The most 중요한 things in Calculus
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닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)와
f(x)를 도함수로 하는 함수 중 하나인 F(x)와
실수 a, b에 대해 다음이 항상 성립한다.
단언컨대 The Fundamental Theorem of Calculus는
미적분학, 돌아와 수학2와 미적분 (미적분1과 미적분2) 에서
가장 중요한 내용이라 말할 수 있겠습니다.
증명해봅시다.
적분 구간을 분할하고 평균값 정리를 적용하여
리만 합으로서 증명하는 방법이라 소개할 수 있겠다.
그런데 사실 미적분학의 기본 정리는 2가지이다.
이 또한 증명해보자.
p.s. 리만 합은 다음과 같다.
결국 우리가 수학2 (미적분1) 에서
다항함수의 미분과 적분을 배우기 전에
함수의 극한을 공부하는 이유는
미분과 적분이 모두
극한으로 정의되기 때문이다.
그에 따라 우리는 미분 가능성과 적분 가능성에 대해
논할 수 있다. 하지만 2015 개정 교육과정과
(아마도) 2022 개정 교육과정에서는
정적분의 정의를 엄밀하게 다루지 않으므로 (구간 n등분만 다룸)
적분 가능성을 다루진 않는다.
물론 함수의 극한 조차 엄밀하게 다루진 않지만 말이다.
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본문 내용과 관계 없긴 한데 태재대 다니시는 분들은 취업과 진로를 어디로 잡나요
각자 관심 분야와 관련된 활동들을 이어가며 진로 탐색 중에 있지 않은가 싶습니다. 이미 공부해온 것들을 바탕으로 기업을 이끌고 있으시거나 사업 관리 중이신 분들도 계시고 아이비리그 대학원 진학을 목표로 학점 관리와 진학 목표 분야 관련 활동 경험을 쌓아가고 있으신 분들도 계시고 외무관 등을 목표로 5급 PSAT 준비 병행하고 있으신 분들도 계십니다.
아직 개교한 지 1년도 되지 않았기에 2030년은 되어야 재학생들의 진로를 통계적으로 살펴볼 수 있지 않을까 싶고 각자 관심 분야가 다양해서 일반화하기는 어렵지 않을까 싶습니다.
Max xi를 norm of partition이라고도 하죠 그나저나 이 교육과정은 왜 구분구적법을 빠버린건지..
구간을 n등분하여 다루는 것은 15개정 미적분 교과서에 소개되어 있던 것을 확인한 기억이 있습니다만 partition과 sample point 도입하여 설명하는 것, 그리하여 적분 가능성에 대해 조금이나마 언급이 있었다면 더 좋지 않았을까 생각하고 있습니다
본문에 쓰신 f의 가정 하에, 고등학교의 구간을 n등분 한 리만합 정의가 일반적으로 임의로 분할을 한 리만합의 정의를 내포하는건 아닌가요? 아니라면 반례가 있나요?
제가 올바르게 이해했다면 "일반적으로 임의로 분할을 한 리만합의 정의"가 "구간을 n등분 한 리만합 정의"를 내포하는 것은 맞더라도 역은 성립하지 않는 것으로 알고 있습니다.
다만 고등학교 교육과정의 경우 연속 함수에 대한 적분만 다루어 항상 적분이 수렴하는 상황만을 다루고 있는 것으로 알고 있습니다.
그럼 연속 함수에 대해서 n등분 리만합으로 수렴을 하면 임의의 분할 리만합은 수렴을 하나요? 일반적인 상황 말고 연속 함수 가정에서 두 정의가 같은지 다른지가 궁금합니다
연속 함수 f(x)를 닫힌 구간 [a, b]에서 적분하는 상황이라면 구간을 어떻게 분할하여 리만합을 잡든 항상 수렴하는 것으로 알고 있습니다! n등분은 임의 분할 중 하나이므로 수렴한다 설명하면 충분할 것 같습니다만... 보다 자세한 것은 수학과 분들께 여쭤봐야할 듯요