극한 계산 때 주의할 점
게시글 주소: https://orbi.kr/00066464692
안녕하세요. 여기서 이런 칼럼글은 어째 처음 써 보는 것 같아 시작을 뭘로 해야 할지 애매하네요...
극한 문제를 풀 때 여러 가지 편법이 있죠. 로피탈이라던지 테일러 급수라던지...
이런 방법을 쓸 때에는 다 전제조건이 있어서 헷갈린다거나, 아니면 이게 교육과정 밖이라서 쓰기 싫다거나 하는 이유로 순수하게 극한만으로 풀려는 분들도 요즘 많이 보입니다. 좋은 학습방법이죠.
다만 순수하게 극한만으로 풀 때에는 여러 주의할 부분이 있습니다.
1. 극한 계산을 할 때에는 식 전체를 한 번에 보내자.
잘못된 예시를 몇 개 들고 와 보겠습니다.
이 값이 e로 수렴한다는 것은 자명합니다. 그런데 밑에 있는 x를 먼저 0으로 보내고 지수를 0으로 보낸다면 어떻게 될까요?
밑의 x를 먼저 0으로 보내면 밑은 1이 될 것입니다. 거기다 1/0=무한대 제곱을 해 봤자 1이겠죠.
또 밑변의 길이가 1인 이등변삼각형의 높이를 계산한다고 해 봅시다.
높이를 n이라 두면 빗변의 길이는 루트(n^2+1)이겠죠. 빗변과 밑변 사이의 각을 세타라 하면 코사인법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.
여기서 세타를 0으로 수렴시키면 어떻게 될까요?
단순히 세타만 0으로 수렴시키면 3/4 = 0이라는 이상한 식이 되어버립니다. 여기서 문제는 n이 세타에, 혹은 세타가 n에 종속된 변수라는 거죠.
n과 세타는 위의 관계식으로 묶여 있습니다. 따라서 세타가 0으로 가면 자연스럽게 n도 0으로 가게 되는 거죠.
이를 무시하고 그냥 한 변수만 수렴시켜 버리면 위와 같은 오류가 발생하게 됩니다.
2. 우리가 알고 있는 극한값을 무지성으로 대입하지 말자.
이건 위와 연결되는 내용입니다.
이것은 너무도 유명해서 다들 외우고 쓸 겁니다. 그리고 우리는 테일러를 좋든 싫든 조금은 맛보고 문제를 풀어봤죠.
그래서 위의 식이 포함된 식에서 우리는 종종
를 별 생각 없이 대입하게 됩니다.
그런데 이게 대부분의 경우 옳지만 항상 옳지는 않죠. 예를 들자면 아까 제가 답해준 글에서의 문제가 있겠네요.
여기서 tan x를 x로 단순 치환하면 위아래를 x로 나눠서 (1-1)/x^2로 바꿀 수 있겠네요. 그런데 이렇게 풀면 분자 0, 분모 0인데 더 이상 어떻게 바꿀 수도 없습니다. 잘못된 풀이이죠.
저 식은 사실 정규 교육과정 내에서 어떻게 풀긴 상당히 까다롭습니다. 0/0꼴이므로 로피탈을 반복 적용해서 풀던가, 아니면 테일러 급수의 3차항까지 근사해서 1/3이라는 답이 나옵니다.
질문하신 분은
까지 변형한 뒤 위아래를 x로 약분했죠. 여기서 문제가 생깁니다.
2tan x/2는 단순히 근사하면 x가 되지만 이걸 x로 취급해서 분자를 x로 묶어도 된다는 것은 아닙니다. 이건 위에서 이야기했던 특정 항만 먼저 수렴시키면 안된다는 것에 어긋나는 거죠.
이 식을 로피탈, 테일러 급수 없이 푸는 방법은 다음과 같습니다. 이거 말고도 다른 풀이가 있을 수 있지만 전 모르겠네요...
상당히 접근법이 어렵습니다... 네.
그래서 이 문제는 테일러 급수 3차근사식을 통한 접근을 추천드립니다. 로피탈도 사실 3번이나 써야 해서 상당히 더럽거든요.
여기까지 생각나는 대로 끄적여봤네요.
사실 저는 반쯤 무지성으로 테일러 급수를 대입해서 푸는 편입니다. 분모 분자 차수 비교해서 거기에 맞는 수준까지 대입하는 방식으로요. 물론 테일러 급수 이용하는게 더 복잡한 경우도 많고 해서 일반적인 풀이 기법도 연습하지많요.
조금 길어졌네요. 부족한 글 봐주셔서 감사합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
평소 하는 생각 5
아 X스 하고싶다
-
저랑 제 동기 사이는 형식적인 사이에요
-
저는 오르비에서 매장되는 수준이 아니라 현실에서 매장될거예요
-
진짜 ㅇㅈ마렵네 3
진짜 ㅇㅈ마렵네
-
막상 날 좋아하는데 내가 안 좋아하면 걍 존나부담스러움…
-
ㅇㅇ
-
안녕하세요 저는 올해 수능을 준비하고 있는 고3 학생입니다. 다름이 아니라 이번...
-
애초에 여기 있는거 자체가 삶에 결핍이 많은 사람들이 대다수일듯 18
일단 나는 열등감이 너무 심함
-
ㅇㄷㄴㅂㅌ
-
빨리 자취를 해야지
-
변태의 법칙 2
모든 문장에 대하여 전체 글자수의 절반 이하를 X 처리하면 중의적인 문장으로 만들수 있다
-
메타애미뒤졌네 0
흠
-
얘들아 6
여기서 연애얘기 ㅈㄴ 안어울린다 ㅋㅋ
-
저는 방금 15렙첫99%를 달앗어요 기분이 아주 좋은
-
사람이 너무 가벼워보인대 ㅜㅜ
-
ㅇㄷㄴㅂㅌ
-
연애는 뭔 ㅅㅂ 0
3월 말에 차여서 아직도 ㅈ같다
-
제일 민감한 부분을 건드리면 UFC하자는건가 개씨발어린년이
-
내가연애못하는이유가뭘까 11
1.얼굴이좆박아서 2.성격이좆박아서 3.매력이좆박아서 전부라는나쁜말은ㄴㄴ
-
하아다노
-
슬슬자야하나 1
박탈감ㅈㄴ드네인생
-
이거 괜찮은 건가요??
-
어그로가안끌리네 우웅게이야 돌아와라 ㅇㅇ
-
알콩달콩
-
특강이라도 들어봐야 대나
-
요즘 슬전생보는데 15
신시아 이분 너무 내스탈임 귀여웡
-
씹떡레어 덕분에 인수함 ㅋㅋㅋㅋ 십덕레어만 개비싸 ㅠㅠ
-
-
떡밥 넘기는게 걍 씹고능아노 ㅋㅋ
-
우흥~
굿굿
이해가 잘 안되는데요, 왜 저 4L에서 2x는 x로 바뀌고 바로 밑에서 3L로 바뀌고 x가 tanx로 바뀌는건가요?
아 오타냈네요... 지적 감사합니다! 수정하겠습니다!
3L은 4L에서 왼쪽 L을 뺀 거에요
평균값 정리로 마지막거 풀수 있어요