평면 법선벡터 방향 질문
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ax+by+cz+d=0 의 법선벡터가 (a b c) 인데
이 법선벡터의 방향에따라서 다른 벡터와 내적했을때 양수가나올수도있고 음수가나올수도 있지 않나요?
여기서 궁금한게 법선벡터의 방향은 정할수 없지 않나요? 법선벡터와 다른 벡터를 내적했을때 음수인지 양수인지 어떻게알아요?
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법선벡터 방향 딱 하나에요
2개 아닌가요?
법선벡터는 1개죠 이미 정해져있으니까요
근데 문제를 풀때 법선벡터를 모르는 상황이면 2개겠죠 평면을 기준으로 나뉘는 양 영역 어느곳을 향하냐의 방향성이 다른 상황을 말씀하시는거죠?
법선벡터와 내적하는 대상이 되는 벡터가 법선벡터와 이루는 각도가 얼마냐에 따라서 내적의 값이 음수일수도 양수일수도 있지요
하나는 평면 한쪽방향 하나는 평면 반대편방향으로요
법선벡터에 대해서 설명해드릴께요
평면의 방정식이 만들어진 것 자체가
원점에서 한 평면까지의 수선의 발(a,b,c)(이게 법선벡터이고 방향은 아직 안정했습니다)
원점에서 평면위의 임의의 점(x,y,z)를 내적한 값이 몇인가를 나타낸 것이 평면의 방정식이죠
이때 평면에 의하여 나뉘는 공간 중에 원점이 위치하는 공간을 A라 하겠습니다
법선벡터가 평면에서 A공간으로 나아가는 방향이라면 -> 이때 원점을 쏘고가겠죠
법선벡터의 방향이 원점에서 평면으로 쏘는 것이 아니고 원점에서 평면의 반대를 향하게 됩니다
이해되시죠?
그러면 그 법선벡터와 원점에서 평면의 임의의 점(x,y,z)의 위치벡터간에 이루는 각도가 둔각인거 보이시나요?
그러면 내적의 값은 음수가 나와서 ax+by+cz=d 일때 d의 값이 음수가 나오겠네요
반대로 법선벡터가 원점에서 평면을 향해서 쏘는 방향인 경우에는 법선벡터와
평면위의 임의의 한 점에 대한 위치벡터가 예각을 이루게 됩니다
내적의 값은 양수가 나오겠죠?
그러면 여기서는 ax+by+cz=d 일때 d의 값이 양수가 나오는겁니다
이러한걸 다 따져야되는 문제의 경우 원점이 어디에 위치하는지 확인해보시면
법선벡터의 방향을 결정할 수 있습니다
즉 저 d가 좌변에 있냐 우변에 있냐를 따지지 마시고
내적의 결과가 평면의 방정식이다 생각하시고 무조건 우항에 두세요
그게 -라면 법선벡터는 평면에서 원점을 향하여 밖으로 나가는 방향일 것 이고
그 값이 +라면 법선벡터는 원점에서 평면을 향하여 들어오는 방향입니다
정말 감사합니다
하나 더 여쭤볼게있는데 그건 a가 양수라는 전제 하에 내려진 결론인가요??
아니요
a는 단지 법선벡터의 방향이 x축으로만 따질때 양이냐 음이냐를 나타내는겁니다
직선 평면가지고 문제 겪는분들이 항상 하는 생각이 저 a가 대단한걸로 여긴다는거에요
단지 x축의 성분 하나일 뿐이고요..
a가 양수인지 음수인지는 그 평면이 어떻게 위치하느냐를 알아야 확인이 가능합니다
즉 다른 도형(직선,구,원,평면 등)과의 위치관계 또는 점(원의 중심, 꼭지점, 원점)과의 관계를 따져서 성분이 양수인지 음수인지 판단하시면 됩니다
다시말해서 a가 양수인지 음수인지는 제가 위에서 말한 것과 아무 관계가 없습니다~
그럼 만약 2x+3y+z=2 라면 법선벡터는 원점에서 평면으로 향하는 방향이고 -2x-3y-z=-2라면 법선벡터는 평면에서 원점으로 향한다는건가요?
네 그렇죠
이 대답 보시고서 어? 그럼 법선벡터가 두개인데? 하실 것 같아서 미리 말씀드리는데
법선벡터를 원점대칭 시킨게 아래평면이죠? 그러면 아래평면의 법선벡터는 당연히 원점을 향하는 겁니다
하지만 평명위의 임의의 점(x,y,z)의 위치벡터는 바뀌지않죠
그러니 법선벡터를 꺼꾸로 돌리면 우항의 부호도 바뀌는겁니다
두 평면은 일치하는 평면이나, 법선벡터가 다른 평면이라 할 수 있겠네요
법선벡터를 어떻게 두느냐는 문제마다 어느게 더 해결하기 쉬운가로 따지시면 됩니다