큰 자연수의 나눗셈에 나머지 정리 활용
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먼저 자연수 나눗셈부터 복습해봅시다.
17을 2로 나누면 몫이 4이고 나머지가 1이다.
중학교 이후로는 대분수, 몫, 나머지 이런 것 대신
가분수, 소수로 간단하게 정리하고 넘어가기 때문에
(수능까지도 그렇습니다, 유리수 간 사칙연산이 젤 중요)
따로 접할 일이 없을텐데
수학(상)에서 나머지 정리 공부하다가
대표 유형 중 하나로 아래와 같은 상황을 만나게 됩니다.
상식적으로 직접 나눗셈 해보기 어려운 연산을 주고
나머지 정리를 적용해보아라... 하는!
핵심은 다음의 두 가지입니다.
1) dividend와 divisor 간 관계
2) 주어진 상황을 만족하는 항등식 하나 만들기
이때 나머지 정리는
꼴의 항등식에서 divisor에 해당하는 g(x)가
일차식인 경우를 말합니다.
후에 수학2 공부하며 깊게 공부하실테지만
최고차항의 차수가 홀수인 다항함수는
적당한 구간에서의 사잇값 정리에 의해
그래프가 x축과 교차하는 지점이
반드시 존재합니다. 일차함수도 차수가 1차로
홀수이기 때문에 함숫값이 0이 되는 때가
반드시 존재한다는 것
따라서 위의 두 가지를 고려해
2x^{250}=(x+1)Q(x)+R(x)
라는 항등식을 떠올릴 수 있습니다.
이때 16을 x로 바라보고 시작한 것이지만
얻은 항등식은 항등식의 정의대로
임의의 x에 대해 성립하는 것이라
생각할 수 있습니다. 16은 그 임의의 x값들 중
하나일 뿐, x에 다른 수가 들어가도 괜찮다는 의미입니다.
양변에 x=-1을 대입해주면 (나머지 정리에 의해) 2=R(-1)
이때 divisor가 일차식이므로 나머지는 상수항입니다.
divisor의 차수가 n일 때 나머지의 차수는 (n-1) 이하입니다.
따라서 2^{1001}을 17로 나눈 나머지가 2임을 알 수 있습니다.
1) dividend와 divisor 간 관계
2) 주어진 상황을 만족하는 항등식 하나 만들기
하나 더 해봅시다!
나머지 정리를 활용해 큰 수의 나눗셈을 할 때에는
몫은 몰라도 나머지는 구할 수 있다에
본질이 있다 말할 수 있겠네요!
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1. 자연수 a, b, c에 대해 a^b를 c로 나누는 상황에서 항등식 하나를 만들어... c=px+q (p는 0이 아닌 실수, q는 실수) 일 때 a^b=f(x)로 잡을 수 있도록 하면 (주로 f(x)=ux^v (u는 0이 아닌 실수, v는 자연수) 꼴) f(-q/p)로 상수항 (나머지) 결정하고 px+q에 다시 c 대입하여 상황을 바라볼 수 있다.
2. 몫은 몰라도 나머지는 구할 수 있다.
이 두 가지를 수학(상) 공부할 때 배웠더라면 보다 수학적 사고력을 기를 수 있었을텐데 말입니다
으악
수학과신가요?
경제학과입니다
간단한 방식으로 오일러 정리도 있어용
모듈로 연산, 정수론에서의 오일러 정리 공부해보겠습니다! 감사드립니다