commute
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대수위상 하는 사람이랑 대화하면서 다음과 같은 진술을 최근에 알아냈다고 했음:
만약 X가 compact surface with E(X)<0이라고 할 때, 만약 g,h가 pi_1(X)의 원소이면서 commute할 때, 다시 말해서 gh = hg일 때, 또 다른 a라는 pi_1(X)의 원소가 있어서 g, h는 a의 power로 나타낼 수 있다.
밑에 써놓을 거긴 하지만 hyperbolic geometry를 이용하면 별로 어렵지 않게 이유를 생각해낼 수 있음. 그 사람이 말한 이유는 다음과 같은데, 완전히 대수위상만 이용함:
만약 X가 compact surface라고 한다면, minimal number of generators of pi_1(X)는 2-E(X), 여기서 E(X)는 X의 Euler characteristic.
만약 H가 pi_1(X)의 subgroup이고 k<2-E(X) 만큼의 element들로 generate 된다고 해보자. 만약 infinite index subgroup이면 free group이 됨 (잘 알려져 있지만 비자명한 명제). 만약 finite index n이라고 한다면 어떤 surface Y가 있어서 E(Y) = n E(X)가 되고 따라서 k>= 2-E(Y) = n E(X). 따라서 E(X) <= h E(X)이기 때문에 E(X)<0이면 모순. H는 따라서 항상 free group이어야 함. 이제 만약 g,h가 pi_1(X)에서의 commuting element, 다시 말해서 gh = hg라고 한다면 g,h로 generate되는 subgroup은 2<2-E(X) 만큼의 generator를 갖고 있게 되는데, 위에 결과에 따라서 free group을 generate 하게 됨. 근데 free group이면서 2개의 generator들이 commute하기 때문에 cyclic group.
내가 생각하고 있었던건:
E(X)<0이므로 X는 hyperbolic surface이기 때문에 g, h in pi_1(X)는 isometries in H^2라고 볼 수 있음. 그리고 commute하기 때문에 fixed point set 들은 같게 됨. 만약 이 둘이 어떤 isometry a의 power로 표현이 안된다면 g, h로 generate 되는 group은 discrete하지 않기 때문에, pi_1(X)는 PSL_2(R)의 indiscrete set이 돼서 모순.
대수위상 증명은 내가 전혀 모르고 있었고, 대수위상으로 증명이 가능한지 생각도 안해봤어서 한번 써 봄.
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