 그래프 그려줍니다.
다항방정식은 앞서 보았던 이차방정식의 해를 찾는 과정과 마찬가지로
인수분해를 통해 A=0 or B=0 or C=0 or ... 식의 사고를 활용하거나
특정 차수의 다항식을 특정 형태로 변형할 수 있음을 활용하여
근의 공식이라 부르곤 하는 무언가를 작성해볼 수도 있습니다.
예를 들어 삼차방정식의 근의 공식을 유도해봅시다.
참고로 앞서 봤던 이차방정식의 경우는
이차방정식의 근의 공식이라 부르며 수학(상)에서 학습합니다.
이차방정식의 경우에 (x+A)^2+B=0 꼴로 식을 변형할 수 있음이
근의 공식 유도 과정에 중요하게 존재했었고
삼차방정식의 경우엔 평행이동을 통해 삼차함수의 이차항 계수를 0으로,
혹은 x에 x+k꼴을 대입해 삼차식의 이차항 계수를 0으로 만드는 과정이
근의 공식 유도 과정에 중요하게 존재합니다.
이후 uv=-\frac{1}{3a} \left(c-\frac{b^2}{3a} \right) 을 만족하는
(u, v)에 대해
uv에 w^3을 곱해도 uv이므로
(u, v)와 (uw, vw^2)와 (uw^2, vw)에 대하여
세 가지 순서쌍에 대해 하나로 묶인 순서쌍의 두 값끼리
더해준 것이 삼차방정식의 복소수 범위에서의
세 근 (일반해) 이 된다.
사차방정식은 각자 찾아보는 것으로 하고
5차 이상의 다항방정식의 근의 공식은
존재하지 않는다고 하는데...
자세한 것은 갈루아 이론과 등등을 찾아보는 것으로 합시다.
아무튼 다항방정식의 근의 공식은 4차 이하의 다항방정식에 대해
유도할 수 있으며 교육과정 내에서는 1, 2차 방정식의 근의 공식까지
학습하고 3, 4차 방정식의 근의 공식은 배우지 않는다는 것.
3, 4차 방정식의 해를 구할 때는 특수한 방법들로 풀리는 경우만을
다룬다... 정도로 기억해두시면 되겠습니다.
즉, 해의 존재성을 따지기보다 공부한 방법론 잘 적용하는 것이
고등학교 1학년 수학의 목표이다!라고도 한 번 얘기해볼 수 있겠네요.
p.s.
고1 수학에서 학습하는 대부분의 곱셈공식, 인수분해 공식은
분배법칙에 따라 직접 전개해봄으로써 자연스레 유도해보고
외울 수 있다고 느꼈습니다.
그런데 저 두 개는 '이걸 어떻게 떠올리지' 싶은 느낌이
조금 더 강하다고 생각해서 그냥 외워주시면 좋겠습니다.
이런 식의 사고의 흐름도 이어가볼 수 있겠죠 ㅎㅎ
마지막 a=b=c 부분은 '만약 x^2 꼴이 0이 아닌 값을 지니면?'이라는
질문을 3번 반복해보시면 좋겠습니다.
귀류법이라고도 합니다.
후에 체계적인 경우의 수 분류가 필요한
귀납적으로 정의된 수열 문항과
다항함수 그래프 개형 추론 문항 등에서
유용하게 쓰이는 사고 과정이니
관심 갖고 지켜보시는 것도 좋겠습니다.
수능 수학에서뿐만 아니라 일상에서도
발생할 수 있는 다양한 경우의 수에 대해
어쩌지 어쩌지 하고 있을 시간에
일단 뭐 하나 잡아서 해보고
되면 좋고 안되면 다른 방법을 시도해보는 식의...
사고 과정으로 이어서 바라볼 수도 있으니
귀류법 자체를 찾아보시는 것도 좋겠습니다.
가장 흔한 사례는 루트2가 왜 무리수인지를 증명하는 부분!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
진짜 특상에 완전히 진심이셔서 배웠던 개념 복습하기는 좋은데 빡셈
-
LCK 희망은 당신입니다 GOAT
-
국어 6모 백분위 95.. 9모는 음 .. 94점인데 매체 쳐틀리고 쉬운거만 틀려서...
-
갑자기 생각남 ㅋㅋㅋ
-
힘들다 0
진짜
-
하루에 아침 7시부터 오후 5시까지 안쉬고 국어에만 투자해야함 죽어보자
-
작년이랑 올해랑 많이 바뀌었나요? 둘다 풀어보신분 답변 부탁드립니다!
-
ㅂㅅ들
-
ㄱㄱ
-
ㅋㅋㅋ 공부 중독자도 아니고 한번 사는 인생인데 이게 뭐하는짓인지
-
10시간을자네 0
-
언제봐도 그지같네
-
써킷 안풀어봤는데 시즌 3, 4중에 하나만 고르자면 0
뭐살까요? 강대x모고랑 세트로 풀려고 합니다
-
집에간다.! 1
렛츠고고
-
병원에선 열이 없다카네.. ㅠㅡㅠ 아프다고 나
-
김정은이 서울 가리키면서 군사 작전 사진 공개했다는데.. 그냥 돼지가 밥 달라고 좀...
-
이런적은....
-
왜 A가 해양이고 B가 대기야
-
차암 감사해요 수능도 이렇게만 내줘요
-
이매진 핫백 새 책 반값택비 포함 3.0에 팔아요! 댓글 남겨주시면 쪽지 드릴게요
-
오늘도 0끼 2
방금 양갱하나 줏어먹음
-
국어는 뇌에 힘주고 공부하려면 에너지소모가 너무큼.. 2
그리고존나빨리배고파짐..
-
9모 95(화작) 92(확통) 2컷 1 2(쌍사) 10모 95(화작) 88(확통)...
-
원태인 몸풀어라 2
불펜 못믿는다
-
해야할게너무많다느껴짐..
-
식후땡 ㄱㄱ혓 0
굿
-
작수79 6평 79 9평 78 9덮 88 10모 87 평갸원에서자꾸죽쑤는데
-
오늘 부터 내일까지 사탐만 다시 조지려고 하거든요 다른 과목은 그냥 잠깐 스탑...
-
토끼똥 어떡함 0
배아픈데 찔끔찔끔 나옴
-
현강 주키마3호에 미친표지와 멋진 종강선물 필통 국어는 역시 216 or not
-
???: 아니 일단 대학을 가야죠... 생지가 답이다!!
-
이 와꾸면 의대 안가도됨
-
경북대 모바일공학과 여기는 삼성 계약학과라 졸업후 무선사업부에서 근무하게됨....
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 우리 부모의 반응입니다
-
각개전투 다음주에 하면 훈련은 끝
-
오늘의 실모 끗 1
가고싶은 대학에는 턱없아 못미치지만 그래도 쌩3은 면할 수 있지않을까싶은 점수네요...
-
그래서 안하기로 결정 실모 하나만 풀어야겠다…
-
이게 타고투저 리그 2,3등의 싸움?
-
꽤 어렵게 느껴졌는데 1등급 비율이 7.4%길래…
-
이번주 안에 따라잡기 ㅆㄱㄴ? 하루에 국어 잘하면 5시간도 가능은 할듯
-
ㅈㄱㄴ 문디컬도 영어2로는 어렵나
-
치킨피자햄버거 중에 꼴등이었음 오히려 불호인 편이었음 근데 요즘 들어 너무 맛있음...
-
완벽한 토요일이 될것같아요~~~
-
이제 일년 다 되어가는데 걍 요즘엔 좀 무섭다 모든게 이렇게 수능 하나만 보고...
-
뱃 달고있는 사람 볼때마다 경외감 들듯
-
강k수학 살사람 0
22회 26회 28회
-
고3이고 6모 2, 9모 1, 10모 2 나왔습니다. 마더텅 모두 푼 상태고 김종익...
-
다음년도 수능 패스로 보상해라 ㅅㅂ 맨날 그딴 문자가 온다 진짜 하루에 몇개씩도...
-
생물 고수 분들께 질문 최근 가계도 문제 난이도가 어떤가요? 3
올해 7월부터 수능판 들어온 사람입니다. 19당시에 생물 47인가 48맞았었는데,...
-
급함 질믄 5
죄송하다고 쪽지 남겼는데 글씨 못생기면 ㅂㄹ임? 급함
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.